借助函數(shù)思想 解答數(shù)學(xué)難題

戴涓涓

摘 要：在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中蘊(yùn)含著不少數(shù)學(xué)思想，主要包括知識(shí)性與思維性兩大類，函數(shù)思想則屬于知識(shí)性思想方法之一，即為以函數(shù)的觀點(diǎn)分析和處理數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生根據(jù)題意建立出函數(shù)模型，使其借助函數(shù)思想解答數(shù)學(xué)難題，由此提高他們的數(shù)學(xué)解題水平.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想;數(shù)學(xué)難題;不等式;數(shù)列

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0018-02

函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種慣用思想方法，運(yùn)用函數(shù)思想處理的題目往往有著共同屬性，那就是定量和變量之間的聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，函數(shù)思想占據(jù)著異常重要的地位，教師可根據(jù)題目實(shí)際情況指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)思想，使其將函數(shù)的性質(zhì)與解題當(dāng)作主要解題思路，把兩種不相干的知識(shí)聯(lián)系在一起，促使他們快速、正確的解答數(shù)學(xué)難題.

一、借助函數(shù)思想解答方程難題

高中生從小學(xué)時(shí)期就開(kāi)始接觸到方程求解類的題目，一開(kāi)始難度一般，隨著教育階段的提升，解方程的難度系數(shù)越來(lái)越高，對(duì)他們的知識(shí)基礎(chǔ)與思維方式也要求更高.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程問(wèn)題的困難程度與復(fù)雜性為學(xué)生帶來(lái)一定的困擾，教師可指導(dǎo)他們借助函數(shù)思想解答方程難題，根據(jù)方程中的未知量和已知量建立函數(shù)關(guān)系，使其迅速理清解題思路.

例1 在求解方程lgx+x=2時(shí)，已知方程的一個(gè)解是x1 ，10x +x=2的解是x2 ，求解x1 +x2 的值.

解析

假如按照常規(guī)方程法需對(duì)兩個(gè)式子分別解答，直接處理指數(shù)函數(shù)10x 與對(duì)數(shù)函數(shù)lgx的計(jì)算量比較大，教師應(yīng)指引他們仔細(xì)觀察這兩個(gè)方程式的基本結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)能使用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)求出答案.又如：解方程（x2 -x+1）5 -x5 +4x2 -8x+4=0.分析：題目中是一個(gè)一元五次方程，先變形再采用函數(shù)性質(zhì)解決起來(lái)比較容易.解：原式變形（x2 -x+1）5 +4（x2 -x+1）=x5 +4x，因?yàn)楹瘮?shù)f（t）=t5 +4t在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒（x2 -x+1）=f（x），則x2 -x+1=x，解得x=1，即原方程有唯一實(shí)數(shù)解為x=1.

在高中數(shù)學(xué)處理方程問(wèn)題時(shí)，學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想通?？梢员憬荨⒖焖俚那蟪龃鸢?，使他們解題思路變得清晰起來(lái)，不僅能夠降低解方程的難度，還可以提升解方程的質(zhì)量與效率.

二、用函數(shù)思想解答不等式難題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的不等式問(wèn)題，一般是通過(guò)>、≥、<、≤等數(shù)學(xué)符號(hào)建立的不平等邏輯關(guān)系式，在高考中也占據(jù)著一定的分值.面對(duì)不等式中的難題，高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)思想建立出合理的函數(shù)邏輯關(guān)系，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)變成函數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)解方程的常規(guī)手段將不等式的右半部分變成0，最后求出不等式的左半部分，輔助他們解答難題.

例2 已知a、b、c∈R，且它們的絕對(duì)值均比1小，求證ab+bc+ca+1≥0.

解析 學(xué)生在看到這道題目時(shí)，往往只關(guān)注已知條件，發(fā)現(xiàn)無(wú)從下手，假如換一個(gè)角度分析，利用函數(shù)思想把證明ab+bc+ca+1≥0轉(zhuǎn)化成函數(shù)中的性質(zhì)，他們就能夠很輕松的解決.具體證明方法如下：設(shè)f（a） =ab+bc+ca+1，得到一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù)，因?yàn)閍、b、c∈[-1，1]， 所以f（1）=b+bc+c+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1）≥0，f（-1）=-b+bc-c+1=-b（1-c）+（1-c）=（1-b）（1-c）≥0，得知f（a）在[-1，1]上恒為負(fù)數(shù)，則ab+bc+ca+1≥0.

上述案例，處理該題的關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生要具有一定的函數(shù)意識(shí)，他們通過(guò)函數(shù)思想的應(yīng)用構(gòu)建出一次函數(shù)模型，使其根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)展開(kāi)證明，最終準(zhǔn)確解答這一難題.

三、運(yùn)用函數(shù)思想解答數(shù)列難題

數(shù)列本身就可以看成一類特殊的函數(shù)，由于數(shù)列內(nèi)含有具有一定規(guī)律的數(shù)字，解題時(shí)運(yùn)用函數(shù)思想，把每一項(xiàng)都看作函數(shù)的量，借助函數(shù)思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此順利求解.高中生在處理數(shù)列類難題時(shí)采用函數(shù)思想，應(yīng)當(dāng)將數(shù)列看作一個(gè)函數(shù)，列出相應(yīng)的通項(xiàng)公式，結(jié)合函數(shù)中已知量與未知量之間的關(guān)系建立出函數(shù)邏輯關(guān)系，輔助他們實(shí)現(xiàn)求解的目標(biāo).

例3 已知等差數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn =m，前m項(xiàng)和Sm =n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n .

解析 教師可指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想來(lái)分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn滿足的關(guān)系從函數(shù)視角出發(fā)，這是一個(gè)必過(guò)點(diǎn)（0，0）的二次函數(shù)，抓住等差數(shù)列求和公式是一種特殊的二次函數(shù)這函數(shù)思想，將m+n看成一個(gè)整體，簡(jiǎn)化數(shù)列的運(yùn)算量，使其找到突破口.具體解法如下：

設(shè)Sn =An2 +Bn（n∈N*），則得到Am2 +Bm=n①，An2 +Bn=m②，①-②得到A（m2 -n2 ）+B（m-n）=n-m，由于題目指出m≠n，則A（m+n）+B=-1，A（m+n）2 +B（m+n）=-（m+n），所以得到Sm+n =（m+n）.

針對(duì)上述案例，在解決數(shù)列類問(wèn)題過(guò)程中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生借助函數(shù)思想來(lái)分析和解答，把復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)便化，使其通過(guò)認(rèn)真觀察高效、輕松的解題，突破數(shù)列難題的困擾.

四、應(yīng)用函數(shù)思想解答幾何難題

函數(shù)思想指的是運(yùn)用函數(shù)概念與性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)變與求解題目，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，解析幾何是也是一大難點(diǎn)，其中求范圍和最值問(wèn)題不僅常見(jiàn)，還不易解答.這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可以引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想來(lái)思考解析幾何問(wèn)題，使其從函數(shù)性質(zhì)推理、判斷題目中存在的某些的函數(shù)關(guān)系，幫助他們確定正確的解題思路，從而有效降低解析幾何題目的難度.

例4 已知橢圓G：x24+y2 =1，過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x2 +y2 =1的切線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值.

解析 根據(jù)題意得知|m|≥1，當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程是x=1，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是（1，32）和（1，-32），這時(shí)|AB|=3;當(dāng)m=-1時(shí)，同理|AB|=3;當(dāng)|m|>1時(shí)， 設(shè)切線l的方程是y=k（x-m）與x2 +y2 =1聯(lián)立可得，（1+4k2 ）x2 -8k2 mx+4k2 m2 -4=0，這是一個(gè)明顯的二次函數(shù)，設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1 ，y1 ）與（x2 ，y2 ），則x1 +x2 =8k 2m1+4k2，x1 ·x2 =4k 2m2-41+4k2，又因?yàn)閘和圓相切，得到|km|k2+1=1，m2 k2 =k2 +1，則|AB|=1+k2|x2 -x1 |=43|m|m2+3，當(dāng)m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）時(shí)，43|m|m2+3≤2，所以|AB|的最大值為2.

在上述案例中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題的命題背景是分式函數(shù)，轉(zhuǎn)化后處理成基本對(duì)勾函數(shù)或不等式模型，題目由雙變量變成單變量，這是解題的關(guān)鍵所在.

五、采用函數(shù)思想解題向量難題

平面向量指的是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量，與普通的標(biāo)量相比抽象難懂，而且高中生是初次接觸平面向量，不僅理論知識(shí)學(xué)習(xí)起來(lái)難度較大，他們?cè)诮忸}過(guò)程中更是困難重重，極易遇到障礙.為幫助學(xué)生正確解答平面向量難題，教師可引導(dǎo)他們采用函數(shù)思想分析題干內(nèi)容，理清題目中已知條件與未知條件之間的關(guān)系，使其解決難題、求出答案.

例5 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA 與OB ，它們之間的夾角成120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，如果OC =xOA +yOB ，其中x、y∈R，那么x+y的最大值是什么？

解析 學(xué)生如果直接結(jié)合知識(shí)求解難度較大，這時(shí)可考慮采用“代數(shù)法”，把向量OC =xOA +yOB 數(shù)量化，運(yùn)用數(shù)量積公式與三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求解最值.

設(shè)∠AOC=α，把向量式OC =xOA +yOB 數(shù)量化，可得到OC ×OA =xOA ×OA +yOB ×OA ①，OC ×OB =xOA ×OB +yOB ×OB ②，然后使用函數(shù)思想將原式變形為有關(guān)三角函數(shù)的式子，即為cosα=x-y2①，cos（120°-α）=-x2+y，由此能夠得到x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+30°）≤2，所以說(shuō)當(dāng)且僅當(dāng)α=60°時(shí)，x+y有最大值2.

學(xué)生使用函數(shù)思想這一“代數(shù)法”解題，主要考察化歸、轉(zhuǎn)化及信息遷移能力，解題關(guān)鍵在于把向量問(wèn)題變成三角函數(shù)問(wèn)題，建立出x+y的對(duì)應(yīng)函數(shù)式，輕松獲得答案.

總而言之，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，隨著知識(shí)難度與深度的提升，題目難度系數(shù)也隨之增加，學(xué)生遇到難題的概率越來(lái)越高，教師需引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)使用函數(shù)思想分析與處理題目，使其合理轉(zhuǎn)化解題思路，找出便捷、高效的解題方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]張永剛.研究性學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)踐與思考[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（06）：81.

[2]李曉冬.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)策略分析[J].華夏教師，2020（17）：16-17.

[責(zé)任編輯：李 璟]