數(shù)學(xué)思維方法視角下物理壓軸題的評析

孔祥宇 張一馳 張洋

摘? ?要：高考作為選拔性考試，其物理壓軸題分值大、難度高，而且涉及的物理規(guī)律多、物理情境新穎、運(yùn)算過程復(fù)雜，考查學(xué)生的綜合能力。2021年八省聯(lián)考的試題是一次全員模擬的高考演練，文章對部分壓軸題進(jìn)行詳細(xì)分析，討論其中用到的數(shù)學(xué)思維方法。

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;物理壓軸題;數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）8-0043-4

從物理學(xué)的發(fā)展史來看，牛頓在建立經(jīng)典力學(xué)過程中創(chuàng)造了微積分，麥克斯韋建立的電磁場理論和數(shù)學(xué)中矢量分析與經(jīng)典場論有密切關(guān)系，愛因斯坦的廣義相對論的基礎(chǔ)是黎曼幾何?？梢哉f物理的發(fā)展和突破離不開數(shù)學(xué)。因此，高中階段學(xué)好物理不僅要掌握數(shù)學(xué)工具，更重要的是善于利用數(shù)學(xué)的思維方法去學(xué)物理，兩者是不可分的[1]。

2021年初，第三批高考綜合改革的河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶八省市為全力做好新高考落地的各項(xiàng)工作，進(jìn)行了全流程全員模擬高考演練。教育部考試中心和各省教育考試院精心制定命題并進(jìn)行適應(yīng)性測試，網(wǎng)稱“八省聯(lián)考”。在此背景下，深入研究“八省聯(lián)考”的試題，對于深入理解高考內(nèi)容的改革方向具有重要意義。本文將以“八省聯(lián)考”中物理學(xué)科部分壓軸題為例，在數(shù)學(xué)思維方法視角下對物理壓軸題進(jìn)行評析，總結(jié)數(shù)學(xué)思維方法在解決物理壓軸題中的作用。

1? ? 分類討論思想

廣東卷：如圖1所示，固定的粗糙斜面，傾角θ=30°，斜面底端O處固定一個(gè)垂直斜面的彈性擋板。在斜面上P、Q兩點(diǎn)有材質(zhì)相同、質(zhì)量均為m的滑塊A和B，A和B恰好能靜止，且均可視為質(zhì)點(diǎn)，Q到O的距離是L，Q到P的距離是kL（k>0）。現(xiàn)始終給A施加一個(gè)大小為F=mg、方向沿斜面向下的力，A開始運(yùn)動，g為重力加速度。設(shè)A、B之間以及B與擋板之間的碰撞時(shí)間極短，且無機(jī)械能損失，滑塊與斜面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。求：

（1）A、B第一次碰撞后瞬間它們的速率分別為多少;

（2）A、B第一次碰撞與第二次碰撞之間的時(shí)間。

解析 （1）兩物體質(zhì)量相等，碰撞后速度交換：vA=0，vB=（過程不再贅述）。

（2）第一次碰撞后B做勻速運(yùn)動，到底端所用的時(shí)間為：

A做勻加速運(yùn)動，aA=g，運(yùn)動到底端的時(shí)間為：

分析tA和tB：若tAtB，那么在第二次A與B碰撞之前，B先與擋板發(fā)生碰撞。

第一種情況：

tA

由gt2=vBt，解得t=2

第二種情況：tA>tB，因此k>，第一次碰撞后，B做勻速運(yùn)動，B與擋板碰撞時(shí)間為

B與擋板碰后原速率返回，由牛頓第二定律可得

mgsinθ+μmgcosθ=maB

解得aB=g

A滑塊此時(shí)的位移為，速度為gt1。此后，A和B的加速度大小、方向相同，A的速度沿斜面向下，B的速度沿斜面向上，因此由相對運(yùn)動可知

（vB+gt1）（t-t1）=

解得t=

總結(jié)：不管是數(shù)學(xué)還是物理中的結(jié)論都有其成立的條件和適用范圍，這就導(dǎo)致了有些問題的結(jié)論在解題過程中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究和表述。物理學(xué)中的分類討論往往和臨界狀態(tài)相關(guān)聯(lián)，臨界狀態(tài)前后，物體滿足的狀態(tài)方程發(fā)生變化。而本題中的臨界狀態(tài)正是來源于B滑塊與彈性擋板的碰撞。在碰撞前后B滑塊的速度發(fā)生突變，滿足不同的運(yùn)動方程，因而需要分別列式求解。利用分類討論的思想解決物理問題的一般方法是：首先，分析所有可能的物理情境，進(jìn)而分析不同物理情境之間的臨界點(diǎn)以及對應(yīng)的關(guān)鍵物理量，將所研究的問題轉(zhuǎn)化成若干子問題，化繁為簡，逐步求解。

2? ? 幾何作圖與求解

重慶卷：有人設(shè)計(jì)了一種利用電磁場分離不同速率帶電粒子的儀器，其工作原理如圖2所示?？臻g中充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場，一束質(zhì)量為m、電量為-q（q>0）的粒子以不同的速率從P點(diǎn)沿某豎直平面內(nèi)的PQ方向發(fā)射，沿直線飛行到Q點(diǎn)時(shí)進(jìn)入有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于該豎直平面，PQ=4l。若速度最大粒子在最終垂直于PT打到M點(diǎn)之前都在磁場內(nèi)運(yùn)動，且其他速度粒子在離開磁場后最終都能垂直打在PT上的NM范圍內(nèi)，PM=8l，PN=6l，若重力加速度大小為g，求

（1）電場強(qiáng)度的大小;

（2）粒子速度大小的范圍;

（3）磁場穿過該豎直平面內(nèi)的最小面積。

解析 第1問比較簡單，重力和電場力二力平衡，即可求得電場強(qiáng)度。第2問求粒子速度的大小范圍，即求粒子在磁場中運(yùn)動半徑的最大值和最小值。如圖3所示，速度最大值對應(yīng)的圓弧軌跡是O1QM，速度最小值對應(yīng)的圓弧軌跡是O2QR，而后從磁場射出沿著RN垂直打在PM上。設(shè)大圓弧O1QM半徑為R1，小圓弧O2QR半徑為R2。在直角三角形PQO1中，由幾何關(guān)系可得

（PO1）2=（PQ）2+R=（PM-R1）2

解得

R1=3l，PO1=5l，∠QPO1=37°，∠QO1P=53°

進(jìn)一步由幾何關(guān)系可知，線段PQ、QO2、O2R在PM方向上的投影長度等于PN，可得

PQcos∠QPO1+R2cos∠QO1P+R2=PN

解得R2=

粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛倫茲力提供，進(jìn)一步由向心力公式可得粒子的速度范圍為

第3問中所求是磁場在豎直平面的最小面積，若粒子速度滿足第2問的條件，那么粒子運(yùn)動范圍在圓弧■、圓弧■和線段RM圍成的陰影部分。由幾何關(guān)系可知，陰影部分面積為扇形O1QM的面積減去扇形O2QR和梯形O2O1MR的面積，計(jì)算可得

總結(jié)：解決電磁學(xué)壓軸題的核心在于準(zhǔn)確描繪出粒子運(yùn)動的幾何圖形。粒子在真空中的軌跡是直線，在電場中的軌跡是拋物線，在磁場中的軌跡是圓，磁場或電場的邊界可能是直線和曲線的組合。電磁學(xué)常見的考查形式集中在由幾何關(guān)系定圓心求半徑、圓心角、時(shí)間、位移、速度、磁場區(qū)域等問題。因此，在求解此類問題時(shí)幾何作圖能力和由幾何關(guān)系定量計(jì)算的能力尤為重要[2]。

3? ? 二次函數(shù)求根

湖南卷：如圖4所示，一滑板的上表面由長度為L的水平部分AB和半徑為R的四分之一光滑圓弧BC組成，滑板靜止于光滑的水平地面上。物體P（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于滑板上面的A點(diǎn)，物體P與滑板水平部分的動摩擦因數(shù)為μ（μ<1）。一根長度為L、不可伸長的細(xì)線，一端固定于O′點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m0的小球Q。小球Q位于最低點(diǎn)時(shí)與物體P處于同一高度并恰好接觸?，F(xiàn)將小球Q拉至與O′同一高度（細(xì)線處于水平拉直狀態(tài)），然后由靜止釋放，小球Q向下擺動并與物體P發(fā)生彈性碰撞（碰撞時(shí)間極短）。設(shè)物體P的質(zhì)量為m，滑板的質(zhì)量為2m。

（1）求小球Q與物體P碰撞前瞬間細(xì)線對小球拉力的大小;

（2）若物體P在滑板上向左運(yùn)動從C點(diǎn)飛出，求飛出后相對C點(diǎn)的最大高度;

（3）要使物體P在相對滑板反向運(yùn)動過程中，相對地面有向右運(yùn)動的速度，求的取值范圍。

解析 （1）（2）略。

針對第3問，由動量守恒可得

mv0=mvA+2mvB

由能量守恒可得

聯(lián)立解得方程

這是一個(gè)一元二次方程，首先要求判別式大于零，速度向右說明結(jié)果要小于零，則

聯(lián)立解得

總結(jié)：判別式法是數(shù)學(xué)中解題的常用方法，可用于求值域、求極值、證明不等式以及求解參數(shù)的取值范圍，本題即是用到了判別式法求解參數(shù)的取值范圍。此類題目難點(diǎn)在于求解麻煩，求解極值問題或者約束范圍問題常會用到。例如2017年全國新課標(biāo)I卷第25題，涉及到判別式法，計(jì)算量大，考生得分率低。因此，平時(shí)可以加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生對相關(guān)方法的熟悉度，針對此類題目要敏銳地發(fā)現(xiàn)物理公式在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系，從物理場景中抽象出數(shù)學(xué)方程，進(jìn)而利用熟悉的數(shù)學(xué)公式實(shí)現(xiàn)對問題的快速求解。

4? ? 教學(xué)思考與啟示

本文所選“八省聯(lián)考”的三道壓軸題中的數(shù)學(xué)思維方法都很典型，并且綜合來看，包含的范圍也比較廣泛，既有幾何問題、函數(shù)與方程問題，也有分類討論的一般思想。這體現(xiàn)了本輪高考內(nèi)容改革對綜合能力考查的重視，也給我們以下啟示。

（1）在物理的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)是重要的一部分，在高中物理學(xué)習(xí)中，排斥數(shù)學(xué)是不可取的，如何將數(shù)學(xué)和物理思維有效結(jié)合至關(guān)重要。在高中階段物理教學(xué)中不應(yīng)只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是公式的應(yīng)用、解方程和計(jì)算結(jié)果，更重要的是如何把數(shù)學(xué)的思維方法遷移到物理的學(xué)習(xí)中[3]。

（2）高中階段應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生從具體物理問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，利用物理思維構(gòu)建整個(gè)物理過程，利用物理學(xué)規(guī)律從具體物理過程中提煉出數(shù)學(xué)方程式，然后利用分類討論、幾何作圖、函數(shù)方程、歸納演繹等模塊化的數(shù)學(xué)知識快速求解。

（3）高考物理壓軸題的數(shù)學(xué)計(jì)算量普遍較大，例如2020年高考山東卷壓軸題涉及到數(shù)學(xué)中等比數(shù)列求和公式，計(jì)算量大，求得結(jié)果較為耗費(fèi)時(shí)間，對考生的綜合能力尤其是計(jì)算能力要求較高。因此，在教學(xué)中應(yīng)重視解方程、計(jì)算結(jié)果，這些不僅僅是數(shù)學(xué)課上的事情，恰恰也是解決物理壓軸題的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭雪鵬.學(xué)習(xí)物理須重視數(shù)學(xué)——從2017年高考題談起[J]. 物理教學(xué)探討， 2018，36（02）：40-41.

[2]陳宏勝.電磁巧組合 變中求不變——對2013江蘇高考物理壓軸題的賞析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（11）：95-96.

[3]徐忠平.提升思維能力 加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用——2020年高考山東物理卷壓軸題評析與教學(xué)思考[J].物理教師，2020，41（12）：79-82.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）