新課程 新教材 新高考：高中數(shù)學解題與命題的新思考

張耀雄

[摘? 要] 在當前新時代的背景之下，高中新課程改革正在進入一個新的階段，2022年前全國普通高中將全面實施新課程、新教材. 課程是一個非常重要的概念，所有學科的教學都是在課程標準的范圍之下進行的，在當前面臨新高考的背景之下，教師應當認識到新課程給高中數(shù)學解題與命題的研究搭建一個新的框架. 教材在高中數(shù)學解題與命題的過程中，仍然發(fā)揮著重要的基礎性作用. 關于新高考的理解正引導著包括高中數(shù)學學科在內的課堂走向，因此新高考對于高中數(shù)學解題與命題的指向作用是不言而喻的.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;解題;命題;新課程;新教材;新高考

教學對于每個教師來說，是一件再尋常不過的事情，但就是在這個尋常不過的事情當中，卻蘊含著豐富的聯(lián)系. 對于每位高中數(shù)學教師來說，要認識到教學原本是在課程的視角下進行的，教師所教學的內容既可以說是教材上的內容，也可以說是課程中的內容;與此同時，教學又必然面對著考試評價，而考試對于高中學生來說是最重要的學習目標，考試所發(fā)揮的指揮棒作用，直接影響著教師的教與學生的學. 特別是在當前新時代的背景之下，高中新課程改革正在進入一個新的階段，2022年前全國普通高中將全面實施新課程、新教材. 很顯然，新課程、新教材以及新高考，將給當前的高中數(shù)學教學帶來深刻的變化. 相應地，教師對基于數(shù)學新教材與核心素養(yǎng)的教學必須要有新的理解和思考，尤其是教師必須理解核心素養(yǎng)、理解新教材、理解基于核心素養(yǎng)的教學、理解信息技術與教學的深度融合、理解數(shù)學建模在數(shù)學教學中的重要性，才能在新教材的教學中更好地落實核心素養(yǎng)，把握教學方向. 本文從重點高中數(shù)學解題與命題兩個角度，談談筆者的一些思考與實踐.

[?] 新課程：高中數(shù)學解題與命題的新框架

課程是一個非常重要的概念，所有學科的教學都是在課程標準的范圍之下進行的. 在當前面臨新高考的背景之下，教師應當認識到新課程給高中數(shù)學解題與命題的研究搭建一個新的框架，對于這個框架的理解，可以從數(shù)學學科核心素養(yǎng)角度來進行. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括六個要素，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模，以及數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象. 在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中，明確要求學生在數(shù)學學習的時候能夠體會到數(shù)與代數(shù)運算的意義，以及相關的算理等，還要求學生能夠在相應的情境中運用數(shù)學運算、數(shù)學模型去解決實際問題;與此同時，數(shù)學思考也是新課程框架之下的一個重要概念，數(shù)學思考具體表現(xiàn)為學生在數(shù)學學習與問題解決過程中的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計意識等. 而從思維發(fā)展的角度來說，高中生還要具有數(shù)學的思維能力和自主學習的能力，要在學習的過程中培養(yǎng)必要的解題能力，這樣才可以學好數(shù)學知識. 所以，學校和數(shù)學教師在進行數(shù)學教學的時候一定要重視培養(yǎng)學生的數(shù)學學習能力以及數(shù)學解題能力，這樣才可以滿足新課程的要求.

例如，《九章算術》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共4升，下面3節(jié)的容積共6升，則第5節(jié)的容積是（? ? ）

A. B.

C. D.

這樣一個數(shù)學題目考查的是等差數(shù)列的知識，而問題的情境則來源于我國著名的數(shù)學經典著作《九章算術》. 應當說這樣的情境具有很典型的文化特征，對于高中學生來說，能夠讓他們在習題解答的過程中接受一定的文化熏陶，同時又不影響對學生所掌握的數(shù)列知識的考查. 因此這樣一個題目的命制，就體現(xiàn)出了新課程對數(shù)列知識的考查需要. 如果分析學生的解題過程，那么學生必然會對情境中的素材進行數(shù)學抽象，也就是將具體的生活情境轉換為數(shù)學問題，這考查了學生的數(shù)學抽象能力;而學生對情境中的數(shù)據(jù)進行分析的時候，又考查了學生的數(shù)據(jù)分析以及基本的數(shù)學運算能力;最后學生運用等差數(shù)列模型來解決問題，這實際上又考查了學生的數(shù)學建模能力. 因此從學生解題的角度來看，教師應當讓學生充分體驗這些過程，從而讓數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落地.

[?] 新教材：高中數(shù)學解題與命題的新基礎

新課程必然對應著新教材，新教材也必然體現(xiàn)著新課程的基本理念. 雖然今天的高中數(shù)學教學，尤其是試題的命制已經不再強調“以本為本”，但是不可否認的是，教材在高中數(shù)學解題與命題的過程中，仍然發(fā)揮著重要的基礎性作用. 事實表明，高中數(shù)學解題與命題必須高度重視對教材上典型題目的延伸與拓展. 在新高考背景下，很多高考題目也確實都能在教材或者平時的習題中找到“原型”. 因此，無論是在試題的命制過程中還是在解題教學中，教師都必須要重視典型例題和習題的講解，還要注意對其進行相應的延伸和拓展，對這些典型問題進行深入挖掘. 具體地圍繞一個題目從考查的知識點、解題思路、解題方法等進行細致剖析，可以取得較好的效果.

例如，有這樣一道題目：已知拋物線C：y2=2px（p>0）經過點A（1，2），直線l過拋物線C的焦點F且與拋物線交于M，N兩點，拋物線的準線與x軸交于點B. （1）求實數(shù)p的值;（2）若·=4，求直線l的方程.

對于這樣一道題目，教師必須引導學生將其與教材中的相關題目進行對比，通過對比可以發(fā)現(xiàn)：在教材中，其實一些典型的例題與這道題目的考查思路是比較一致的. 因此在對這題進行解題教學的時候，就可以將其與教材中的例題聯(lián)系起來，學生在思考題目的時候就不再是孤立的，而是有聯(lián)系的. 這種聯(lián)系的建立，可以有效地促使學生更加準確地學習并理解與拋物線相關的數(shù)學知識. 事實上，學生在解題的時候，很容易根據(jù)拋物線的定義對第（1）問求解;而在第（2）問求解的時候，不少學生也能夠通過拋物線C的方程以及焦點和準線，并結合拋物線的準線與x軸交點的坐標，思考設直線的方程為x=my+1，然后再設出M和N兩點的坐標，從而列出相應的方程組，最終完成對直線l方程的求解. 其中的核心解題部分如下：

設M（x1，y1），N（x2，y2），于是可以列出x=my+1，

y2=4x;合并方程組得y2-4my-4=0，于是可得Δ>0，

y

+y=4m，

y

y=-4;又·=4，所以（x1+1，y1）·（x2+1，y2），即4m2-4=0，解得m=±1，滿足Δ>0，故直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. （該解題過程基于學生的思維過程而總結，其中有一些細節(jié)做了優(yōu)化）

這樣的一個解題過程反映了學生的思維是清晰的，而這一清晰的思維基礎，就是學生對教材上一些典型例題的學習與分析.

[?] 新高考：高中數(shù)學解題與命題的新指向

當今的高中教學中，新高考是一個無法繞開的關鍵詞，甚至很大程度上關于新高考的理解正引導著包括高中數(shù)學學科在內的課堂走向. 因此新高考對于高中數(shù)學解題與命題的指向作用是不言而喻的！在理解這種指向作用的時候，教師要注意新課程標準中一些教學內容的刪減和增加，這實際上是對命題以及日常教學中的解題教學傳遞出了一個信號：哪些知識點應該被檢驗，哪些知識點應該逐漸弱化. 如線性規(guī)劃問題、三視圖、程序框圖等知識實際上就處于弱化的過程中……認識到這種指向，那么教師在解題教學以及命題的時候，也就應當以這種指向作用去指導日常的命題與解題.

例如，結合當前社會經濟以及信息技術的發(fā)展，結合當前新經濟的新形態(tài)，可以給學生提供這樣一道題目：隨著中國經濟的騰飛，隨著互聯(lián)網的快速發(fā)展，網絡購物需求量不斷增大，如今大街小巷幾乎每個市民都在運用智能手機上網購物，而大山深處的農民也通過購物平臺將自己所種的果蔬賣出. 某物流公司為擴大經營，在某一年年初用192萬元購進了一批小型貨車，公司第一年需要付保險費等各種費用共計12萬元，從第二年起包括保險費、維修費等在內的所需費用比上一年增加6萬元，且該批小型貨車每年給公司帶來69萬元的收入. 問：（1）若該批小型貨車購買n年后贏利，求n的范圍;（2）該批小型貨車購買幾年后的年平均利潤最大，最大值是多少？

從命題的角度來看，這樣一個題目的素材與學生的生活關系密切，當前不少高中學生已經有了網上購物的生活體驗;同時這個素材又與數(shù)學知識密切相關，學生可以在對物流成本的研究過程中，尋找到相應的數(shù)學模型來解題. 從考試評價的角度來看，這樣一個數(shù)學習題的指向與當前的新高考是吻合的，對于當下的問題以及解題教學來說，也有著一定的啟發(fā)意義. 對于高中數(shù)學教師來說，在日常的教學中，尤其是在解題與命題的研究過程中，以這樣的習題分析與教學過程作為基礎，慢慢積累起對新課程、新教材以及新高考的認識，可以很好地促進教師去感知、把握新高考的特點，從而引導學生更好地適應新高考背景下的數(shù)學課程學習以及數(shù)學教材理解.