從“乘1法”到待定系數(shù)法

謝賢祖

摘 要：“乘1法”是用基本不等式求最值的一種常用方法，但這種方法只局限于“乘”，解題思路會受到限制，改進成“用1法”后解題方向會開闊很多，還可以升級成“用n法”、待定系數(shù)法，在解決最值問題時可以為我們指明方向.

關(guān)鍵詞：不等式;最值;待定系數(shù)

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0013-03

一、問題起源

在基本不等式的教學(xué)過程中，想必所有老師都會給學(xué)生訓(xùn)練下面的題1.相信很多老師和筆者一樣，都向?qū)W生展示過如下的操作過程：原式=a+b1a+1b=2+ba+ab，然后再使用基本不等式就可以輕松求出最小值.很多參考書，包括筆者自己，都把這一操作取名為“乘1法”.隨著做題經(jīng)驗的累積，筆者發(fā)現(xiàn)“乘1法”這一稱呼會限制學(xué)生的解題思路，會讓人形成思維定勢，看到下面的題1或與之類似的題目，就只想到使用“乘法”，導(dǎo)致學(xué)生不會靈活變通.當(dāng)然，也有很多老師和參考書會把這一操作取名為“1的代換”或者“1的妙用”，筆者認(rèn)為都比“乘1法”要更好，所以干脆取名為“用1法”，至于1可以怎么用，下面從易到難，舉例說明.

題1 （乘1法）已知a，b∈R+，a+b=1，求1a+1b的最小值.

題2 （代1法）已知a，b∈R+，a+b=1，求2a+1b的最小值.

分析把1=a+b代入分子中的常數(shù)，得2a+1b=2a+2ba+a+bb=3+2ba+ab，再使用基本不等式即可求出最小值.

題3 （造1法）已知a，b∈R+，a+b=2，求1a+1b的最小值.

分析把條件變成1=a2+b2，制造出1，再用題2的“代1法”或“乘1法”即可.

題4 （造1法）已知a，b∈R+，a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

分析這道題是2012年浙江文科第9題，很多參考書或各類模擬題都有類似的考法，當(dāng)學(xué)生學(xué)完“乘1法”后，筆者給很多學(xué)生做過，結(jié)果很不理想，發(fā)現(xiàn)極少數(shù)學(xué)生能想得到.其實只需主動制造出1，把條件變成35a+15b=1，再用“乘1法”即可.這里可以給學(xué)生強調(diào)一個思想：多題一解，把陌生的新題轉(zhuǎn)化為似曾相識的舊題，再用之前的解題經(jīng)驗（乘1法）去解決.轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵便是主動變形出“1”.

題5 （加1法）x∈0，π2，求916sin 2x+116cos 2x的最小值.

原式=916sin 2x+sin 2x+116cos 2x+cos 2x-1≥2916+2116-1=1，

當(dāng)且僅當(dāng)916sin 2x=sin 2x，116cos 2x=cos 2x，

即sinx=32，cosx=12時等號成立.

評注這道題考查得更加隱蔽，沒有直接給出條件“1”，所以需要我們主動利用sin 2x+cos 2x=1來幫忙解題，最終使基本不等式得以使用，值得注意的是要驗證取等條件，確保使用兩次基本不等式后等號可以同時成立.下面再看一個“加1法”的升級版.

題6 （加n法）x∈0，π2，求94sin 2x+14cos 2x的最小值.

如果還像題5一樣直接使用“加1法”：94sin 2x+sin 2x+14cos 2x+cos 2x-1，則應(yīng)該滿足94sin 2x=sin 2x，即sin 2x=32，顯然不合理，所以要改進做法，筆者暫且稱之為“加n法”，其實就是待定系數(shù)版的基本不等式.還是借助sin 2x+cos 2x=1，先引入n.

原式=94sin 2x+nsin 2x+14cos 2x+ncos 2x-n，為了保證取等條件可以同時滿足，需保證94sin 2x=nsin 2x，14cos 2x=ncos 2x，即sin 2x=32n，cos 2x=12n，所以

32n+12n=1，解得n=4.于是可以將求最小值的過程簡潔的整理如下.

∵94sin 2x+4sin 2x+14cos 2x+4cos 2x-4

≥294sin 2x·4sin 2x+2-4，

∴94sin 2x+14cos 2x的最小值為4.

二、擴展延伸

由前面的例題展示，可以發(fā)現(xiàn)“用1”法的具體使用方向可以是：加、減、乘、除、代、造，尤其是“加n法”，其實就是待定系數(shù)版的基本不等式，更是解決競賽不等式的利器.在遇到用基本不等式求最值的陌生題目，條件有出現(xiàn)“1”時，我們都可以嘗試一下這些解題方向，不應(yīng)該只局限于“乘1法”，遇到困難再切換方法.其實“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，都可以嘗試一下，下面繼續(xù)舉例說明.

題7 （代1法）正數(shù)a，b滿足8a2+1b=1，則a+b的最小值為.

分析 a+b=a·1+b=a·8a2+1b+b=8a+ab+b≥338a·ab·b=6，

當(dāng)且僅當(dāng)8a=ab=b，即a=4，b=2時，a+b取得最小值6.

評注 正如前文總結(jié)，“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，如果一種方法遇到困難，我們需要繼續(xù)調(diào)整策略，直至解題成功.下面再看一個用“代1法”來分析不等式的例子.

題8（安振平問題5687）a，b≥0，a+b=1，求證：a2+ba+b2+74ab≤1.

分析 ∵a2+ba+b2+74ab-1

=a2+ba+baa+b+b2+74ab-1

=a2+b2+ab 2+74ab-1

=a+b 2-ab 2+74ab-1

=1-ab 2+74ab-1

=abab-14

≤aba+b2 2-14

=0.

評注“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，把“1”代入不等式中的一次項是為了實現(xiàn)“齊次化”，使得不等式的各項次數(shù)統(tǒng)一，容易化簡.

題9 （加n法）x∈0，π2，求8sinx+1cosx的最小值.

受到前面題6的啟發(fā)，可以考慮使用“加n法”.

原式

=nsin 2x+4sinx+4sinx+ncos 2x+12cosx+12cosx-n

≥3316n+33n4-n，

為了滿足取等條件，需保證nsin 2x=4sinx且ncos 2x=12cosx，結(jié)合sin 2x+cos 2x=1

解得n=552，

代入3316n+33n4-n，便可求得8sinx+1cosx的最小值為55.

題10 （2007年湖北預(yù)賽）x∈0，π2，求2254sin 2x+2cosx的最小值.

分析 ∵nsin 2x+2254sin 2x+ncos 2x+1cosx+1cosx-n≥15n+33n-n，

為了滿足取等條件，需保證nsin 2x=2254sin 2x且ncos 2x=1cosx，結(jié)合sin 2x+cos 2x=1解得n=64，代入5n+33n-n可知2254sin 2x+2cosx的最小值為68.

題11 （2018北大自招）正數(shù)a，b滿足a+b=1，則1a+27b3的最小值為.

分析 原式=1a+27b3+na+b-n=1a+na+27b3+nb3+nb3+nb3-n，

為了能夠使用多元均值不等式，且滿足取等條件，需要保證1a=na，27b3=nb3，a+b=1同時成立，聯(lián)立方程解得n=3+132 4，因為原式≥2n+44n3-n，代入求得1a+27b3的最小值為47+13132.

三、方法升級

前面的例題，筆者更多的是展示“加n法”，而且都是往縮小的方向使用平均值不等式，其實待定系數(shù)法的思想（也叫“平衡系數(shù)法”）在不等式中的應(yīng)用很廣泛，不應(yīng)該只局限于前文所展示的這些方法.下面舉例說明，繼續(xù)發(fā)散思維，希望對讀者有所幫助.

題12 （2017世界團體錦標(biāo)賽）a，b>0，a+2b=1，則a+ab的最大值為.

先待定系數(shù)a+ab=a+na·bn≤a+na2+b2n=1+n2a+b2n，為了能夠利用條件a+2b=1，使1+n2a+b2n為定值，要保證1+n2：12n=12，解得n=6-22.

代入1+n2a+2b，得該式的值為2+64，即為a+ab的最大值.

題13 （2015清華領(lǐng)軍計劃）a，b>0，2a+b=2，求a+a2+b2最小值.

待定系數(shù)法還可以用到柯西不等式中.設(shè)x，y>0且x2+y2=1，

由柯西不等式得

a+a2+b2=a+x2+y2a2+b2

≥a+ax+by=1+xa+yb

為了能夠使用條件2a+b=2，使得1+xa+yb為定值，令1+x：y=2：1，結(jié)合x2+y2=1，

解得x=35，y=45，

代入a+a2+b2≥1+xa+yb=452a+b=85.

所以a+a2+b2最小值為85.

四、總結(jié)反思

通過前面這一系列從易到難的例題展示，我們可以總結(jié)“用1法”的具體使用方向是：加、減、乘、除、代、造等等，還有待定系數(shù)法的作用更是強大，可以為我們解決最值問題指明方向，但一定要小心確認(rèn)一下取等條件是否合理，以上的每道例題筆者都親自計算確認(rèn)無誤，限于篇幅，驗證取等條件的過程被筆者舍去，讀者可以自行驗證.

參考文獻：

[1]李勝宏.平均值不等式與柯西不等式 [M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.

[2]蔡玉書.一些不等式的證明方法 [J].中等數(shù)學(xué)，2007（07）：13-17.

[責(zé)任編輯：李 璟]