高中數(shù)學(xué)思維的個體特征與教師的教學(xué)策略

邵潔

[摘? 要] 傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)由于受評價(jià)機(jī)制影響，教師更多關(guān)注的是班級整體的狀況. 經(jīng)驗(yàn)表明，將目光鎖定在學(xué)生個體身上，對某些具有特殊思維的學(xué)生進(jìn)行研究并總結(jié)出思維特征，也可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生新的增長點(diǎn). 教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生具有表象構(gòu)建能力強(qiáng)、數(shù)學(xué)語言運(yùn)用能力弱的特征，有的學(xué)生的思維具有“頓悟”的特征，針對這兩類學(xué)生進(jìn)行針對性的教學(xué)，可以讓數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生更多元.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);學(xué)生個體;思維特征;教學(xué)策略

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生思維的關(guān)注是數(shù)學(xué)有效教學(xué)的基礎(chǔ)，由于班級授課制的特點(diǎn)，教師在課堂上更多關(guān)注的是學(xué)生思維的共同特征，并據(jù)此設(shè)計(jì)教學(xué)，相比較而言，對學(xué)生個體的思維特征的關(guān)注顯得有些不足[1]. 當(dāng)然，這是情有可原的，因?yàn)榇蟀囝~背景下要對學(xué)生個體進(jìn)行關(guān)注，尤其是對內(nèi)隱在知識構(gòu)建與問題解決背后的思維的關(guān)注，確實(shí)存在著較大的困難. 但從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，這種關(guān)注又是必要的，因?yàn)橹挥姓嬲芯繉W(xué)生個體的思維，才能更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維特點(diǎn)，從而真正地實(shí)現(xiàn)因材施教. 那么，如何協(xié)調(diào)對思維共性與個性之間的矛盾呢？筆者以為可以在教學(xué)中選擇部分具有樣本意義的學(xué)生作為研究對象，這樣容易在教學(xué)效果上起到以點(diǎn)帶面的作用（這里不能不提及筆者對此問題進(jìn)行研究的另一個初衷，那就是試圖尋找到一批能夠通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法努力來明顯提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的學(xué)生，這樣不僅有利于這部分學(xué)生，而且對其他學(xué)生也會起到促進(jìn)作用），同時也可以讓教師更好地把握學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維特點(diǎn).

具有樣本意義的學(xué)生個體選擇

選擇哪些學(xué)生作為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的對象，這是一個值得思考的問題. 由于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，筆者在很早以前就開始關(guān)注這個問題，起初的思路是在學(xué)優(yōu)生、中等生以及學(xué)困生中分別尋找數(shù)個學(xué)生作為研究的對象，后來發(fā)現(xiàn)這種基于成績的判斷有時候并不準(zhǔn)確，因?yàn)槌煽儾煌ǔ６嗍怯蓴?shù)學(xué)知識基礎(chǔ)決定的，而到了高中階段，數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)的彌補(bǔ)往往是需要時間與努力的[2]，其與數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)并不能完全畫上等號，于是就開始尋找新的判斷依據(jù).

后來筆者發(fā)現(xiàn)，利用一些與前面知識關(guān)聯(lián)不那么緊密的知識的教學(xué)，來判斷學(xué)生在知識構(gòu)建中的思維速度、準(zhǔn)確程度，利用問題解決過程中學(xué)生對某些細(xì)節(jié)性問題的判斷水平，可以較好地確定研究對象，從而發(fā)現(xiàn)部分基礎(chǔ)薄弱但有潛力的學(xué)生.

比如說筆者在教圓錐曲線的時候，發(fā)現(xiàn)有幾個平常不怎么積極的學(xué)生在自己小組內(nèi)積極發(fā)言，有時候還在下面與其他同學(xué)討論，就感覺到很好奇. 而在課堂上讓他們回答在討論什么的時候，他們又支支吾吾. 后來其中一個陳同學(xué)旁邊坐著的比較優(yōu)秀的一個同學(xué)說：“老師，你來聽聽，他的想法比較獨(dú)特. ”于是筆者加入該小組的討論，而那個陳同學(xué)在闡述時，筆者發(fā)現(xiàn)他在用大腦加工一個平面從不同角度截一個圓錐面時，說得十分清楚，組內(nèi)同學(xué)也都能聽懂，甚至一些平常不大開口的女生在聽到他說不同的平面截錐面的情形時，都能搶著回答截后的結(jié)果是什么. 筆者當(dāng)時非常驚訝，因?yàn)檫@是一種非常了不起的形象思維能力，同時筆者也注意到，這個同學(xué)在用數(shù)學(xué)語言表述思考結(jié)果時卻出現(xiàn)了困難，別人一眼看出的橢圓、雙曲線，或點(diǎn)、圓等，在他的嘴里卻變得有些困難.

顯然，這個同學(xué)的特點(diǎn)是可以下結(jié)論了：形象思維能力強(qiáng)，表象構(gòu)建的能力強(qiáng)，但數(shù)學(xué)語言運(yùn)用的能力不強(qiáng)，這導(dǎo)致了他在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與測試過程中總是處于不理想的狀態(tài). 無獨(dú)有偶的是，另外也有兩個同學(xué)也屬于這種類型，于是這樣的學(xué)生就進(jìn)入了筆者研究的視野，成為筆者進(jìn)行數(shù)學(xué)思維研究的樣本學(xué)生. 將他們作為樣本，可以提高班級整體數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)水平.

此外，在數(shù)學(xué)問題解決過程中容易產(chǎn)生靈感的學(xué)生，也應(yīng)當(dāng)成為老師的研究對象，因?yàn)檫@類學(xué)生的思維往往具有發(fā)散性、跳躍性，其能夠帶動整個班級學(xué)生沿某個方向去思維，將他們作為樣本來分析，可以觸摸班級整體的最高水平.

學(xué)生個體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維特征

那么，這些學(xué)生個體的思維通常具有什么樣的特征呢？筆者對上面兩類學(xué)生進(jìn)行了分析，各有收獲.

對于形象思維能力強(qiáng)而數(shù)學(xué)語言運(yùn)用能力不強(qiáng)的學(xué)生，他們的思維優(yōu)勢往往體現(xiàn)在能夠充分利用自身的經(jīng)驗(yàn)與理解來加工數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象上，思維劣勢體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)語言理解數(shù)學(xué)研究對象時的困難上，說到底就是形象思維與抽象思維的差異上. 從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的角度來看，這類學(xué)生的形象思維特征表現(xiàn)為對“形”的加工上，他們大腦中容易形成表象，容易進(jìn)行有效的加工，這可以使得他們在建立類似于平面從不同角度截錐面的空間表象時變得較為容易. 教學(xué)實(shí)踐中還發(fā)現(xiàn)，他們有時候還會借助于實(shí)物來向他人表達(dá)自己的思考，如將一張紙卷成錐面，然后用直尺表示平面，然后去橫截、豎截、斜截，又或者正好截在錐面的頂點(diǎn)，這樣小組內(nèi)的其他同學(xué)就更加容易聽懂. 從學(xué)習(xí)心理的角度來看，這樣的實(shí)物模擬其實(shí)就是一種簡易的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是清晰的數(shù)學(xué)表象轉(zhuǎn)換為具體的操作過程;而在他們用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思考的時候，他們表現(xiàn)出的思維特征的另一面，實(shí)際上就是由于數(shù)學(xué)概念的模糊性，使得他們無法用數(shù)學(xué)語言來內(nèi)化自己的思考結(jié)果. 這也提醒我們，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)絕對不只是數(shù)學(xué)定義所用文字的堆砌，而是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會基于數(shù)學(xué)語言去理解數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 這一特征可以通過上例看出來.

對于數(shù)學(xué)問題解決中容易出現(xiàn)靈感的學(xué)生，筆者也進(jìn)行了仔細(xì)分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們的靈感往往來自有效問題解決經(jīng)驗(yàn)的積累，在經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上經(jīng)由直覺思維形成的靈感，這可以理解為一種“頓悟”. 這類學(xué)生與上一類學(xué)生不同，他們的表象構(gòu)建能力與數(shù)學(xué)語言能力一般都比較強(qiáng)，但又不屬于班上的那種頂尖的學(xué)生，這說明這類學(xué)生思維的穩(wěn)定性不好，一般的問題解決中容易出現(xiàn)小的錯誤，但同時如果情境適當(dāng)，他們的潛力有可能爆發(fā)出來. 因此，通過上述這種頓悟能力的培養(yǎng)，筆者發(fā)現(xiàn)他們其實(shí)有潛力成為頂尖學(xué)生. 這樣的學(xué)生通常一個班都有這么四五個，將他們作為研究對象，可以為尖子生培養(yǎng)提供一定的思路.

比如說，有一次筆者給學(xué)生提了這樣的一個問題：在一張矩形紙片上，畫有一個圓（圓心為O）和一個定點(diǎn)F（F在圓外）. 在圓上任取一點(diǎn)M，將紙片折疊使點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，得到折痕CD，設(shè)直線CD與直線OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

對于這個問題，好多學(xué)生都表現(xiàn)出茫然，因?yàn)檫@個題目具有一定的操作特征，因此需要調(diào)動思維去想象操作后的結(jié)果，這自然需要強(qiáng)大的想象表象的能力作為支撐，同時還需要結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識去進(jìn)行比較與判斷，好多學(xué)生都卡在這兩個環(huán)節(jié)上. 而在此過程中，筆者注意到有四個平常相對不怎么活躍的學(xué)生在下面躍躍欲試，當(dāng)筆者與他們各自交流的時候，發(fā)現(xiàn)他們的直覺非常準(zhǔn)確. 此過程中他們的判斷思路具有高度相似性：紙片折疊后圓周上的M點(diǎn)與圓外的點(diǎn)F重合得到了CD，那必然存在PO-PF=PO-PM=OM這一關(guān)系，而OM又肯定是小于OF的，因?yàn)镕在圓外. 這樣，就可以猜想點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是一個雙曲線. 這幾個學(xué)生在猜想的時候，既有一定的推理，同時推理又不是那么嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯關(guān)系也體現(xiàn)得不清晰，但這并不影響他們通過良好的直覺做出判斷，后來筆者讓他們當(dāng)著其他學(xué)生的面去表述，并在黑板上演算. 筆者還特地讓四個學(xué)生一起到黑板上，看誰寫得合理，結(jié)果他們自然去精心組織數(shù)學(xué)語言，寫的結(jié)果也不錯.

基于個體思維特征的教學(xué)策略

既然班上總存在這樣的一些思維具有特殊性的學(xué)生，那老師在教學(xué)的時候自然不可忽視，而應(yīng)當(dāng)以對這部分學(xué)生的教學(xué)為契機(jī)，尋找更好的教學(xué)思路與方法，以撬動全體學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高. 本著這一思路，筆者總結(jié)了兩點(diǎn)策略：

一是課堂上的分類指導(dǎo)策略. 這是因材施教理念的產(chǎn)物，教授一個班級，將這兩類（通常在十個左右）的學(xué)生抓在手上，研究他們的思維特點(diǎn)，設(shè)計(jì)具有針對性的教學(xué)策略，讓他們學(xué)有動力、學(xué)有所得. 這樣可以讓課堂教學(xué)上的方法更趨多元化，而事實(shí)也證明，由于分類指導(dǎo)策略的存在，他們的學(xué)習(xí)更容易產(chǎn)生皮格馬利翁效應(yīng)，他們對數(shù)學(xué)的興趣會逐日增加，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

二是課后跟進(jìn)評價(jià)策略. 對于這樣的兩類學(xué)生，本著對他們思維特征的研究，提供不同類型的訓(xùn)練內(nèi)容，并給予非判斷性的或是激勵性的評價(jià)，讓他們產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動力，這對于他們學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升，是非常有好處的.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，既需要關(guān)注全體，同時也需要對不同類型尤其是相對具有特殊思維性的學(xué)生予以重點(diǎn)關(guān)注，這樣數(shù)學(xué)課堂會更精彩，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平也會得到整體提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 鄧友祥. 有效數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵與特征及教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（2）：7-10.

[2]? 王玨. 享受思維，學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的理由[J]. 上海教育科研，2013（1）：68-69.