“一元線性回歸模型”教學(xué)設(shè)計

黃潤華

摘? 要：本節(jié)課是統(tǒng)計思想方法在實際生活中的典型應(yīng)用案例. 結(jié)合兩個變量之間線性相關(guān)的具體實例，經(jīng)歷統(tǒng)計活動，理解最小二乘原理，利用計算器和Excel軟件進行數(shù)據(jù)處理，建立一元線性回歸模型，從而進行實際預(yù)測，解決實際問題. 了解利用回歸直線刻畫兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的代表性，理解回歸直線必過樣本點的中心，并能對統(tǒng)計活動結(jié)果進行反思.

關(guān)鍵詞：線性回歸;統(tǒng)計應(yīng)用;數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)處理

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件.

2. 內(nèi)容解析

“一元線性回歸模型”是北師大版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)3（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“統(tǒng)計”第8節(jié)的內(nèi)容，是統(tǒng)計思想方法在實際生活中的典型應(yīng)用案例. 在此之前學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，在實際中經(jīng)常要研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，以最基本的一元線性回歸為載體，通過畫散點圖描述兩個變量之間關(guān)系的統(tǒng)計特征，用樣本的情況去估計總體的情況，啟發(fā)學(xué)生理解擬合思想，嘗試構(gòu)造函數(shù)模型去近似刻畫變量之間的相關(guān)關(guān)系，有利于進一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計應(yīng)用意識和能力，也為后面進一步學(xué)習(xí)獨立性檢驗奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課的教學(xué)重點為經(jīng)歷一次完整的統(tǒng)計應(yīng)用活動，會畫散點圖直觀表示兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，理解直線擬合的思想，理解最小二乘原理，會利用計算器和Excel軟件進行數(shù)據(jù)處理，會根據(jù)最小二乘法建立一元線性回歸模型解決實際問題.

教材從身高與右手一拃長的相關(guān)關(guān)系研究出發(fā)，通過畫散點圖，觀察發(fā)現(xiàn)所有點都在一條直線附近波動，進而判斷兩個變量之間線性相關(guān)，從而可以用一條直線近似刻畫兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系. 引入直線擬合的概念，然后思考如何確定這條直線能更合理地近似刻畫這種關(guān)系. 采取小組討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生從定性到定量，建立一種數(shù)學(xué)上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法，建立一元線性回歸模型. 會利用信息技術(shù)求出兩個變量之間的線性回歸方程，從而對實際問題進行預(yù)判和決策.

為了創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)習(xí)的實際問題情境，本節(jié)課選取中央電視臺社會與法頻道《見證》欄目《神眼追蹤》中足跡鑒定專家神奇破案的真實案例片斷導(dǎo)入課題，通過思考怎樣根據(jù)足跡推斷犯罪嫌疑人的身高引出身高與鞋碼有相關(guān)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個完整的統(tǒng)計活動過程，探究身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系. 通過從學(xué)生中現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，利用散點圖描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)（直線擬合，探索回歸直線方程的求法），運用最小二乘法刻畫數(shù)據(jù)特征求得回歸直線方程，對實際問題進行預(yù)測，對統(tǒng)計結(jié)果分析與反思等環(huán)節(jié)，理解統(tǒng)計應(yīng)用的思路與過程. 在由散點圖得到兩個變量之間線性相關(guān)的基礎(chǔ)上，著力探討如何確定一條直線來更好地近似刻畫這種關(guān)系，進行直線擬合. 通過小組討論與交流，引導(dǎo)學(xué)生從定性分析到定量計算，建立一種數(shù)學(xué)上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法建立一元線性回歸模型. 引導(dǎo)學(xué)生理解任一樣本點[xi，yi]與直線上橫坐標(biāo)為[xi]的點之間的距離是刻畫點到直線的遠近的一種新的形式，其平方同樣可以近似刻畫點到直線的遠近，從便于運算的角度我們選擇平方，最小二乘法的基本思想即使所有樣本點到直線的“距離”的平方和最小. 從而，如果能判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，就能利用最小二乘法求出兩個變量之間的線性回歸方程，從而進行預(yù)判決策.

本節(jié)課旨在建立一種統(tǒng)計模型來近似刻畫實際問題中兩個變量之間的關(guān)系，在問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念，理解數(shù)據(jù)分析的新思路和新方法，理解方法中蘊涵的數(shù)學(xué)思想，理解方法的目的和本質(zhì)，體會統(tǒng)計模型的必要性和合理性. 引導(dǎo)學(xué)生陷入機械、煩瑣的公式計算中，從數(shù)據(jù)處理的角度思考如何避免繁雜的運算，認識到根據(jù)最小二乘法的思想和公式研發(fā)程序是源于生產(chǎn)生活實際需要，有其必然性，把握數(shù)據(jù)處理的思路，注重與信息技術(shù)的融合，對于提高學(xué)生的信息素養(yǎng)、進一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)都起著非常重要的作用.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

以發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念為核心，踐行“四基”、發(fā)展“四能”，在問題解決中著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中“一元線性回歸模型”的內(nèi)容及要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷完整的統(tǒng)計活動過程，進一步體會應(yīng)用統(tǒng)計的思想和方法解決實際問題.

（2）會畫散點圖判斷兩個變量之間是否線性相關(guān)，理解數(shù)據(jù)分析的思路和方法.

（3）掌握用最小二乘法建立一元線性回歸模型刻畫兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的方法.

（4）會用計算器和Excel軟件求線性回歸方程，并能根據(jù)一元線性回歸模型進行預(yù)測.

（5）理解一元線性回歸模型參數(shù)的含義和統(tǒng)計結(jié)果的意義，會進行反思.

2. 目標(biāo)解析

目標(biāo)（1）解析：本節(jié)課是統(tǒng)計應(yīng)用案例，通過對實際問題中兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的研究，經(jīng)歷對兩個變量間呈現(xiàn)一個大致的整體集中趨勢的近似刻畫的過程，開拓統(tǒng)計應(yīng)用的新天地，進一步培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計應(yīng)用意識.

目標(biāo)（2）解析：通過畫散點圖，類比函數(shù)圖象可以看出兩個變量之間的大致關(guān)系，并判斷它們之間是否線性相關(guān)，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理的新思路和新方法.

目標(biāo)（3）解析：通過分組討論和思考交流，了解直線擬合的思想，理解最小二乘法是一種方便可行、直觀美妙的方法，從而建立一元線性回歸模型.

目標(biāo)（4）解析：理解運用信息技術(shù)進行數(shù)據(jù)處理的必要性，并學(xué)會利用計算器和Excel軟件求線性回歸方程，理解程序背后的數(shù)學(xué)思想與方法. 能根據(jù)一元線性回歸模型完成計算預(yù)測，從而解決實際問題.

目標(biāo)（5）解析：數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活. 結(jié)合實際理解一元線性回歸模型的含義和統(tǒng)計結(jié)果的意義. 通過對統(tǒng)計活動各環(huán)節(jié)的反思，逐漸理解問卷的設(shè)計、樣本的選取、分析方法的運用都會對統(tǒng)計結(jié)果產(chǎn)生影響，引導(dǎo)學(xué)生理解對統(tǒng)計結(jié)果保持批判性態(tài)度的必要性和重要性.

三、教學(xué)問題診斷

在義務(wù)教育階段，學(xué)生初步建立了統(tǒng)計觀念，了解了統(tǒng)計活動的全過程，學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析的基本方法. 在高中階段，學(xué)生通過統(tǒng)計的學(xué)習(xí)進一步發(fā)展了統(tǒng)計觀念，能較好地把握數(shù)據(jù)分析的基本思路，對統(tǒng)計的基本思想與應(yīng)用有了更加深刻的體會.

學(xué)生不知道應(yīng)該怎樣刻畫兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系. 盡管經(jīng)過初中的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了比較豐富的函數(shù)知識，知道了函數(shù)可以刻畫兩個變量之間的一種確定性關(guān)系，但是對不滿足函數(shù)關(guān)系的兩個變量要怎么處理會感到困難. 要引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)是一個變量可能受到其他多個變量的影響，故它的值會呈現(xiàn)一定的隨機性或者波動性，這種波動在大量數(shù)據(jù)中往往會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，這就是回歸分析要解決的問題. 對兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的刻畫，本質(zhì)上是利用函數(shù)模型進行近似刻畫，蘊涵著轉(zhuǎn)化與化歸思想. 在畫出散點圖后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、刻畫兩個變量之間關(guān)系的統(tǒng)計特征.

在給出線性相關(guān)的基礎(chǔ)上，到底用哪條直線近似刻畫更好，學(xué)生感到很茫然. 故而采取分組討論的方式，先讓學(xué)生自主嘗試，彼此交流想法，體會回歸的含義，畫出直線，然后通過小組間的交流再去歸納共性，建立一定的“理想”標(biāo)準(zhǔn)——所有樣本點和直線整體上最接近.

怎么刻畫所有樣本點和直線整體上最接近呢？這是一個很關(guān)鍵的問題，要引導(dǎo)學(xué)生理解在橫坐標(biāo)一定的情況下，樣本點可以理解為在平均水平上下波動，從而建立一種新的標(biāo)準(zhǔn)來刻畫點到直線的遠近，即用任意一點[xi，yi]與這條直線上橫坐標(biāo)為[xi]的點之間的距離來刻畫，而不是用數(shù)學(xué)上的距離來刻畫. 不僅如此，絕對值還面臨一個計算上的困難，而統(tǒng)計上在方差里已經(jīng)用了平方和表示，這里的本質(zhì)其實是一樣的. 教學(xué)中采用對話教學(xué)法，啟發(fā)學(xué)生進行知識遷移.

學(xué)生對系數(shù)計算公式的理解存在較大的困難. 根據(jù)最小二乘法推導(dǎo)出來的系數(shù)計算公式比較復(fù)雜，還包括兩種不同形式的表達，直接運用公式計算需要分若干步，比較麻煩. 教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生逐步認識公式，分析公式結(jié)構(gòu)的特點，幫助學(xué)生更好地了解公式，并逐步滲透研發(fā)程序計算的必要性，建立自然合理的教學(xué)邏輯，了解程序背后的思想方法.

利用計算器和Excel軟件求線性回歸方程屬于新的技能，需要教師以適當(dāng)?shù)姆绞絺魇? 雖然學(xué)生具備了一定的計算機操作與計算器使用技能，但涉及利用最小二乘原理求系數(shù)的值，這需要學(xué)會使用計算器有關(guān)的統(tǒng)計功能. 為了使計算器操作程序直觀化、效果有引領(lǐng)性，教師在課前錄制“利用計算器求線性回歸方程”的微課，課上播放微課傳授新技能. 而對于利用Excel軟件求線性回歸方程，則根據(jù)其操作簡單易學(xué)的特點，采取教師隨堂操作演示的方式傳授技能，并錄制微視頻供學(xué)生課后上機操作時使用，以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，輔助學(xué)生學(xué)習(xí).

本節(jié)課的教學(xué)難點是理解直線擬合的必要性與合理性，掌握建立一元線性回歸模型的一般原理. 為突破難點，設(shè)計了求線性回歸方程的小組討論活動和幫助小賣部決策等問題，在探究和交流中領(lǐng)會思想，提升統(tǒng)計應(yīng)用的能力.

四、教學(xué)媒體設(shè)計

本節(jié)課思想性、整體性、應(yīng)用性強，決定采用情境—啟發(fā)式探究教學(xué)模式，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的環(huán)境，通過小組討論與實踐應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生理解擬合思想，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力與合作交流能力，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 為創(chuàng)設(shè)情境，更好地突出重點，突破難點，本節(jié)課主要進行了如下設(shè)計.

1. 導(dǎo)入使用真實案例

為了創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，選取了中央電視臺社會與法頻道《見證》欄目的真實神探破案視頻導(dǎo)入課題，圍繞神探怎樣由足跡推斷出犯罪嫌疑人的身高這一核心問題，根據(jù)足跡提供的有關(guān)信息，導(dǎo)入身高與鞋碼這兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的研究.

2. 設(shè)計了畫散點圖的課堂活頁

為了讓學(xué)生親自體會描點畫圖描述身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系的過程，專門設(shè)計了一份課堂活頁，內(nèi)容為平面直角坐標(biāo)系，橫軸表示鞋碼，縱軸表示身高，標(biāo)示了相應(yīng)的數(shù)值，便于學(xué)生描點. 展示學(xué)生作圖成果，并在后面的小組討論中繼續(xù)使用，在黑板上張貼畫回歸直線的成果，表述作法，有效揭示了學(xué)生的思維過程.

3. Excel表格一表多用，無縫銜接

在現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)時，由學(xué)生負責(zé)將樣本數(shù)據(jù)逐一輸入Excel表格中，運用信息技術(shù)將表格數(shù)據(jù)同步到描述數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)和學(xué)生利用計算器根據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)計算線性回歸方程、教師操作演示利用Excel軟件求線性回歸方程等環(huán)節(jié)，實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的同步無縫應(yīng)用，體現(xiàn)了信息技術(shù)的實用性.

4. 自主錄制微課，傳授技能

經(jīng)過反復(fù)研究，為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用計算器求線性回歸方程，采取了自主錄制微課的形式;為了輔助學(xué)生課后上機利用Excel軟件求線性回歸方程，也錄制了一個微課，供學(xué)生自主學(xué)習(xí)使用，課堂上不播放.

5. 課件簡潔優(yōu)美

整節(jié)課共六個環(huán)節(jié)，僅使用10張幻燈片，節(jié)奏明快，界面簡潔優(yōu)美，既呈現(xiàn)了主要思路和內(nèi)容，又做到了不同環(huán)節(jié)之間必要的無縫對接，信息技術(shù)融合應(yīng)用恰當(dāng).

6. 板書簡潔有條理

板書呈現(xiàn)了統(tǒng)計活動的主要過程和一元線性回歸模型的基本原理，通過學(xué)生活動和小組活動成果的展示，能夠引導(dǎo)學(xué)生更好地理解直線擬合的背景和一元線性回歸模型的含義，便于學(xué)生從整體上把握整節(jié)課的學(xué)習(xí).

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

（1）俗話說，三百六十行，行行出狀元. 各行各業(yè)都有許多楷模. 他們是公安楷模，是人民的守護神. 下面我們來看一段公安神探破案的視頻.

播放《見證》欄目《神眼追蹤》中神探足跡鑒定專家神奇破案的真實案例片斷.

（2）思考：神探根據(jù)足跡推斷出了犯罪嫌疑人的身高，足跡能給我們提供什么信息呢？

（3）提出問題：它們之間的相關(guān)關(guān)系具體是怎樣的？神探又是怎樣推斷的呢？

（4）導(dǎo)入課題：一元線性回歸模型.

【設(shè)計意圖】以真實案件視頻片斷導(dǎo)入課題，關(guān)注社會、設(shè)置懸念，從研究身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系入手，也為后面反思身高與足跡之間的相關(guān)關(guān)系埋下伏筆.

2. 統(tǒng)計分析，探究交流

要研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)知識，我們首先應(yīng)該做什么呢？

收集數(shù)據(jù)：現(xiàn)場收集[8]對鞋碼與身高的數(shù)據(jù)，用Excel軟件同步導(dǎo)入如表1所示的電子表格中.

通過觀察表中數(shù)據(jù)，大體上可以發(fā)現(xiàn)，隨著鞋碼的增加，身高也在增加.

【設(shè)計意圖】從在座學(xué)生中現(xiàn)場隨機收集鞋碼與身高的數(shù)據(jù)，使樣本數(shù)據(jù)源自學(xué)生，讓學(xué)生體驗樣本的隨機性，理解樣本的代表性.

描述數(shù)據(jù)：觀察表中數(shù)據(jù)，大體上看，隨著鞋碼的增加，身高也在增加. 你會怎樣來直觀表示身高與鞋碼之間的這種關(guān)系呢？

類比函數(shù)圖象，描點畫圖. 不妨設(shè)鞋碼為[x]，身高為[y]，得到[8]個數(shù)對[x1，y1， x2，y2，…， x8，y8]，將它們對應(yīng)的點描出來，所得到的圖稱為散點圖.

學(xué)生在活頁上的平面直角坐標(biāo)系中畫出散點圖. 教師展示學(xué)生作圖成果，張貼到黑板上，隨即分析圖形特點.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù)去認識身高與鞋碼兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，并親自畫散點圖直觀表示它們之間的相關(guān)關(guān)系，為數(shù)據(jù)分析作準(zhǔn)備，了解擬合的背景.

分析數(shù)據(jù)：觀察散點圖，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

所有點看上去都在一條直線附近波動.

線性相關(guān)：如果散點圖中所有點看上去都在一條直線附近波動，稱變量間線性相關(guān). 此時，可以用一條直線來近似刻畫它們之間的關(guān)系，這樣近似的過程稱為直線擬合.

探究：怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？在小組內(nèi)交流，并畫出這條直線.

教師展示小組討論成果，匯報各自想法，分析不同想法的共同點.

【設(shè)計意圖】設(shè)計確定回歸直線的小組討論活動，自主探究、交流討論，加深對回歸含義的感知，并嘗試得出確定這條直線的方法.

3. 建立模型，理解原理

各小組做法雖然不同，但其實想法是一致的，都是希望所有點和這條直線盡可能接近，也就是整體距離最小，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫呢？

【設(shè)計意圖】根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求和課程安排，著重把握方法背后的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生課后探討使[Q]最小的系數(shù)[b，a]公式的推導(dǎo)過程，課堂上對公式進行詳實分析，充分認識公式的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美. 同時，還分析得到回歸直線過樣本點的中心，了解回歸直線的代表性.

4. 運行程序，計算預(yù)測

設(shè)置遞進式問題串：（1）有了公式，下面是否可以動手計算系數(shù)[b，a]呢？（2）是否可以用計算器？（3）用計算器肯定可以輕松很多，但是如果有成千上萬個數(shù)據(jù)呢？

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，根據(jù)最小二乘法的思想和公式研發(fā)程序進行數(shù)據(jù)處理成為必然.

【設(shè)計意圖】從公式的理解到引導(dǎo)學(xué)生認識運用公式計算系數(shù)[b，a]的困難，感受使用計算器的必要性，再考慮到統(tǒng)計往往面對的是大量的數(shù)據(jù)處理工作，用計算器替代公式計算也是非常繁雜且易出錯的，從而認識到研發(fā)程序的必要性，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運算的思維.

利用計算器求回歸方程（播放微課），先開啟計算器，然后分如下三個步驟.

① 選擇模式：按MODE鍵，進入模式選擇，按[3]，選擇Reg回歸，再按[1]，選擇Lin線性.

② 輸入數(shù)據(jù)：按SHIFT鍵 + CLR + 1[=]，清空統(tǒng)計存儲器，再逐一輸入收集的數(shù)據(jù).

③ 計算統(tǒng)計變量，按SHIFT鍵，按數(shù)字鍵[2]，就切換到了S-VAR功能，按兩次方向鍵，選擇[1]，計算[a]，同樣操作，選擇[2]，計算[b].

具體參考操作步驟如下圖所示.

學(xué)生兩人一組，根據(jù)剛才的數(shù)據(jù)計算[a，b]的值.

學(xué)生報告操作結(jié)果.

【設(shè)計意圖】為了便于傳授利用計算器求值的技能，經(jīng)過反復(fù)研究，確定由教師錄制微課;為了突出程序思維，將利用計算器求值的技能分為三個步驟，易懂易學(xué)、方便操作.

利用Excel軟件求回歸方程.

如果有很多數(shù)據(jù)，怎么導(dǎo)入呢？需要一個個輸入嗎？教師操作演示，順便驗證大家剛才的操作結(jié)果. 具體步驟如下.

① 在Excel表格中選定表示鞋碼與身高關(guān)系的散點圖，在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項，彈出“添加趨勢線”對話框.

② 單擊“類型”標(biāo)簽，選定“趨勢預(yù)測 / 回歸分析類型”中的“線性”選項，單擊“確定”按鈕，得到回歸直線.

③ 雙擊回歸直線，彈出“趨勢線格式”對話框. 單擊“選項”標(biāo)簽，選定“顯示公式”，最后單擊“確定”按鈕，得到回歸直線的方程.

計算結(jié)果為什么是一樣的呢？

用計算器和用Excel軟件求回歸方程本質(zhì)上沒有區(qū)別，都是根據(jù)最小二乘法的思想和公式計算. 不僅如此，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計軟件SAS和SPSS也是根據(jù)最小二乘法的思想和公式求線性回歸方程.

課后，教師讓學(xué)生參考視頻教程在計算機上操作實踐.

有了回歸方程，我們就知道了身高與鞋碼的具體相關(guān)關(guān)系，并且可以根據(jù)鞋碼預(yù)測身高. 例如，根據(jù)[42]碼的鞋印預(yù)測身高大概是多少？即當(dāng)[x=42]時，[y≈175.5].

【設(shè)計意圖】從計算器到Excel軟件，從微課傳授技能到當(dāng)堂操作演示，都是以教與學(xué)的需要為出發(fā)點和落腳點，引導(dǎo)學(xué)生分析計算器和計算機軟件求線性回歸方程的區(qū)別與聯(lián)系，并介紹了標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計軟件. 加強信息技術(shù)與統(tǒng)計內(nèi)容的融合，啟發(fā)學(xué)生思考如何從機械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解脫出來，培養(yǎng)程序化思維，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念和信息素養(yǎng). 配套使用Excel軟件求回歸方程的微視頻教程，供學(xué)生上機操作時參考. 分析不同軟件求回歸方程的本質(zhì)，滲透程序思想.

5. 分析反思，實際預(yù)測

下面我們利用全國統(tǒng)計數(shù)據(jù)預(yù)測一下鞋碼為[42]碼的人對應(yīng)的身高.

比較兩個預(yù)測的樣本與結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

反思1：預(yù)測結(jié)果差異大嗎？哪個結(jié)果會相對可靠呢？為什么？

反思2：事實上，視頻中足跡專家的推斷與實際非常吻合，他怎么能推斷得這么準(zhǔn)呢？如果只根據(jù)鞋碼推斷可靠嗎？

鞋碼是一元的，足跡是多元的，專家一般都是研究多元變量的影響進行推斷的.

怎么進行多元回歸分析呢？教師讓感興趣的學(xué)生課后思考.

【設(shè)計意圖】統(tǒng)計是根據(jù)樣本的情況估計總體情況，回歸分析是通過函數(shù)模型近似刻畫相關(guān)變量關(guān)系的統(tǒng)計方法. 設(shè)計分析反思活動，引導(dǎo)學(xué)生對統(tǒng)計結(jié)果的合理性進行必要的批判與質(zhì)疑，從數(shù)學(xué)問題的結(jié)論再回歸到生活實際，呼應(yīng)本節(jié)課引入的真實問題情境，身高與鞋碼之間是一元線性相關(guān)，而身高與足跡之間卻是多元回歸分析問題，將相關(guān)關(guān)系的思考延伸到課外，重視培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維和應(yīng)用意識.

實際預(yù)測：線性回歸能夠幫助我們進行實際的預(yù)判決策.

學(xué)校旁邊有個小賣部賣奶茶，根據(jù)表2中收集的數(shù)據(jù)，你能幫小賣部進行決策嗎？看看氣溫是[6]℃時大概要準(zhǔn)備多少杯奶茶.

解析：根據(jù)最小二乘原理，利用計算器求得回歸方程為[y=-2.450 5x+147.48].

當(dāng)[x=6]時，[y≈133].

所以氣溫是[6]℃時大概要準(zhǔn)備[133]杯奶茶.

思考：系數(shù)[-2.450 5]的含義是什么？常數(shù)[147.48]呢？

氣溫每增加[1]℃，要準(zhǔn)備的奶茶杯數(shù)大約減少[2.450 5]杯.

思考交流：通過剛才的預(yù)判決策過程，你有什么體會？

教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)統(tǒng)計知識進行預(yù)判決策的過程，認識統(tǒng)計的意義和作用.

【設(shè)計意圖】設(shè)計為小賣部決策的活動，將問題情境生活化，讓學(xué)生真正經(jīng)歷正確建立一元線性回歸模型解決實際問題的過程，把握一元線性回歸分析的知識邏輯，深刻理解最小二乘原理，即只有在兩個變量之間線性相關(guān)的基礎(chǔ)上根據(jù)最小二乘法的思想和公式求出的回歸方程才有具體的實際意義，才能進行有效的預(yù)判決策，并從中體會統(tǒng)計的作用.

6. 課堂總結(jié)，布置作業(yè)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？

首先，由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，并交流學(xué)習(xí)體會.

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生總結(jié)的過程，把握統(tǒng)計活動的過程，理解數(shù)據(jù)分析的新思路和新方法，抓住幾個關(guān)鍵點，深化對一元線性回歸模型的理解和應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

這節(jié)課，我們主要通過數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模，理解了直線擬合的基本思想和方法，會建立一元線性回歸模型進行預(yù)判和決策.

然后，我們仿照民族英雄辛棄疾的《青玉案·元夕》填詞一首《青玉案·回歸》來總結(jié)這節(jié)課的主要內(nèi)容：預(yù)判決策找思路，最小二乘來相助. 眾里尋他千百度. 驀然回首，回歸線過，樣本中心處.

課后作業(yè)：小組統(tǒng)計活動. 課后以小組為單位，分工協(xié)作，自主選取生活中感興趣的兩個相關(guān)變量進行研究.

【設(shè)計意圖】通過教師再總結(jié)，把握本節(jié)課的主要思路和學(xué)習(xí)目標(biāo)，并根據(jù)辛棄疾的詞填詞，以直觀有趣的形式概括這節(jié)課的主要內(nèi)容，挖掘數(shù)學(xué)的育人價值.設(shè)置小組課題研究活動，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，自主選擇課題研究，能進一步加強合作交流，加強統(tǒng)計應(yīng)用意識，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]王爽. 對“回歸分析”的再認識[J]. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（7）：33-35.