平行砂輪磨削圓弧頭立銑刀后刀面的軌跡算法*

唐 軍 馬忠寶 羅 斌 江 磊

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

圓弧頭立銑刀作為整體式立銑刀的一種類型，廣泛應(yīng)用于復(fù)雜形狀零件的自由曲面加工制造，具有材料切除速率高和加工表面質(zhì)量好的優(yōu)點(diǎn)[1-2]。圓弧頭后刀面是圓弧頭立銑刀關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)之一，主要用于減少刀具和工件之間的摩擦，對(duì)刀具的使用壽命影響極大[3]。其磨削工藝的加工質(zhì)量將直接影響圓弧頭立銑刀刃線和回轉(zhuǎn)輪廓的精度。立銑刀后刀面按刀具結(jié)構(gòu)分為周刃后刀面和端刃后刀面。對(duì)于周刃后刀面，Pham T T等[4]根據(jù)形狀不同分為平面型、偏心型和凹面型3種形式，其中偏心型后刀面具有較大的刀尖角，刀尖強(qiáng)度大，具有良好的切削性能和加工表面質(zhì)量[5]。平面型后刀面刃口強(qiáng)度介于凹面型和偏心型之間，應(yīng)用最為普遍。李國(guó)超等[6]對(duì)上述3種形式的后刀面進(jìn)行了刃磨工藝分析，給出了3種周刃后刀面刃磨砂輪初始姿態(tài)的求解模型；孫長(zhǎng)富等[7]利用端截面游動(dòng)坐標(biāo)系法和幾何描述法對(duì)周刃平面型后刀面進(jìn)行了建模計(jì)算；李光業(yè)等[8]描述了用碗形砂輪端面和平行砂輪周邊分別磨削周刃平面型后刀面的加工工藝分析，給出了磨削時(shí)砂輪刀位數(shù)學(xué)模型。針對(duì)端刃后刀面，劉建軍等[9]基于提出的圓弧頭通用刃線數(shù)學(xué)模型，研究了立銑刀端齒后刀面的磨削加工工藝分析并計(jì)算出了砂輪的運(yùn)動(dòng)軌跡和軸矢量；張瀟然等[10]針對(duì)圓弧頭立銑刀端齒后刀面后角和寬度的約束等問(wèn)題，定義了一種后刀面約束曲線實(shí)現(xiàn)對(duì)端齒后角及后刀面寬度的控制。綜上，目前的磨削工藝主要側(cè)重于采用碗形砂輪端面進(jìn)行平面型后刀面磨削，且對(duì)端刃和周刃后刀面磨削工藝研究是分段進(jìn)行的，導(dǎo)致刀刃連接區(qū)域不光滑。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文研究了采用平行砂輪圓周面作為磨削區(qū)域的磨削工藝，并提出了周刃和端刃連續(xù)加工的圓弧頭立銑刀后刀面磨削軌跡算法。該算法不僅可加工周刃偏心型后刀面，而且通過(guò)周刃和端刃后刀面的磨削姿態(tài)連續(xù)變換，保證了后刀面的光滑過(guò)渡，提高了磨削加工效率、表面質(zhì)量和精度。

1 圓弧頭立銑刀刀刃曲線建模

1.1 周刃建模

周刃刀刃曲線模型在許多文獻(xiàn)中均有描述[11-12]。本文建立以刀具回轉(zhuǎn)軸為Zw軸，以周刃起點(diǎn)所在的端面為XwOwYw平面，圓心為原點(diǎn)Ow的工件坐標(biāo)系Ow-XwYwZw，如圖1所示。以Zw軸的坐標(biāo)值z(mì)為自變量，則周刃上刀刃點(diǎn)P0坐標(biāo)可表達(dá)為

(1)

式中：Rw為刀具回轉(zhuǎn)半徑；Lw為周刃長(zhǎng)度；φ(z)表示點(diǎn)P0相對(duì)于Xw軸繞Zw軸的回轉(zhuǎn)角度。

1.2 端刃建模

建立以刀具回轉(zhuǎn)軸為Zd軸，以圓弧回轉(zhuǎn)體的底面為XdOdYd平面，以其圓心為原點(diǎn)Od的端刃坐標(biāo)系Od-XdYdZd。則其轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系的變換矩陣Td-w為：

(2)

本文將端刃曲線分為3個(gè)部分，分別在端刃坐標(biāo)系下進(jìn)行描述：

(1)圓弧回轉(zhuǎn)面曲線部分

定義為由圓弧回轉(zhuǎn)面與非正交螺旋面求交線獲得的曲線P0dP1d，如圖2所示。則該段曲線上刀刃點(diǎn)P0坐標(biāo)可表達(dá)為：

(3)

式中：自變量θ為緯度角；R為圓弧中心距；r為端刃圓弧半徑；φr(θ)表示刀刃點(diǎn)P0處回轉(zhuǎn)角。

(2)平面曲線部分

定義為在平面M上的一段圓弧曲線P1dP2d。如圖3所示。由式(3)可得圓弧回轉(zhuǎn)面末點(diǎn)P1d的坐標(biāo)表達(dá)式，則該段曲線上刀刃點(diǎn)P0坐標(biāo)可表達(dá)為：

(4)

式中：φh為表示平面M與Xd軸的夾角；η為直線刃內(nèi)傾角。

(3)直線刃部分

定義為在平面M上的一直線段P2dP3d，如圖3所示。根據(jù)公式(4)可得平面曲線末點(diǎn)P2d的坐標(biāo)表達(dá)式和切矢量Fp，引入自變量t，則該段曲線刀刃點(diǎn)P0坐標(biāo)可表達(dá)為：

PP0d=PP2d+t·FP,0≤t≤lh0

(5)

式中：lh0為端刃直線刃長(zhǎng)度。

1.3 后刀面坐標(biāo)系及轉(zhuǎn)換

為了方便描述后刀面幾何參數(shù)和計(jì)算磨削軌跡，本文根據(jù)刀刃曲線模型，定義如下坐標(biāo)系：

(1)周刃坐標(biāo)系

定義為跟隨周刃的活動(dòng)坐標(biāo)系Om-XmYmZm，如圖1所示。其以周刃曲線上的點(diǎn)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)Om，以點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的回轉(zhuǎn)體母線切線為Zm軸，以點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的圓周切線為Ym軸。則有周刃坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系的變換矩陣Tm-w為：

式中自變量z的取值范圍同公式(1)。

(2)圓弧回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系

定義為跟隨圓弧回轉(zhuǎn)面曲線的活動(dòng)坐標(biāo)系Omt-XmtYmtZmt，如圖2所示。其以圓弧回轉(zhuǎn)面曲線上的點(diǎn)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)Omt，以點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的回轉(zhuǎn)體母線切線為Zmt軸，以點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的圓周切線為Ymt軸。則有圓弧回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到端刃坐標(biāo)系的變換矩陣Tmt-d為：

(7)

式中:自變量θ的取值范圍同公式(3)。

(3)平面曲線坐標(biāo)系

定義為跟隨平面曲線的活動(dòng)坐標(biāo)系Ots-XtsYtsZts，如圖3所示。其為將圓弧回轉(zhuǎn)面曲線末點(diǎn)的坐標(biāo)系Omt-XmtYmtZmt繞Ymt軸旋轉(zhuǎn)刀刃點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的角度t，然后平移到平面曲線上的P0點(diǎn)得到。其中t的取值范圍為[0,η]。則有平面曲線坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到端刃坐標(biāo)系的變換矩陣Tts-d為：

(8)

式中:自變量θ的取值范圍同公式(4)。

(4)直線刃坐標(biāo)系

定義為跟隨直線刃的活動(dòng)坐標(biāo)系Oms-XmsYmsZms，如圖4所示。其以直線刃磨削點(diǎn)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)Oms，Zms軸以平行于平面曲線末點(diǎn)的Zts軸，Yms軸平行于平面曲線末點(diǎn)的Yts軸。則有直線刃坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到端刃坐標(biāo)系的變換矩陣Tms-d為：

(9)

式中：自變量t的取值范圍同式(5)。

2 砂輪磨削后刀面軌跡計(jì)算

2.1 砂輪磨削姿態(tài)定義

為了方便計(jì)算和保證磨削的連續(xù)性，周刃和端刃后刀面的砂輪磨削姿態(tài)均根據(jù)刀刃曲線建模定義在對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系下。

(1)周刃偏心型后刀面的磨削姿態(tài)

根據(jù)周刃偏心型后刀面的磨削原理[6]，令砂輪圓心Og在平面XmZm內(nèi)，定義砂輪端面在平面XmZm內(nèi)的投影與Xm軸的夾角為α(其由螺旋角β和周刃后角λm決定)，如圖5所示。

(2)端刃圓弧回轉(zhuǎn)面后刀面的磨削姿態(tài)

如圖5所示，令砂輪圓心Og在位于平面XmtZmt內(nèi)，定義砂輪圓周面在平面XmtZmt內(nèi)的投影與Zmt軸的夾角為緯度角θ，且砂輪端面在平面XmtYmt內(nèi)的投影與Ymt軸的夾角為圓弧回轉(zhuǎn)面后角λmt。

(3)端刃平面曲線和直線刃后刀面的磨削姿態(tài)

針對(duì)端刃平面曲線后刀面，令砂輪圓心Og位于Zts軸上，并且砂輪端面在平面XtsYts內(nèi)的投影與Yts軸的夾角為平面曲線后角λts。

同理，針對(duì)直線刃后刀面，令砂輪圓心Og位于Zms軸上，并且砂輪端面在平面XmsYms內(nèi)的投影與Yms軸的夾角為直線刃后角λms，如圖6所示。

2.2 后刀面連接處的砂輪磨削姿態(tài)過(guò)渡

根據(jù)上述磨削姿態(tài)定義可知，周刃和圓弧回轉(zhuǎn)面后刀面部分砂輪磨削姿態(tài)不一致。因此為了保證磨削的連續(xù)進(jìn)行，需要設(shè)置砂輪磨削姿態(tài)的過(guò)渡。周刃末點(diǎn)即為端刃起點(diǎn)，該點(diǎn)處的周刃坐標(biāo)系與圓弧回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系重合。因此在此處坐標(biāo)系下設(shè)置過(guò)渡方式為砂輪端面在平面XmtZmt內(nèi)的投影與Xmt軸的夾角逐漸從α變?yōu)榱?，在平面XmtYmt內(nèi)的投影與Ymt軸的夾角逐漸從零變化到圓弧回轉(zhuǎn)面后角λmt。如圖7所示。

2.3 砂輪磨削軌跡計(jì)算

砂輪磨削軌跡計(jì)算分別在對(duì)應(yīng)的后刀面活動(dòng)坐標(biāo)系下進(jìn)行，包括砂輪端圓中心點(diǎn)坐標(biāo)Og和砂輪軸矢量Fg的計(jì)算。為了便于加工，可應(yīng)用公式(2)和公式(6) ～ (9)將砂輪軌跡轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系下表達(dá)。

(1)周刃后刀面

根據(jù)磨削姿態(tài)定義，并考慮到周刃到圓弧回轉(zhuǎn)面部分后刀面的過(guò)渡設(shè)置，可得在砂輪端圓中心點(diǎn)Og在周刃坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可表達(dá)為：

Og_m=

(10)

式中：Rg為砂輪端圓半徑。

其砂輪軸矢量Fg在周刃坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

Fg_m=

(11)

(2)圓弧回轉(zhuǎn)面部分后刀面

根據(jù)砂輪磨削圓弧回轉(zhuǎn)面后刀面姿態(tài)定義，則有砂輪端圓中心點(diǎn)Og在圓弧回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

(12)

其砂輪軸矢量Fg在圓弧回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

(13)

(3)平面曲線部分后刀面

根據(jù)砂輪磨削平面曲線后刀面姿態(tài)定義，則有砂輪端圓中心點(diǎn)Og在平面曲線坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

(14)

其砂輪軸矢量Fg在平面曲線坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

(15)

(4)直線刃部分后刀面

定義直線刃后刀面的法矢為Fg0。當(dāng)磨削直線刃部分后刀面時(shí)，為了防止砂輪與其他刀刃發(fā)生干涉，砂輪可繞矢量Fg0旋轉(zhuǎn)砂輪擺角μ。添加砂輪擺角后，砂輪軸矢量不變，同時(shí)對(duì)砂輪擺角μ進(jìn)行線性過(guò)渡保證連續(xù)性，其表達(dá)為：

(16)

則砂輪端圓中心點(diǎn)Og坐標(biāo)在直線刃坐標(biāo)系下可表達(dá)為

(17)

其砂輪軸矢量Fg在直線刃坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

(18)

3 算法驗(yàn)證

為了驗(yàn)算所提出的砂輪磨削軌跡算法，本文進(jìn)行了如圖8所示的流程驗(yàn)證。其中圓弧頭后刀面砂輪磨削軌跡的計(jì)算和機(jī)床NC程序的獲取，是在VC++環(huán)境開發(fā)一套算法模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)的。輸入圓弧頭后刀面相關(guān)幾何參數(shù)和工藝參數(shù)，根據(jù)提出的砂輪磨削軌跡算法，輸出其刀位軌跡文件；再以刀位軌跡文件為輸入，根據(jù)坐標(biāo)變換進(jìn)行后置處理，輸出數(shù)控機(jī)床的NC程序。其后置處理過(guò)程本文由于篇幅省略。

三維仿真則使用Vericut8.0來(lái)實(shí)現(xiàn)，選擇四刃圓弧頭立銑刀進(jìn)行磨削軌跡仿真，其仿真數(shù)據(jù)及結(jié)果如表1～2。

表2 部分磨削軌跡運(yùn)算結(jié)果

在Vericut8.0中進(jìn)行磨削仿真的結(jié)果如圖9所示。

在精利MD3015五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控工具磨床上進(jìn)行實(shí)際加工，并利用刀具檢測(cè)儀PG-1000進(jìn)行刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)測(cè)量，結(jié)果如圖10所示。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)建立了一種分段式且能保證各段之間光滑過(guò)渡的圓弧頭立銑刀刀刃曲線模型。

(2)根據(jù)周刃偏心型后刀面形成原理，將其磨削方式擴(kuò)展到端刃部分，提出了一套保證砂輪姿態(tài)連續(xù)變換的周刃和端刃后刀面的砂輪磨削軌跡算法。

(3)通過(guò)磨削仿真和實(shí)際加工，驗(yàn)證了該算法的正確性和有效性。