絕緣體上硅場效應晶體管熱導率尺度效應模型

賴俊樺,邢乾,蘇亞麗,張國和

(1.西安交通大學電信學部微電子學院,710049,西安;2.西安市微納電子與系統(tǒng)集成重點實驗室,710049,西安;3.西安石油大學機械工程學院,710065,西安)

28 nm及以下工藝節(jié)點全耗盡絕緣體上硅(FD SOI)金屬氧化物半導體場效應晶體管(MOSFET)頂層硅薄膜厚度將減小至10 nm及以下尺度范圍[1-4],器件特征尺寸遠小于材料中傳遞熱量的聲子平均自由程,SOI器件的熱生成機制與熱擴散機理將變得極為復雜[5-10],自熱效應對器件性能的影響變得更加顯著[11-14]。目前對硅納米薄膜熱傳輸機理的研究尚不完善,進一步加深對硅納米薄膜熱導率尺度效應的理論研究顯得尤為迫切。

作為揭示納米半導體器件熱穩(wěn)定性的關鍵基礎,處于彈道輸運狀態(tài)下的納米材料或結構的微尺度與納尺度熱傳輸過程被國內外研究者從數值模擬[15-18]、理論解析模型[19-22]與實驗測試[23-25]等方面進行了廣泛的研究。在各類熱導率預測模型研究工作中取得較為成功的主要有Holland[21]和Asheghi[22]等團隊。Holland硅材料熱導率模型從聲子散射機制的角度出發(fā)重新定義并完善了傳統(tǒng)經驗熱導率模型。Asheghi則在Holland模型的基礎上引入聲子散射的尺度效應為微尺度硅薄膜提出依賴于材料尺寸的熱導率模型,能夠有效地揭示半導體器件尺寸等比縮小帶來的非傅里葉熱傳導轉變。Asheghi模型中用于衡量尺度效應的衰減因子解析形式復雜,物理意義不明顯,難以用于直觀、有效的預估尺度效應對熱傳輸過程的抑制作用,不利于模型集成于TCAD數值仿真軟件以實現器件熱電特性的高精度數值預測,一定程度上將限制硅納米薄膜熱導率模型的廣泛運用。

本文基于Holland理論模型與Asheghi的相關工作,考慮束縛態(tài)與自由態(tài)電子對聲子散射的影響,簡化衰減因子,獲取聲子邊界散射等效平均自由程,為先進工藝節(jié)點FD SOI MOSFET建立起一種改進的適用于TCAD數值模擬仿真、具有簡潔解析形式的硅薄膜熱導率尺度效應模型,通過實驗測試數據及初始模型驗證了衰減因子等效簡化對熱導率模型的正確性。

1 熱導率尺度效應模型

Holland模型是目前國際上運用最為廣泛的熱導率模型,能夠有效地揭示聲子群速度、熱容與聲子散射過程對材料或結構熱導率的影響機制,成功地克服了傳統(tǒng)經驗模型的不足之處,其熱導率表達式如下[21]

(1)

式中:j為L,T,TU,分別表示高頻縱向聲子模態(tài)、低頻橫向聲子模態(tài)和高頻橫向聲子模態(tài);υ為聲子運動速度;CV為硅材料的單位體積熱容;τ為聲子散射弛豫時間;Θj為德拜溫度;T為硅材料溫度;x為無量綱積分參數,可表示為

(2)

(3)

式中:δ為薄膜厚度與硅材料內聲子平均自由程之比,δ=Hfilm/ιph_bulk;p為聲子在邊界時鏡面散射的概率;F(δ,p)為考慮尺度效應的聲子弛豫時間的衰減因子[22],其表達式如下

(4)

式中t為積分因子。

鏡面散射概率為

(5)

式中:υs為聲子平均群速度;η為硅薄膜界面粗糙度。Asheghi等在硅薄膜厚度引起的熱導率衰退效應建模中用到的衰減因子F(δ,p)具有較為復雜的積分形式,很難得到考慮邊界效應后聲子在硅薄膜中平均自由程的變化規(guī)律。另一方面,該積分函數更加適合數值計算,不利于直觀地預估硅納米薄膜熱導率的尺度效應。

為了將上述衰減因子轉化為微尺度與納尺度熱傳輸過程中有物理意義的參數,進一步改進熱導率模型,分別考慮三聲子模態(tài)對熱導率的貢獻,將Holland模型劃分為與之對應的3部分[21]

λfilm=λL+λT+λTU

(6)

式中:λL、λT和λTU分別為高頻縱向聲子模態(tài)、低頻橫向聲子模態(tài)和高頻橫向聲子模態(tài)的熱導率。單位體積硅熱容為

(7)

三聲子模態(tài)熱導率可分別表示為

λT=

(8)

λTU=

(9)

λL=

(10)

平均聲子速度與各模態(tài)聲子速度之間的關系為

(11)

硅薄膜內存在如圖1所示的多種聲子散射機制,主要有聲子-界面鏡面散射、聲子-缺陷散射、聲子-雜質散射、聲子-界面擴散散射、聲子-聲子散射以及聲子-電子散射等。因此,要建立起計入尺度效應的硅薄膜熱導率模型則需要量化邊界效應與尺度效應對聲子散射弛豫時間的影響,結合硅材料內聲子散射弛豫時間,進而得到SOI頂層硅薄膜熱導率。

圖1 硅薄膜內聲子散射機制示意圖Fig.1 Schematic diagram of phonon scattering mechanism in silicon film

1.1 硅材料熱導率模型

聲子-缺陷散射、聲子-聲子散射、聲子-雜質散射和聲子-電子散射是決定硅材料熱導率的最重要的4種散射,其中聲子-雜質散射模型能夠用于描述硅材料在摻雜過程中熱導率的變化規(guī)律。在沒有進行摻雜的硅材料中主要存在聲子-缺陷散射及聲子-聲子散射,這時聲子散射概率為

(12)

(13)

(14)

式中:Γ為硅原子與點缺陷原子之間質量差有關的參數系數;Vatom為硅原子體積。摻雜工藝是影響硅材料熱導率大小的另外一個重要因素。雜質原子被引入后,主要通過與硅原子的質量差與體積差兩方面抑制硅材料熱導率,對聲子散射概率的量化關系如下

(15)

(16)

式中:AδM和AδR分別正比于摻雜原子與硅原子的質量和體積相對變化量的平方。

聲子-電子散射主要包括聲子和束縛態(tài)電子與自由態(tài)電子之間的散射。束縛態(tài)電子-聲子散射概率為

(17)

(18)

式中:me為電子質量;ED=13 meV為應變勢能;ζ定義為

(19)

當q

(20)

因此,單晶硅材料內聲子-自由電子散射概率為

(21)

綜上分析,考慮摻雜的硅材料聲子散射概率可以推導得到

(22)

1.2 硅薄膜熱導率模型

硅薄膜熱導率需要在硅材料熱導率的基礎上進一步計入聲子邊界散射對聲子平均自由程的影響。假設聲子邊界散射自由程為ιBry_film,則硅薄膜內聲子總自由程可以通過Matthiessen規(guī)則得到

(23)

由此,計入尺度效應后,聲子平均自由程衰退比例可以得

(24)

假設硅薄膜聲子邊界散射自由程是薄膜厚度的1/Φ。因為硅薄膜內聲子平均自由程與硅材料的聲子平均自由程之比本質上為熱導率的衰減因子,那么可以將式(24)推導得到

(25)

引入Asheghi模型中衰減因子的概念,式(25)可改寫成

(26)

通過式(26)與Asheghi模型衰減因子進行擬合,即可求解得到衰減因子函數所對應的硅薄膜聲子邊界散射自由程,實現復雜衰減因子函數的簡化。由硅薄膜邊界散射自由程可得聲子邊界散射概率

(27)

邊界處聲子散射類型與材料或者結構界面的粗糙度具有很強的關聯性。當界面比較光滑時,界面處聲子散射大概率為鏡面散射,對薄膜平面內熱傳輸沒有阻礙作用。當界面比較粗糙時,界面處聲子為漫反射,聲子散射之后的方向存在隨機性,對平面內熱傳輸過程有重要的抑制作用。考慮鏡面反射概率后,聲子界面散射概率模型可以修正如下

(28)

綜上分析,可以得到硅薄膜中總的聲子散射概率

(29)

主要包含硅材料聲子散射概率和由邊界散射引起的散射概率。因此,將式(29)代入三聲子模態(tài)熱導率式(8)(9)和(10)中即可得到依賴于溫度、摻雜原子濃度及原子種類、厚度和界面粗糙度的硅薄膜熱導率模型。

圖2所示為衰減因子函數簡化與本文所改進的硅薄膜熱導率模型建立過程。針對邊界散射引起的硅薄膜熱導率微尺度效應,Asheghi模型將邊界效應考慮為對材料聲子散射過程的抑制作用,直接為硅材料聲子散射弛豫時間引入衰減因子。本文將聲子邊界散射過程視為一個單獨過程,對Asheghi模型中具有積分形式的衰減因子進行簡化,提取出等效邊界散射概率,結合考慮電子-聲子散射過程的硅材料聲子散射模型,建立起基于Matthiessen規(guī)則的薄膜熱導率模型。

圖2 衰減因子函數簡化與薄膜熱導率模型建模過程Fig.2 Simplification of attenuation factor function and modeling of thermal conductivity of silicon thin film

2 模型驗證與分析

為了簡化Asheghi硅薄膜熱導率模型中衰減因子并凸顯其物理意義,求解出其等效聲子邊界散射自由程,本文將由Matthiessen規(guī)則得到的平均自由程衰減因子式(26)與積分形式的衰減因子式(4)進行擬合。如圖3所示,當Φ等于0.4時,本文提出的近似簡化模型能夠與Asheghi模型[22]中原積分函數實現較好的擬合。這意味著,Asheghi模型中原積分函數的等效聲子邊界散射平均自由程為2.5Hfilm,將該結果導入到式(28)即可得到本文所建立的硅薄膜熱導率模型。硅納米薄膜邊界將聲子散射平均自由程限制于狹小空間內,薄膜厚度越小,邊界散射自由程越短,嚴重影響硅薄膜熱導率數值。

圖3 積分形式的衰減因子函數及其近似簡化模型對比Fig.3 Comparison of attenuation factor function in integral form and it’s approximately simplified model

當薄膜厚度與聲子自由程之比越小,近似簡化模型與原積分函數解間的誤差將會增加,導致在對該類型硅結構熱導率預測過程中將會產生較大的相對誤差。例如,在無摻雜的硅材料中室溫下聲子平均自由程為254 nm,當薄膜厚度小于25.4 nm,即低于0.1倍的聲子平均自由程時,近似簡化模型與原積分函數之間將存在較大誤差。當薄膜厚度為3 μm時,厚度與聲子自由程之比大于10,衰減因子函數與近似解間的相對誤差小于0.14%。

利用卡耐基·梅隆大學的Liu等工作中依賴于摻雜的熱導率模型數據[27]對本文所提出模型進行了驗證。由于原子種類不同所導致的原子質量與原子體積的不同,磷摻雜、硼摻雜與砷摻雜工藝下熱導率與摻雜原子濃度的依賴關系也不同,對應的AδM與AδR分別為2.66×10-66n與8.4×10-65n,7.14×10-65n與6.29×10-65n,3.4×10-65n與3.39×10-64n。圖4所示為在300 K溫度下磷、硼與砷摻雜原子濃度對硅材料熱導率的影響,本文所提出模型與Liu等模型能夠實現很好吻合。當摻雜原子濃度低于1017/cm-3時,硅材料的熱導率基本保持不變,當高于1017/cm-3時,隨著摻雜原子濃度的增加,熱導率急劇降低,當濃度處于1021/cm-3時,熱導率僅為在無摻雜情況下的硅材料熱導率的1/7左右,對熱導率的抑制作用很明顯。由于硼原子、砷原子與硅原子之間的相對質量差比磷原子與硅原子之間的相對質量差大很多,因此,硼摻雜與砷摻雜的AδM比磷摻雜的AδM高將近一個數量級。這也就是導致在同一摻雜原子濃度下,砷摻雜與硼摻雜的硅材料熱導率比磷摻雜的熱導率低的原因。砷的相對體積差相比硼的更大,導致砷摻雜對熱導率的限制作用更加明顯。這也說明,可以通過利用不同原子種類及原子濃度摻雜工藝的手段對材料熱導率進行宏觀調控,滿足熱電方面的實際運用需求。

圖4 摻雜原子濃度對硅材料熱導率的影響Fig.4 Relationship of silicon material thermal conductivity with doping concentration and type

圖5為SOI器件3 μm厚頂層硅薄膜熱導率隨溫度及磷摻雜原子濃度的變化關系,本文所建立模型能夠與Asheghi模型及實驗測試數據[22]較好的吻合。由于聲子邊界散射導致的尺度效應的存在,摻雜原子濃度為1017/cm-3的3 μm厚的硅薄膜熱導率由硅材料的137 W·m-1·K-1衰減到100 W·m-1·K-1左右。隨著溫度的上升,SOI頂層硅熱導率先增加后減小。摻雜原子濃度越高,熱導率越低,熱導率峰值出現的溫度往高溫區(qū)域移動。由式(7)計算的硅材料體積熱容曲線如圖6所示,可見在低溫階段,熱容隨著溫度急劇上升,高溫區(qū)域趨于緩和,最后保持不變。由熱導率的經驗傳統(tǒng)公式可以求得硅薄膜內聲子弛豫時間為

圖5 不同濃度磷摻雜下3 μm厚SOI頂層硅薄膜熱導率隨溫度變化關系Fig.5 Temperature dependence of thermal conductivity of 3 μm-thick SOI top silicon doped with film different phosphorus concentrations

圖6 硅材料體積熱容隨溫度變化關系Fig.6 Temperature dependence of volumetric heat capacity in silicon material

(30)

根據圖6中的熱容關系分別求解得到硅材料及3 μm厚的硅薄膜內聲子散射弛豫時間,如圖7所示。隨著溫度不斷上升,聲子散射過程加劇,導致聲子弛豫時間不斷降低。在3 μm硅薄膜中受聲子界面散射的影響,弛豫時間在50 K溫度下由6×104ps降低至104ps。室溫下弛豫時間由141 ps降低至133 ps?？梢?微尺度與納尺度硅薄膜由于界面散射的存在,聲子散射是一個皮秒量級的高速運動過程,有限空間內熱傳輸是一個具有極高時間與空間分辨的過程。聲子邊界散射的強弱決定了薄膜內聲子超快熱傳輸過程的特性。本文所提出的全耗盡SOI MOSFET硅薄膜熱導尺度效應模型能夠量化聲子邊界散射過程對熱導率的影響,獲得邊界散射平均自由程與薄膜厚度之間的關系。因此,在本文所簡化的熱導率模型的基礎上,結合聲子群速度,即可實現對具有任意厚度的微尺度與納尺度硅薄膜內聲子熱傳輸瞬態(tài)時間及其熱傳輸特性的預估。高溫時,由于熱容及熱導率趨于一致,聲子散射過程由溫度引起的聲子-聲子散射支配,聲子弛豫時間趨于一致。因此,由于熱容與散射弛豫時間的影響,硅薄膜低溫時熱導率主要是受熱容的支配,隨著溫度上升而增加。高溫區(qū)域時,聲子散射過程占據主導地位,硅薄膜熱導率隨溫度的上升而降低。圖8為SOI器件3 μm厚頂層硅薄膜熱導率隨溫度及硼摻雜原子濃度的關系,與圖5中磷摻雜硅薄膜熱導率變化規(guī)律一致。當摻雜原子濃度一致且在1018/cm-3時,磷摻雜硅薄膜熱導率在73 K時取得峰值,最大值約為563 W·m-1·K-1;而硼摻雜硅薄膜熱導率在74 K時取得峰值,最大值約為451 W·m-1·K-1。

圖7 硅材料及硅薄膜聲子弛豫時間隨溫度變化關系Fig.7 Temperature dependence of phonon relaxation time in silicon material and film

圖8 不同原子濃度硼摻雜下3 μm厚SOI頂層硅薄膜熱導率隨溫度變化關系Fig.8 Temperature dependence of thermal conductivity of 3 μm-thick SOI top silicon film doped with different boron concentrations

表1針對低溫區(qū)域(小于74 K)與高溫區(qū)域(大于74 K)給出了磷摻雜下熱導率模型與實測數據之間的平均相對誤差?？梢钥闯瞿Ｐ团c實測數據之間存在一定的誤差,低溫區(qū)域該誤差將進一步增大。導致該誤差產生的因素主要有兩方面,首先,微尺度與納尺度材料熱特性表征存在一定的不確定度[21],這將導致模型與實測數據之間存在誤差。其次,微尺度下聲子邊界散射在聲子熱傳輸過程中占主導地位,導致熱傳輸界面效應明顯,例如硅/二氧化硅界面粗糙度,該參數不僅與晶圓生長工藝緊密相連,同時還將受SOI MOSFET后續(xù)加工工藝的影響,如摻雜劑量、摻雜原子能量等,導致具有不同摻雜原子濃度的硅薄膜的表面粗糙度將發(fā)生改變,從而在模型與實測數據之間引入一定誤差。當溫度低于74 K時,聲子散射弛豫時間增加,聲子散射平均自由程增加,粗糙度將嚴重影響薄膜熱導率。因此,Asheghi在工作中引入了表面粗糙度用于修正低溫區(qū)域的硅薄膜熱導率模型。粗糙度采用的是SIMOX工藝制備的SOI硅薄膜表面粗糙度的經驗值,其值介于0.2～1 nm[21]。相比于原模型,本文提出的近似衰減因子函數在低溫區(qū)域時具有更小的數值,在一定程度上強化了低溫區(qū)域的聲子邊界散射對熱導率抑制的作用,導致兩模型與實測數據之間的擬合度不同。

表1 磷摻雜下熱導率模型與實測數據誤差對比

3 結 論

采用等效邊界散射自由程近似的方法,簡化目前國際上具有復雜解析形式,用于衡量熱導率尺度效應的衰減因子函數,獲取硅薄膜內聲子等效邊界散射平均自由程,建立起全耗盡絕緣體上硅金屬氧化物半導體場效應晶體管硅薄膜熱導率尺度效應模型。研究結果表明,微尺度與納尺度硅薄膜內聲子散射等效平均自由程為薄膜厚度的2.5倍。通過Matthiessen規(guī)則,將聲子邊界散射自由程與考慮束縛態(tài)和自由態(tài)電子-聲子散射的硅材料聲子平均自由程進行耦合,能夠有效地實現衰減因子函數的替代。由此建立的模型與初始模型及測試數據對比表明,該等效方法能夠較好地簡化熱導率模型,凸顯衰減因子物理意義。近似處理后的模型易于集成于TCAD實現先進半導體器件自熱效應的數值模擬仿真。采用薄膜厚度定義的聲子邊界散射自由程可廣泛地運用于具有不同厚度的超薄硅薄膜結構中聲子超快熱傳輸過程的弛豫時間預估。