概述力學(xué)在小提琴研究上的應(yīng)用（上）

韓玫瑰 曹小建

摘要：小提琴的演化過程離不開力學(xué)的貢獻(xiàn)，其中的力學(xué)應(yīng)用也推動(dòng)著該學(xué)科的進(jìn)步。材料力學(xué)中的彈性模量、本構(gòu)方程為小提琴選材及制作提供了依據(jù)，弦及弓的選材依賴承力強(qiáng)度，弓還與材料彎曲變形后的彈性恢復(fù)能力相關(guān)。弦與弓的互動(dòng)為振動(dòng)力學(xué)中的粘滑振動(dòng)模式。弓施力區(qū)間在Schelleng給出的[Fmin，F(xiàn)max]內(nèi)時(shí)可較好地激勵(lì)亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)，從而帶來連續(xù)且悅耳的樂音。人琴整體符合理論力學(xué)的動(dòng)量矩守恒定律。演奏時(shí)肩關(guān)節(jié)放松給予手臂足夠自由度，主要靠肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)和手指施力。借助生物力學(xué)對(duì)演奏者關(guān)節(jié)角度及運(yùn)動(dòng)幅度的習(xí)慣性分析，可輔助診斷關(guān)節(jié)損傷并提出矯正或治療方案。

關(guān)鍵詞：小提琴? 材料選擇? 弓弦交互作用? 振動(dòng)力學(xué)? 生物力學(xué)

聲音的產(chǎn)生和傳播是典型的力學(xué)問題。音樂進(jìn)化的過程中也離不開科學(xué)家們在力學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)，比如大家耳熟能詳?shù)馁だ?、牛頓、伯努利、達(dá)朗貝爾、亥姆霍茲和韋伯等，中國古代人物管仲、沈括和朱載堉等也有各自的理論成果。小提琴被譽(yù)為西洋樂器中的“皇后”，其特點(diǎn)是音色美、音域?qū)挕⒁糍|(zhì)正，是現(xiàn)代交響樂隊(duì)中的支柱。在小提琴的選材、運(yùn)弓法、人弦交互、演奏者骨骼發(fā)育等方面，力學(xué)研究成果起著指導(dǎo)作用，而且這些研究同樣反哺著科學(xué)本身。本文就應(yīng)用力學(xué)在小提琴上的研究成果進(jìn)行歸納，以期更優(yōu)選材、輔導(dǎo)施力、規(guī)范演奏姿勢。

一、材料力學(xué)參數(shù)的影響

小提琴本體結(jié)構(gòu)及琴弓共有30多個(gè)零部件，本體包括琴頭、弦軸箱、弦軸、琴頸、指板、面板、側(cè)板、背板、琴弦、琴碼（琴橋）、音柱、拉弦板、腮托和系弦柱等，琴弓包括弓桿、馬尾、馬尾箱和螺絲。隨著科技的進(jìn)步，部分結(jié)構(gòu)選材范圍逐漸變窄，也有些部件最多能看到多達(dá)10余種材料的商品。材料和結(jié)構(gòu)性質(zhì)的選擇會(huì)影響樂器的音質(zhì)，所以其選材需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)指導(dǎo)。

（一）共鳴組件

面板現(xiàn)在常選擇質(zhì)地偏軟的云杉制作;琴頭、琴頸、側(cè)板和背板，會(huì)選擇較硬的楓木;指板則會(huì)選用更硬的烏木。制作琴弓最上乘的巴西紅木一直面臨著必須省著用和如何持續(xù)的問題。Fletcher[1]和Bucur[2]等對(duì)于樂器選用的木材分別進(jìn)行過論述，給出了一些建議，但在東西方木材特性區(qū)分及樂器結(jié)構(gòu)細(xì)部選材上還有很多研究空間。普遍認(rèn)為木材依據(jù)傳聲速度c、音響阻抗z、輻射阻尼R和衰減因素η這四個(gè)指標(biāo)來定，它們的計(jì)算公式從上往下依次見公式（1），前三式中E為材料彈性模量，ρ則是材料密度。由公式可見，聲速、阻抗、輻射阻尼均與彈性模量的方根呈正比例關(guān)系。

彈性模量宏觀上反映了材料抵抗彈性變形的能力，微觀上則是揭示了材料內(nèi)部分子鍵合力的強(qiáng)弱。從力學(xué)的角度，木材屬于典型的各向異性材料，沿木纖維方向（順紋）的拉伸性能遠(yuǎn)大于垂直于纖維方向（橫紋）的拉伸性能，另一方面垂直于纖維方向的抗剪切性能和壓縮性能又高于順紋方向。廣義胡克定律中的楊氏彈性模量、切變模量和泊松比這三個(gè)物理量在順紋方向、橫紋徑向、橫紋弦向均不相等，需要通過小塊試樣分別測量。以西洋樂器常用的高彈性低密度云杉為例，其順紋方向彈模EL約11.58GPa，橫紋徑向彈模ER為896MPa，橫紋弦向彈模ET最小僅496MPa左右。順紋方向的彈性模量比其他兩個(gè)方向高兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，聲速在順紋理方向最大，約為橫向聲速的10～20倍。另外木材中的管狀細(xì)胞空隙和本身的彈性也便于聲音的傳播。木材的阻抗表示了材料對(duì)聲波的反射能力和折射能力。通常希望共鳴箱具有較大的輻射阻尼。從均勻性角度看，樂器用材最好順紋徑切且以順紋方向作為共鳴板長度方向。輻射聲波時(shí)，材料內(nèi)部分子摩擦?xí)鹫駝?dòng)能量的損耗，Newland[3]提出了公式（1）中的第四式，Q為測得的材料衰減特性參數(shù)，δ為對(duì)數(shù)衰減率，ψ為虧損角。由公式可見聲音的衰減與彈性模量和密度無關(guān)。樂器材料的損耗越低越好，較小的含水率會(huì)更有利于較少聲音衰減，樂器上用的木材含水率一般控制在10%以內(nèi)。從利于聲音的傳播角度，傾向于選用輻射阻尼大、阻抗和損耗小的木材制作共振板;共鳴箱板壁則優(yōu)先選擇輻射阻尼小、阻抗大、便于聲能匯聚反射的材料[4]。

光測彈性力學(xué)方法是一種實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析方法，曾廣泛應(yīng)用于較復(fù)雜的工程構(gòu)件應(yīng)力狀態(tài)。該方法主要用來判斷應(yīng)力集中區(qū)域和描繪結(jié)構(gòu)三維內(nèi)部應(yīng)力，一般用光程差來確定主應(yīng)力。Molin等采用雙脈沖紅寶石激光器作光源結(jié)合全息干涉技術(shù)分析了拱形小提琴面板的瞬態(tài)彎曲波（如圖1所示），包括云杉面板和楓木面板[5]。并與矩形吉他平面板進(jìn)行對(duì)比。從給定高度對(duì)板進(jìn)行鐘擺沖擊，撞擊點(diǎn)控制在小提琴板橋位和吉他面板中心。結(jié)果表明，木材中傳播脈沖的形狀隨時(shí)間變化，呈現(xiàn)典型板中彎曲波傳播特性。波傳播的形狀圖案為若干嵌套橢圓形，與小提琴面板中央部位任意水平切面形狀近似，吉他板也為嵌套橢圓形波紋。說明小提琴面板目前采用的形狀較圓形更合理。綜上所述，好的小提琴很大程度上取決于形狀控制和材料選擇。

（二）弦與弓

古人以弦長來度量音高，公元前600年前后中國和古希臘幾乎同時(shí)認(rèn)識(shí)到了三分損益和五度相生的規(guī)律[6-7]。文藝復(fù)興時(shí)期，科學(xué)家們提出聲音的高低跟振動(dòng)頻率相關(guān)并通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，最終得到了公式（2）中最前面成正比例關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，繼續(xù)總結(jié)才得到后兩個(gè)等式計(jì)算方法。其中f為弦的振動(dòng)頻率，T為琴弦張力，ρ為琴弦密度，l為弦長，μ為單位長度的質(zhì)量，σ為弦受拉時(shí)截面正應(yīng)力。對(duì)指定長度的弦，它的最大可能頻率取決于材料本身的拉伸或屈服強(qiáng)度。弦上施加的張力既不能太緊也不能太松，小提琴單根弦張力一般在70～90N，木制琴身基本足夠支撐四根弦共約300N的總張力。弦繃緊以后，會(huì)產(chǎn)生軸向拉伸變形，從理論力學(xué)靜力平衡角度構(gòu)成超靜定結(jié)構(gòu)，需要考慮變形協(xié)調(diào)問題。對(duì)于有四根弦的小提琴，不能一根一根依次調(diào)音，而是應(yīng)先將整體松緊程度調(diào)到差不多再微調(diào)。

小提琴的琴弦材料歷經(jīng)腸、生絲、尼龍和鋼絲，表1列出了它們的力學(xué)參數(shù)[8]。前三種材料具有相似的密度，金屬弦密度大約是它們的6倍，算下來腸弦、絲弦和金屬弦的最高頻率差不多，尼龍弦頻率要高出約50%。小提琴E弦最細(xì)，從結(jié)實(shí)耐用的角度一般是直接用裸金屬絲制造。在松緊度相當(dāng)時(shí)，弦的振動(dòng)頻率與密度的平方根成反比，因空弦低八度的規(guī)律，其直徑要增大一倍。材料力學(xué)中，金屬桿件直徑加倍后的抗彎剛度會(huì)變?yōu)橹暗?倍。此時(shí)的弦若繼續(xù)采用裸金屬弦，將大大降低其柔韌性。因此，小提琴上的低音弦常在裸金屬線外纏細(xì)金屬絲。

18世紀(jì)后半葉弓的形狀逐漸由上凸弧線變?yōu)榱溯p微下凹。竹木由直到曲要經(jīng)歷反復(fù)火烤，但一段時(shí)間后其彎曲變形減小會(huì)降低弓的承載力。影響弓品質(zhì)的因素極為復(fù)雜，但承載力大（強(qiáng)度高）的弓一般表現(xiàn)力更好。玻璃纖維弓沒有變形問題，但因其中空質(zhì)量較清，常在兩端置入金屬，重心的把握上較難。巴西蘇木從強(qiáng)度、密度、變形等角度看是目前的制弓上品。

參考文獻(xiàn)：

[1]Fletcher NH，Rossing TD.The physics of Musical Instruments[M]，2nd edition.Springer-Verlag，New York，1998.

[2]Bucur V.Acoustics of wood[M]，2nd edition.Springer-Verlag，Berlin，2006.

[3]Newland DE.Mechanical vibration analysis and computation[M].Harlow，UK Longman，London，1989.

[4]Yoshikawa S.Acoustical classification of woods for string instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2007，122（1）：568-573.

[5]Molin NE，Jansson EV.Translent wave propagation in wooden plate for musial instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1989，85：2179-2184.

[6]武際可.絲竹背后話力學(xué)[J].自然雜志，2015，31（5）：355-361.

[7]劉延柱.漫話音樂中的力學(xué)[J].力學(xué)與實(shí)踐，2011，33（3）：91-94.

[8]Wegst UGK.Bamboo and wood in musical instruments[J].Annual Review of Material Research，2008，38：323-349.

（待 續(xù)）