讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考

趙爽 錢守旺

【編者按】社會(huì)科學(xué)的高速發(fā)展，對(duì)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求，而這也促使基礎(chǔ)教育必須做出相應(yīng)的變化?；诖?，兼具能力發(fā)展與實(shí)踐操作等豐富內(nèi)容的數(shù)學(xué)拓展課進(jìn)入了廣大教師的視野。一線教師如何提升自身專業(yè)素養(yǎng)，如何遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求、學(xué)生發(fā)展規(guī)律等要素設(shè)計(jì)出高水平的數(shù)學(xué)拓展課？本期話題圍繞“小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)與實(shí)踐”展開探討。

縱觀數(shù)學(xué)史，許多著名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開始。雖然數(shù)學(xué)猜想的結(jié)論不一定正確，但它作為一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法。可以說，數(shù)學(xué)猜想不僅是推動(dòng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，也是推動(dòng)科學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力之一。猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，該怎么教呢？如果能引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去思考，經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過程，無疑是培養(yǎng)學(xué)生猜想能力、提高創(chuàng)新能力、發(fā)展推理能力、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣以提升核心素養(yǎng)的有效途徑。基于以上思考，筆者將世界三大數(shù)學(xué)猜想之一的“四色猜想”引入課堂，開發(fā)了五年級(jí)思維拓展課。

一、營(yíng)造寬松的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生敢于猜想

心理專家指出，緊張的學(xué)習(xí)氣氛制約著人們智慧潛能的發(fā)揮，而寬松民主的學(xué)習(xí)環(huán)境，可以誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)新潛能的萌動(dòng)。一個(gè)人的創(chuàng)造力只有在他感覺心理安全和心理自由的條件下，才能獲得最優(yōu)的表現(xiàn)和發(fā)展。學(xué)生只有在這樣的課堂環(huán)境中，才會(huì)敢想、敢說、敢問、敢猜、敢辯。

《最強(qiáng)大腦》節(jié)目以“讓科學(xué)流行起來”為口號(hào)，以“讓更多年輕人愛上科學(xué)”為目標(biāo)。節(jié)目中的智力游戲有助于提高選手和觀眾的觀察力、記憶力、空間力、創(chuàng)造力、推理力和計(jì)算力。其中有兩期節(jié)目是以“四色問題”為主題的，一期是拿破侖的四色禮物，一期是盧浮宮四色金字塔，正好與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相契合。因此，創(chuàng)設(shè)此情境，無論是形式還是內(nèi)容，都為接下來的學(xué)習(xí)埋下伏筆，可謂一舉多得。

課前，先讓學(xué)生欣賞一段《最強(qiáng)大腦》比賽視頻。以視頻為媒介，借談話導(dǎo)入新課，消除了緊張的氣氛，拉近了師生的距離，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的情緒，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣，為接下來的猜想從心理上做了充分的準(zhǔn)備。課中，現(xiàn)實(shí)版的“最強(qiáng)大腦”填色游戲貫穿始終，吸引著學(xué)生全程積極參與，加上教師激勵(lì)性的評(píng)價(jià)語言，讓每一個(gè)學(xué)生都樂于猜想。教師尊重每一個(gè)學(xué)生的發(fā)言，答錯(cuò)了也能體面地坐下，讓每一個(gè)學(xué)生都敢于猜想。

二、設(shè)計(jì)有趣的推理游戲，讓學(xué)生科學(xué)猜想

數(shù)學(xué)猜想是以一定的數(shù)學(xué)事實(shí)為根據(jù)，包含著以數(shù)學(xué)事實(shí)作為基礎(chǔ)的可貴的想象成分。沒有數(shù)學(xué)事實(shí)作根據(jù)，隨心所欲地胡亂猜想得到的命題不能稱之為“數(shù)學(xué)猜想”。數(shù)學(xué)猜想通常是應(yīng)用歸納、類比的方法提出的。歸納猜想是一種由特殊到一般的推理形式，其思維過程為“特例—?dú)w納—猜測(cè)”。類比猜想是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維過程為“聯(lián)想—類比—猜測(cè)”。四色猜想屬于歸納猜想。不管哪種猜想，都是一種合情推理，其結(jié)論具有或然性，不一定正確，需要進(jìn)一步證明。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者設(shè)計(jì)了現(xiàn)實(shí)版的“最強(qiáng)大腦”推理游戲，給泰森多邊形填色。游戲分初級(jí)、中級(jí)和高級(jí)挑戰(zhàn)三個(gè)層級(jí)，每一級(jí)勝出的學(xué)生都有資格進(jìn)入最后的腦王爭(zhēng)霸賽，讓學(xué)生在填色游戲中經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過程，不斷體驗(yàn)挑戰(zhàn)的樂趣。隨著游戲不斷升級(jí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)也從淺表逐漸走向深入。具體操作如下。

游戲規(guī)則：給泰森多邊形填色，要求每相鄰兩個(gè)多邊形顏色不能相同，使用顏色種類最少、用時(shí)最短并且填色均勻者為勝，顯示不全看不到公共邊的兩個(gè)圖形視為不相鄰。泰森多邊形對(duì)小學(xué)生來說是陌生的，但北京水立方像肥皂泡一樣的圖案卻是學(xué)生熟悉的，將兩者建立聯(lián)系，一下便拉近了學(xué)生和泰森多邊形之間的距離。

游戲從初級(jí)挑戰(zhàn)開始，要求按游戲規(guī)則給圖1填色。完成后對(duì)比觀察，發(fā)現(xiàn)最少是三種顏色。教師追問：“用四種顏色的能不能減少一種呢？”學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，紅色多邊形和黃色多邊形是不相鄰的，可以用同一種顏色來填。因此，把黃色改成紅色即可（圖4）。

游戲需要學(xué)生根據(jù)規(guī)則步步推理。既要保證相鄰兩個(gè)多邊形顏色不能相同，又要保證使用顏色種類盡可能少。對(duì)于規(guī)則，比賽之前筆者沒有做過多的解釋與提醒，學(xué)生出錯(cuò)在所難免。而恰恰是在出錯(cuò)、糾錯(cuò)的過程中，提高了學(xué)生的推理能力，強(qiáng)化了對(duì)游戲規(guī)則的理解，為接下來的猜想埋下伏筆。

游戲進(jìn)入中級(jí)挑戰(zhàn)，要求按游戲規(guī)則給圖2填色。教師先鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想：“多邊形數(shù)量增多，再用三種顏色，還夠嗎？”大部分學(xué)生猜不夠，認(rèn)為圖形數(shù)量越多，用的顏色種類也越多。大膽猜想，小心求證，是科學(xué)研究的基本方法，也是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神和創(chuàng)新能力，發(fā)展合情推理能力的有效措施。缺乏思考的驗(yàn)證是盲目的，親歷失敗后，教師不用做過多強(qiáng)調(diào)，學(xué)生自會(huì)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，先認(rèn)真思考，再小心填色，多了理性，少了盲目，使驗(yàn)證更加有效。通過對(duì)比觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種顏色不夠，最少用四種。在匯報(bào)交流方法時(shí)，學(xué)生的發(fā)言特別精彩。一個(gè)學(xué)生說：“我先把中間的多邊形填上藍(lán)色，它周圍一圈的多邊形就不能用藍(lán)色了，我用‘紅—綠—紅—綠—紅—綠’交替著填，當(dāng)填到周圍一圈的最后一個(gè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)不增加顏色就撞色了，于是又增加了黃色?！保▓D5）另一個(gè)說：“我是先把左下角的一個(gè)填上紅色，然后根據(jù)規(guī)則推理，把所有可能填紅色的都填上。再選綠色，把所有可能填綠色的都填上，以此類推，直到填滿?！边@些都是最優(yōu)的策略。筆者的評(píng)價(jià)“思維縝密、推理嚴(yán)謹(jǐn)”直指核心素養(yǎng)，給全班同學(xué)指明努力的方向。學(xué)生也在對(duì)話交流中分享收獲的喜悅，初步學(xué)會(huì)了科學(xué)合理地提出猜想，小心謹(jǐn)慎地驗(yàn)證猜想。

三、制造尖銳的矛盾沖突，讓學(xué)生修正猜想

猜想是一種合情推理，其結(jié)論具有或然性。有的猜想被驗(yàn)證為正確，成為定理，如本節(jié)課研究的四色猜想，現(xiàn)在可以稱為四色定理;有的猜想被驗(yàn)證為錯(cuò)誤，如歐拉猜想;還有一些猜想正在驗(yàn)證過程中，如哥德巴赫猜想。教師在教學(xué)過程中需要有意設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—修正—再猜想”的過程，體會(huì)猜想的道路并不總是一帆風(fēng)順，有時(shí)需要調(diào)整方向。

中級(jí)挑戰(zhàn)結(jié)束后，教師再讓學(xué)生用最優(yōu)策略給圖6、圖7填色。很快得出結(jié)論：圖6最少用三種顏色，圖7最少用四種顏色。面對(duì)結(jié)論，學(xué)生產(chǎn)生了三個(gè)疑問：（1）為什么圖6和圖2多邊形數(shù)量相同，卻用了三種顏色？（2）為什么圖7多邊形數(shù)量較少，卻用了四種顏色？（3）顏色種類的多少，到底和什么有關(guān)呢？這些都是筆者期待的很有價(jià)值的問題。筆者啟發(fā)學(xué)生比較圖6和圖7中間圖形的邊數(shù)，再聯(lián)想涂色過程，很快發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘：圖6中間圖形是六邊形，邊數(shù)為偶數(shù)，周圍相鄰的圖形按照“紅—綠—紅—綠—紅—綠”的順序正好填完，而圖2中間圖形是七邊形，邊數(shù)為奇數(shù)，按照同樣的順序填，最后會(huì)單出一個(gè)，不增加顏色就撞色，圖7也同樣。由此發(fā)現(xiàn)，顏色種類的多少和中間圖形的邊數(shù)有關(guān)。如果中間圖形邊數(shù)是奇數(shù)，則最少需要4種顏色。

教師巧設(shè)矛盾沖突，打破了原有的平衡，引發(fā)質(zhì)疑，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究。學(xué)起于思，思源于疑。小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。新的發(fā)現(xiàn)，迫使學(xué)生對(duì)之前的猜想進(jìn)行修正。帶著新發(fā)現(xiàn)，進(jìn)入游戲的高級(jí)挑戰(zhàn)，要求按游戲規(guī)則給圖3填色。學(xué)生自覺地觀察“中間圖形”（周圍有一圈多邊形的圖形）邊數(shù)，發(fā)現(xiàn)圖3的“中間圖形”不止一個(gè)，并且五邊形、六邊形、七邊形都有。根據(jù)剛才新發(fā)現(xiàn)推測(cè)，3種顏色肯定不夠。多邊形的數(shù)量增加了很多，邊數(shù)也復(fù)雜了很多，4種也可能不夠，所以猜5種。驗(yàn)證猜想時(shí)，學(xué)生又提出填色時(shí)能不能只涂一個(gè)點(diǎn)代替，在此啟發(fā)下又想到可不可以用數(shù)字代替，省下?lián)Q彩筆的麻煩。學(xué)習(xí)就是這樣一個(gè)認(rèn)真傾聽、相互啟發(fā)、不斷改進(jìn)的過程。遇到復(fù)雜的問題能想到化繁為簡(jiǎn)，用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)代替填色，說明學(xué)生已經(jīng)在自覺地用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界了。

驗(yàn)證猜想時(shí)學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)的猜想是錯(cuò)誤的，原來4種顏色能填滿（圖8）。出乎大家預(yù)料，并沒有像猜的那樣，多邊形數(shù)量越多，需要的顏色種類越多。合情未必是真理，合情推理得出的結(jié)論有可能是對(duì)的，也有可能是錯(cuò)的，這是本環(huán)節(jié)學(xué)生最真切的體會(huì)。筆者追問：“如果多邊形數(shù)量再增加一倍，甚至更多，你猜結(jié)果會(huì)怎樣？”學(xué)生大膽猜想，不管圖形數(shù)量增加多少，都是最少用4種顏色。此時(shí)，學(xué)生提出的猜想就是著名的四色猜想。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的猜想竟和數(shù)學(xué)家一模一樣時(shí)，心里是滿滿的自豪感?！八纳孪搿边@節(jié)拓展課的價(jià)值不在于了解四色問題是什么，而在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家猜想的過程，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，感受數(shù)學(xué)思想的魅力。

四、感受執(zhí)著的科學(xué)精神，讓學(xué)生延續(xù)猜想

不經(jīng)邏輯證明的猜想永遠(yuǎn)是猜想。經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家的不懈努力，四色猜想終于得到證明，由四色猜想變成了四色定理。由猜想走向定理的過程充滿了艱辛，但也充滿了魅力，吸引一代又一代數(shù)學(xué)家獻(xiàn)出畢生的精力。觀看科普視頻，了解四色猜想證明的過程，學(xué)生從中感受到了什么是科學(xué)精神。數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)，就像數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的兩顆耀眼的明珠，放射著人類智慧的光芒，是科學(xué)寶庫(kù)中無價(jià)的財(cái)富。相信數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，會(huì)激勵(lì)著學(xué)生們?cè)凇按竽懖聹y(cè)、小心求證”這條道路上繼續(xù)前行，勇攀科學(xué)高峰。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)在于：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。本節(jié)課以培養(yǎng)學(xué)生猜想能力為目標(biāo)，從喜聞樂見的《最強(qiáng)大腦》開始，在層層遞進(jìn)的填色游戲中推進(jìn)，在數(shù)學(xué)家生命不息、探索不止的故事中升華，在緊張激烈的腦王爭(zhēng)霸賽中結(jié)束。將冰冷的美麗還原成火熱的思考，師生共同經(jīng)歷了一段美好的智慧之旅。教師借助一定的活動(dòng)情境帶領(lǐng)學(xué)生超越表層的知識(shí)符號(hào)學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識(shí)內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘知識(shí)內(nèi)涵的豐富價(jià)值，完整地實(shí)現(xiàn)知識(shí)教學(xué)對(duì)學(xué)生的發(fā)展價(jià)值。

（作者單位：山東省濟(jì)南市章丘區(qū)清照小學(xué) 北京市朝陽區(qū)教育研究中心）