借助數(shù)學(xué)文化 滲透“化曲為直”數(shù)學(xué)思想

盧志明 鄧冰

摘要：“圓的周長”是以長方形、正方形周長知識為認(rèn)知基礎(chǔ)的，是前面學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識”的深化，是后面學(xué)習(xí)“圓的面積”等知識的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生猜測圓的周長與直徑的倍數(shù)數(shù)量關(guān)系，學(xué)生根據(jù)對測量圓周長活動過程的理解，通過小組合作、測量、計算等操作活動，表明了“化曲為直”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不可忽視的作用。本文探討了如何在“圓周的周長”教學(xué)的各個環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想，旨在為小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)提供一些新的視角。

關(guān)鍵詞：“化曲為直”思想;圓周的周長;教學(xué)設(shè)計

圓的周長與直徑之比是個與圓的大小無關(guān)的一個常數(shù)，人們稱之為圓周率。巴比倫人最早發(fā)現(xiàn)了圓周率。古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數(shù)粒數(shù)與方形對比的方法取得數(shù)值。用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化代表之一，在教學(xué)中，為了讓學(xué)生更深層次地 領(lǐng)悟知識、感悟數(shù)形結(jié)合的思想，教師可以借助數(shù)學(xué)文化把數(shù)形結(jié)合思想融入各個教學(xué)環(huán)節(jié)中。

一、在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想的“圓周的周長”教學(xué)設(shè)計

（一）教材分析

“圓周的周長”是人教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)初步掌握探究周長與直徑的關(guān)系，加強動手操作，培養(yǎng)學(xué)生自主探索能力，讓學(xué)生動手操作，通過畫一畫、剪一剪、圍一圍等多種方式求圓的周長。即通過測量不同大小的圓的周長和直徑，計算出周長和直徑的比值，發(fā)現(xiàn)比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計算公式。教師可以結(jié)合六年級學(xué)生具有較強的好奇心和求知欲的特點，在教學(xué)中分層、分階段地滲透數(shù)形結(jié)合的思想。教師可以借助數(shù)學(xué)文化載體，對定義的由來、探索證明方法、應(yīng)用過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想進行設(shè)計，由正方形周長的概念類比推出圓周長的概念，較好地促進了知識的遷移。為圓的周長的測量用了幾種不同的方法，共同之處是化曲為直，有意識地滲透了化歸思想。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）知道圓的周長和圓周率的含義，理解并掌握圓的周長計算公式，能正確計算圓的周長。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的小組合作學(xué)習(xí)的能力和動手實踐、觀察、比較和概括的能力，發(fā)展空間觀念，感受到數(shù)學(xué)中的美。

（3）介紹祖沖之在圓周率方面的成就，滲透愛國思想和數(shù)學(xué)文化。

（三）教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：探索圓的周長的推導(dǎo)過程。 教學(xué)難點：運用數(shù)形結(jié)合的思想圓周率和計算圓的周長。

（四）教學(xué)過程

【第一環(huán)節(jié)】實踐操作，提出猜想，導(dǎo)入課題

1. 小組合作，感知數(shù)與形之間的奧秘課前準(zhǔn)備

出示長方形，正方形，提問：長方形，正方形的周長在哪？動手指一指。

師：那什么叫做圖形的周長？

生：封閉圖形一周的長度，叫做圖形的周長。

2. 出示圓，提問：圓的周長在哪？動手指一指。

師：那什么叫圓的周長？

生回答后師小結(jié)：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長

繼續(xù)提問：它們之間到底有什么的關(guān)系呢？

數(shù)學(xué)文化教育：我國古代有一位偉大的數(shù)學(xué)家和文學(xué)家祖沖之就發(fā)現(xiàn)了圓的周長與它的直徑之間的關(guān)系，這個發(fā)現(xiàn)是在1500年前。今天我們各位同學(xué)也當(dāng)一回科學(xué)家，進行一次研究，來發(fā)現(xiàn)圓周長與直徑之間到底有什么關(guān)系。

（2）、動手實驗：（四人一組，合作完成）（一組測一個）

a、取出圓形紙板，量出圓形紙板的直徑。

b、用繩子繞圓形紙板一周，繞圓一周的繩子長度，就是這個圓形的周長，然后測出繩子長度。

思考：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律較困難時，觀察表中數(shù)據(jù)，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？（四人一組，共同討論，）

小組匯報：同一個圓，它的周長是它的直徑的3倍多一些。

【第二環(huán)節(jié)】探索新知，驗證定理，證明結(jié)論

1. 借助祖沖之的圓周率數(shù)學(xué)文化，再現(xiàn)發(fā)現(xiàn)定理的過程教師出示PPT展示任務(wù)：（1）讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的圓形教具;（2）讓學(xué)生分組進行拼圖，并鼓勵學(xué)生在操作過程中大膽嘗試各種拼法。

2.學(xué)生自主探究測量圓的周長

師：有什么方法可以測量你手中小圓片的周長的？想一想？ 學(xué)生匯報，教師指正。

A：用一根繩子，繞圓一周，去掉多余部分，再拉直量出它的長度，這就是圓的周長。

B：在圓上做一個記號，讓這個記號在直尺上滾動一周，滾動的距離就是圓的周長。

師：用這兩種方法可以測量手中圓的周長，那現(xiàn)在老師想知道學(xué)校圓形跑道的周長還以用滾動法嗎？（不可以）用繩測法方便嗎？（不方便）接下來我們就來尋找一種更簡便的方法。

2、 探究圓周長的計算公式

（1） 課件出示（四個不同直徑的同心圓）

師：圓的周長和什么有關(guān)呢？請你仔細(xì)觀察，說說你的發(fā)現(xiàn)。

多名學(xué)生回答后師：圓的周長和它的直徑有關(guān)，直徑越大，這個圓的周長就越大。

（2） 探究圓的周長和直徑的數(shù)量關(guān)系

師：圓的周長與它的直徑存在什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？請同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備的3個小圓，進行測量，要求小組合作。（板書：圓的周長÷直徑）

學(xué)生小組合作進行測量，計算，教師巡視并參與其中。學(xué)生匯報數(shù)據(jù)，完成表格

師：仔細(xì)觀察這個表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)圓的周長是直徑的3倍多一點。

生：我發(fā)現(xiàn)圓的周長是直徑的4倍少一些。

（3） 介紹圓周率，及祖沖之。

（4）推導(dǎo)公式

用字母π表示。

板書： =π ?或 ?圓周長：它的直徑=π

（①讓學(xué)生讀一讀（Pài）寫一寫。②了解π的值。

A、π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535..........

B、在實際應(yīng)用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.

（5）公式推導(dǎo)：

師：圓的周長÷直徑=圓周率。那圓的周長等于什么？

生：圓的周長=直徑×圓周率

師：用字母C表示圓的周長，則有 C=πd或C=2πr.

師：要計算圓的周長，需知道什么？（圓的直徑或半徑）

練習(xí)：（不計算得數(shù)，直接報算式）

3.自主探索，總結(jié)圓的周長÷直徑=圓周率的方法教師通過課件展示問題：對教材中的的周長計算公式，還有什么方法呢？由此拓展學(xué)生的思維解決實際問題：

教學(xué)例1 （關(guān)于圓的周長的計算公式的應(yīng)用有多種情況：已知圓的半徑或直徑求圓的周長，或者已知圓的周長求圓的半徑或直徑。例1教學(xué)知道直徑求周長的情況。）

圓形花壇的直徑是20米，它的周長是多少？小自行車車輪直徑是50厘米，它繞花壇一周要多少周？

學(xué)生獨立完成，反饋。

第1個問題：已知直徑求周長 ? ? C=πd=3.14×20=62.8（米）

第2個問題：先求小自行車車輪轉(zhuǎn)動一周的長度，再求需要多少圈。

50cm=0.5m，0.5×3.14=1.57（m） 62.8÷1.57=40（周）

說明：?、解題時可以不寫計算公式

?、π取兩位小數(shù)3.14，計算中不必使用≈ ，直接用 = 號。

【第三環(huán)節(jié)】鞏固新知，拓展延伸，學(xué)以致用 為了更好地幫助學(xué)生鞏固知識、提升能力，教師可以設(shè)計一系列問題與拓展練習(xí)。

1、 完成課本64頁做一做。

2、完成練習(xí)十五第1題。

3、補充作業(yè)。判斷題：

（1）圓的周長剛好是直徑的3.14倍。

（2）大圓的圓周率大，小圓的圓周率就小。

（3）π是兩位小數(shù)。

（4）圓的周長等于它的半徑的2π倍。

（5）求周長，直徑是唯一條件。

【第四環(huán)節(jié)】歸納小結(jié)，總結(jié)思想，作業(yè)布置。歸納小結(jié)，總結(jié)思想 師生共同歸納總結(jié)，不僅從知識的結(jié)構(gòu)進行梳理，還概括了本節(jié)課數(shù)形結(jié)合思想的運用過程。學(xué)生在總結(jié)反思過程中感受到數(shù)形結(jié)合思想貫穿于本節(jié)課的始終。

本節(jié)課我們認(rèn)識了圓的周長，并且通過實驗知道，圓有大小，但每一個圓周長與它的直徑的比的比值都相等，并且是一個固定的數(shù)，這個數(shù)叫圓周率，用π表示。從而找到了計算圓周長的公式，周長=直徑 × π或半徑×2×π。

二、教學(xué)設(shè)計做進一步思考：

（一）在教學(xué)過程中有效利用現(xiàn)代信息技術(shù)滲透數(shù)形結(jié)合思想

《圓的周長》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了正方形周長的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。由復(fù)習(xí)老知識引入課題，目的是激發(fā)學(xué)生的探究積極性，然后我讓學(xué)生自己推導(dǎo)出圓的周長公式，讓學(xué)生以小組為單位進行操作：用“化曲為直”的繞線法測量圓的周長，并做好相應(yīng)記錄，填好表，為下一步探究奠定基礎(chǔ)，接下來讓學(xué)生猜一猜、想一想圓的周長與直徑有什么關(guān)系，進而找到圓的周長與直徑的關(guān)系，推出圓周率，得出圓的周長公式。最后讓學(xué)生把得出的圓的周長公式應(yīng)用到練習(xí)中。

（二）在問題解決過程中展現(xiàn)“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法

教師應(yīng)在解決數(shù)學(xué)問題過程中，展現(xiàn)“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵——學(xué)生提出質(zhì)疑測量、學(xué)生通過小組合作的形式驗證猜想，在理解了圓的周長與直徑的關(guān)系及圓周率的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出圓的周長的計算公式，再回到課前情境中，使學(xué)生在掌握新知識的基礎(chǔ)上，解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

（三）在教學(xué)反思過程中總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想方法

關(guān)于反思的認(rèn)識，在本節(jié)的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)情境導(dǎo)入吸引了學(xué)生的注意，并對新知識產(chǎn)生了濃厚的興趣，由于前面“正方形周長及圓的認(rèn)識”知識的成功鋪墊，因此本節(jié)課學(xué)生通過動手操作、自主探究、合作交流‘展示等活動，理解了“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法。在推導(dǎo)公式過程中，因為親自經(jīng)歷了小組內(nèi)探討圓的周長與直徑的關(guān)系的過程，所以學(xué)生能較為容易地推導(dǎo)出圓的周長計算公式。

教學(xué)反思主要體現(xiàn)在四個方面：一是挖掘教材中蘊含的數(shù)形結(jié)合的“化曲為直”思想;二是在教學(xué)活動的各環(huán)節(jié)滲透各種數(shù)學(xué)文化數(shù)的滲透過程伴隨知識的生長過程;三是分析例題設(shè)計習(xí)題練習(xí)，讓學(xué)生時刻受到這種方法的熏陶，從而逐步形成數(shù)形結(jié)合的意識。在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，教師應(yīng)始終遵循反思滲透 的原則，以便有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

綜上所述，在“《圓的周長》”的教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，教師應(yīng)遵循學(xué)生的思維發(fā)展特點，運用現(xiàn)代信息技術(shù)動態(tài)地展現(xiàn)“形”，在解決問題的過程中靈活運用“數(shù)”與“形”的關(guān)系，反思數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)在價值，從而提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，我對課堂的掌控和把握能力還需提高，雖然對教材進行了較為深入的分析，但還沒有做到不徹底，小組合作要求不到位。在今后的教學(xué)工作中，我將彌補以上不足之處，提高個人的理論修養(yǎng)，使自己的教學(xué)趨于完美。

（此成果是：廣州市教育規(guī)劃十三五課題“基于小學(xué)‘?dāng)?shù)學(xué)文化’高年段課例教學(xué)策略研究”成果之一，課題編號：201912067）

（廣州市番禺區(qū)北片教育指導(dǎo)中心 ?廣東廣州 ?511430;廣州市番禺區(qū)大石富麗小學(xué) ?廣東廣州 ?511430）