做足模型建構(gòu)的“功”，化解簡便運算的“難”

周小蘇

【摘要】簡便運算在人們?nèi)粘Ｉ钪袘?yīng)用廣泛，也是小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)的重中之重，但是由于運算方法的多樣化和題型的千變?nèi)f化導(dǎo)致教學(xué)時困難重重。本文以“乘法分配律”為例，從模型建構(gòu)的角度探討如何化解教學(xué)中的難點問題，希望以此為突破口，找到簡便運算教學(xué)的基本方法模型。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律 模型建構(gòu) 簡便運算

簡算在人們?nèi)粘Ｉ钪袘?yīng)用非常廣泛，也是整個小學(xué)運算教學(xué)的重中之重。新課標(biāo)要求學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時，要能夠從不同的角度利用掌握的知識和方法靈活解決問題，而簡便運算就是運算策略多樣化和最優(yōu)化的集中體現(xiàn)，它要求學(xué)生能綜合應(yīng)用各項運算技巧，是計算題中最能夠培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一類題型。同時，由于簡便運算的方法多樣，題目類型千變?nèi)f化，時常導(dǎo)致學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向、張冠李戴，簡便運算的教學(xué)也往往成為運算教學(xué)中的老大難。學(xué)生弄不清到底什么樣的題目該用簡便方法，用怎樣的簡便方法。所以，每當(dāng)在教學(xué)簡便運算這部分內(nèi)容的時候，學(xué)生和教師往往叫苦不迭，問題頻出。而乘法分配律與其他的運算律相比，由于涉及兩種不同的運算，所以更是成為整個簡便運算教學(xué)中最難的部分。因此，如何科學(xué)有效地進(jìn)行乘法分配律的教學(xué)，便成為教師們最迫切需要解決的問題。

新課標(biāo)指出，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識，而乘法分配律本身就是一種重要的數(shù)學(xué)模型，本文試圖從模型建構(gòu)的角度探討如何化解乘法分配律教學(xué)中的難點問題。期待以此為突破口，找到簡便運算教學(xué)的基本方法模型。

一、抓住生活之“形”

數(shù)學(xué)來源于生活，抽象的模型建構(gòu)更要以豐富的生活背景為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的完整過程。

1.在問題情境中建模

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并解釋與應(yīng)用的過程。因此，如何在乘法分配律的教學(xué)中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程至關(guān)重要。創(chuàng)設(shè)問題情境能引導(dǎo)學(xué)生感知問題解決過程中的普遍規(guī)律，親身經(jīng)歷將具有相同結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象不斷數(shù)學(xué)化的過程，筆者分析了幾套教材對乘法分配律的編排，發(fā)現(xiàn)都是從學(xué)生熟知的生活情境中提出數(shù)學(xué)問題，并通過解決實際問題，對算式進(jìn)行觀察、比較、分析，進(jìn)而為抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型創(chuàng)造條件。

以“蘇教版”的“領(lǐng)跳繩”情境為例：

學(xué)生在求“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩，四五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？”時得出以下兩種計算方法：

（1）先用（6+4）算出一共的班級數(shù)，再乘24就可以算出兩個年級一共要領(lǐng)多少根跳繩，列式為（6+4）×24。

（2）先算四年級的跳繩根數(shù)，再算五年級的跳繩根數(shù)，然后把兩個年級的跳繩根數(shù)合起來，列式為6×24+4×24。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論是哪一種算法都能解決這個問題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩個算式的結(jié)果相等，中間可以用等號連接。通過這個實際問題的解決，教師可以借“領(lǐng)跳繩”的問題情境幫助學(xué)生建立乘法分配律的情境模型，即無論是兩個年級一起領(lǐng)還是分開領(lǐng)，其計算結(jié)果是相等的。回歸生活世界的問題情境能幫助學(xué)生理解乘法分配律的生活原理，加深對簡算算理的理解，使新知的建構(gòu)自然而有溫度。

2.在數(shù)形結(jié)合中建模

在具體情境中解決數(shù)學(xué)問題是一種生活化的模型建構(gòu)。然而，我們最終必將引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)符號來建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)小學(xué)生的思維特點，從具體到抽象需要有一個逐步提升的過程，在乘法分配律的教學(xué)中用好“數(shù)形結(jié)合”可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)之前首先建立一個清晰的幾何模型輪廓，起到循序漸進(jìn)的作用。例如，上述內(nèi)容在北師大版例題情境下，教師可以適當(dāng)加以引導(dǎo)和轉(zhuǎn)化，將生活中的貼瓷磚問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的長方形的面積計算問題。

●貼了多少塊瓷磚？說說你是怎樣算的。

教師可以結(jié)合抽象的長方形圖形，引導(dǎo)學(xué)生分別說一說“（4+6）×8、4×8+6×8、（5+3）×10、5×10+3×10”四道算式表示的具體意義，從而，又可以讓學(xué)生在頭腦中建立起“直接計算大長方形的面積和先分別計算兩個小長方形的面積再相加，其結(jié)果是相等的”幾何直觀模型。

二、緊扣意義之“神”

無論是情境中建模時生活經(jīng)驗的激活，還是數(shù)形結(jié)合時幾何直觀的建立，其顯著的特點都是在學(xué)生的頭腦中建立形象、直觀的模型，可謂抓住了生活的“形”。但數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)光有表面的直觀是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需著眼意義上的建構(gòu)，緊扣意義之“神”，讓學(xué)生“知其然”更“知其所以然”。因此，在教學(xué)中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從“乘法意義”的角度來理解乘法分配律，如結(jié)合等式（6+4）×24=6×24+4×24可以引導(dǎo)學(xué)生理解：等號左邊表示有“（6+4）個24的和，即10個24的和”，等號右邊表示“6個24的和加上4個24的和，也是10個24的和”，所以左邊和右邊相等。意義上的建構(gòu)讓學(xué)生既在形式上把握了乘法分配律的特點，又深層次地理解了本質(zhì)意義。

而且，深層次意義的建構(gòu)能較好地幫助學(xué)生化解易錯題的困難，如學(xué)生經(jīng)常把“98×25”這樣的題算成“（98+2）×25”，“101×64”算成“100×64+1”，這樣的錯例在乘法分配律的學(xué)習(xí)過程中是很常見的，教師們也常常一籌莫展。其實，針對這樣的錯例，只要注重從乘法的意義來理解算式，問題就可以迎刃而解。如98×25，從意義上來理解可以先算100個25，再減去2個25，所以正確的計算應(yīng)該是100×25-2×25，而101/64也就不難理解成應(yīng)該將100個64的和與1個64合起來，所以應(yīng)該寫成100×64+64×1或100×64+64。

三、提煉數(shù)學(xué)之“魂”

生活中的充分感知和模型建構(gòu)以及深層意義的理解為提煉乘法分配律的數(shù)學(xué)模型奠定了堅實的基礎(chǔ)，若在此基礎(chǔ)上能更好地組織學(xué)生進(jìn)行等式特征的觀察、符號模型的抽象和整理，則乘法分配律數(shù)學(xué)模型之“魂”呼之欲出，簡便運算的教學(xué)之“難”便不攻自破。

1.觀察等式特征

學(xué)生在解決實際問題的過程中，能初步感知到等式的特征，如果進(jìn)一步觀察對比就能發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律，再通過大量的舉例驗證，將會使學(xué)生更加熟悉乘法分配律的模型結(jié)構(gòu)，也能幫助學(xué)生在理解乘法分配律的同時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

例如，在蘇教版的例題教學(xué)后，教師就引導(dǎo)學(xué)生觀察等式“（6+4）×24=6×24+4×24”，并說一說自己的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會從左右兩邊算式中數(shù)據(jù)、符號等特點進(jìn)行表述：

生1：我發(fā)現(xiàn)這兩道算式都是用同樣的三個數(shù)寫成的。

生2：左邊的算式中“24”用了一次，右邊的算式中“24”用了兩次。

生3：左邊是把6加4的和與24相乘，右邊是把6和4分別與24相乘。

生4：我發(fā)現(xiàn)了左邊是兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，右邊是兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把積相加。

從上面可以看出，學(xué)生在觀察、對比的基礎(chǔ)上可以找到或接近等式最本質(zhì)的特征。此時，關(guān)于乘法分配律的等式模型在交流的過程中已初見雛形，也為后面學(xué)生的自主舉例驗證做好鋪墊。教師可適時啟發(fā)：剛才大家的發(fā)現(xiàn)是不是一種巧合？你能不能再舉一些例子來進(jìn)行驗證呢？通過對大量例子的再觀察，學(xué)生建構(gòu)的等式模型將更為清晰。

2.抽象符號模型

（1）個性化的語言表述

語言是思維的外衣，在學(xué)生認(rèn)識了乘法分配律等式特征之后，教師要讓學(xué)生充分、自由地用自己的語言試著表述“乘法分配律”，通過語言的表述能讓學(xué)生加深對模型結(jié)構(gòu)的理解，也能更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力。人教版和蘇教版的教材上都有語言闡述乘法運算律的完整表達(dá)，這也充分說明語言表述的重要性。

事實上，只要在課堂上充分放開，學(xué)生的表達(dá)是多元而生動的，如：“先算出兩個數(shù)的和，再和另一個數(shù)相乘，就等于這兩個數(shù)分別和另一個數(shù)相乘，再相加。”“括號中的兩個數(shù)先加起來再乘一個數(shù)，等于將括號里的每一個數(shù)都去乘括號外面的這個數(shù)，再加起來。”值得注意的是，在鼓勵個性化的語言表述的基礎(chǔ)上教師也要關(guān)注表述的科學(xué)、規(guī)范、完整、簡潔，真正幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

（2）結(jié)構(gòu)化的模型整理

建構(gòu)符號模型是在學(xué)生對乘法分配律本質(zhì)特征有了準(zhǔn)確、充分認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它將使得前面具體形象的模型建構(gòu)完整，這是建立乘法分配律數(shù)學(xué)模型的重要階段，也是學(xué)生順利建立符號模型，提升思維品質(zhì)的過程。由于學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了加法運算律及乘法交換律的符號模型建構(gòu)，并且對乘法分配律也已經(jīng)有了充分的認(rèn)識，所以其符號模型“（a+b）×c=a×c+b×c”的建構(gòu)是順理成章、呼之欲出的。此時，需要將乘法分配律放到整個運算律教學(xué)結(jié)構(gòu)中，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的運算律進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)化的分類整理，明晰其中的聯(lián)系和區(qū)別，形成完整的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

在學(xué)生自主整理后，會產(chǎn)生如下幾種分類方法：

①a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）;a×b=b×a，（a×b）×c=a×（b×c），（a+b）×c=a×c+b×c（按加法運算律、乘法運算律分類）。

②a+b=b+a，a×b=b×a;（a+b）+c=a+（b+c），（a×b）×c=ax（b×c）;（a+b）×c=a×c+b×c（按交換律、結(jié)合律、分配律分類）。

③a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），a×b=b×a，（a×b），c=ax（b×c）;（a+b）×c=a×c+b×c（按同級運算、兩級運算分類）……

從學(xué)生對運算律的整理來看，雖然方法不同，但大家都能根據(jù)特征有條理地整理，也提高了學(xué)生對運算律的認(rèn)識水平。

四、夯實應(yīng)用之“根”

學(xué)以致用，用所學(xué)知識解決實際問題是學(xué)習(xí)的根本目的。因此，在成功構(gòu)建了乘法分配律的數(shù)學(xué)模型之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型，在應(yīng)用的過程中不僅能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，更能提高學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性，強化已有的知識結(jié)構(gòu)，真正夯實數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用根基。

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)后，可以從模型的基礎(chǔ)應(yīng)用、變式應(yīng)用、對比應(yīng)用等角度來設(shè)計相應(yīng)的練習(xí)：

1.基礎(chǔ)應(yīng)用：填一填。

（1）（25+3）×4=D×D+D×□。

（2）8×（125+7）=□×□+□×□。

（3）7×59+3×59=（□+□）×□。

（4）15×6+6×5=（□+□）×□。

2.變式應(yīng)用：算一算。

99×19+19 65×101

3.對比應(yīng)用：想—想（用兩種不同的簡算方法計算下題）。

25×24

通過填一填、算一算、想一想的練習(xí)設(shè)計讓學(xué)生靈活應(yīng)用乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，掌握模型的正、逆向的運用，對比乘法結(jié)合律和分配律在解決同一個問題時的解題過程，能更有效地促進(jìn)知識的內(nèi)化，同時也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值。

乘法分配律是應(yīng)用最廣泛、最核心，學(xué)習(xí)難度最大的運算律，這就決定了數(shù)學(xué)教師要充分認(rèn)識其本質(zhì)特征，牢牢抓住教學(xué)要點，讓模型思想深深扎根學(xué)生頭腦之中。當(dāng)然，任何事物都不是一成不變的，運算律的教學(xué)也隨著時代的發(fā)展而要求我們不斷創(chuàng)新教學(xué)思維和教學(xué)方法，但萬變不離其宗，做足模型建構(gòu)之“功”必定是運算律教學(xué)的根本。