帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)邊緣屈服荷載研究

張仲祥 宋振森 陳行威

（上海交通大學(xué)船舶與建筑工程學(xué)院，上海 200110）

0 引言

帶翼緣十字形截面構(gòu)件具有各向等穩(wěn)定、抗扭剛度高、對稱美觀以及施工便利等優(yōu)勢，深受建筑師的青睞。S.P.Ngian等［1］對一個8層的無支撐半剛性剛框架按照WMM（wind-moment method）法進(jìn)行了設(shè)計(jì)，對比分析表明，柱截面采用帶翼緣十字形截面構(gòu)件比采用H型鋼柱能夠節(jié)約24%～66%的鋼材。從截面的幾何形狀上看，帶翼緣十字形可以看作是附加了翼緣的十字形截面，在軸心壓力作用下的破壞模式以扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)為主。目前對于此類構(gòu)件的相關(guān)研究相對較少，仍處于初步探索階段。H.R.Naderian等［2］利用有限條法對FRP材料組成的帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件進(jìn)行了數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)該類構(gòu)件在軸心受壓時極易出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。

初始扭轉(zhuǎn)是影響該類構(gòu)件扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)承載力的主要幾何缺陷。隨著軸力的增大，扭轉(zhuǎn)角會增大，當(dāng)構(gòu)件軸壓力增大到一定程度時，構(gòu)件截面的邊緣首先進(jìn)入屈服，構(gòu)件的剛度會迅速降低，雖然尚未達(dá)到構(gòu)件的極限承載力，但已不適合繼續(xù)加載，因此可將邊緣屈服作為鋼構(gòu)件失穩(wěn)的標(biāo)志。本文從帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的彈性扭轉(zhuǎn)出發(fā)，推導(dǎo)其扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的邊緣屈服荷載，并據(jù)此給出穩(wěn)定曲線。

1 邊緣屈服荷載

1.1 截面形式及相關(guān)參數(shù)

帶翼緣十字形構(gòu)件的截面參數(shù)如圖1所示。為便于分析，截面高度取上、下兩塊翼緣中線的間距，截面寬度和各板件厚度均取實(shí)際數(shù)值，分析時均忽略焊縫、倒角和微小重疊部分。

圖1 帶翼緣十字形截面尺寸示意Fig.1 Dimension of Stiffened Cruciform Section

1.2 等效應(yīng)力

構(gòu)件軸向的正應(yīng)力σz由三部分組成，分別是軸心壓力P所產(chǎn)生的正應(yīng)力σp、殘余應(yīng)力σγ和翹曲應(yīng)力σω，因此軸向的正應(yīng)力σz可以寫作［3］

剪應(yīng)力τ則由翹曲扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力組成，可以寫作

式中，φ(z)為構(gòu)件軸心受壓的扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)。

對帶翼緣十字截面構(gòu)件截面，在翼緣處ω最大，故此處的翹曲應(yīng)力σω最大，扭轉(zhuǎn)時首先屈服。由帶翼緣十字形截面的中心對稱性，可僅考慮在-h/2處的翼緣。根據(jù)符拉索夫薄壁構(gòu)件理論，將ω和Sω的表達(dá)式帶入式（1）、式（2）可得到正應(yīng)力和剪應(yīng)力為

采用Von-Mises屈服準(zhǔn)則，其等效應(yīng)力可以寫作［4］

因此可得-h/2處翼緣上的等效應(yīng)力為

1.3 邊緣屈服荷載

實(shí)際上構(gòu)件屈服前扭轉(zhuǎn)位移及其各階導(dǎo)數(shù)以及殘余應(yīng)力均為小量，式（6）中含有φ′、φ′′、φ′′′高階項(xiàng)均可略去，并可將式中殘余應(yīng)力單獨(dú)移出進(jìn)行簡化處理，于是式（6）可寫成

帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件僅考慮初始扭轉(zhuǎn)缺陷的扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)可取為［5］

Aφ為初始扭轉(zhuǎn)缺陷的幅值，即構(gòu)件跨中處的初始扭轉(zhuǎn)角。

根據(jù)式（8）可得

將式（10）代入式（7）即可得到帶翼緣十字形構(gòu)件的應(yīng)力分布。以截面H248×124×5×8組成的長度為3 m的構(gòu)件承擔(dān)1 500 kN軸心壓力時翼緣板的等效應(yīng)力如圖2所示。

圖2 翼緣板的Mises應(yīng)力圖（軸側(cè)）Fig.2 Mises stress diagram of flange（axonometric view）

由圖可以看出，翼緣Mises應(yīng)力的最大值發(fā)生在兩端和跨中的翼緣最外一側(cè)，因此將(z，x)=(0，b2)帶入式（10），然后再帶入式（7）可得

假定翼緣殘余應(yīng)力為線性分布，取翼緣邊緣處的殘余應(yīng)力σγ的值為0.3fy，根據(jù)邊緣屈服準(zhǔn)則的定義，令式（11）等于屈服應(yīng)力fy，可得邊緣屈服荷載為

圖3 翼緣板的Mises應(yīng)力圖（俯視）Fig.3 Mises stress diagram of flange（top view）

圖4 翼緣板的Mises應(yīng)力圖（正視）Fig.4 Mises stress diagram of flange（front view）

由圖5所示，當(dāng)其扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)臨界力與扭轉(zhuǎn)計(jì)算長度有關(guān)，隨著長度的增加，其失穩(wěn)模式會發(fā)生改變。兩端曲線的交點(diǎn)處彎曲失穩(wěn)臨界力和扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)臨界力相等，此時構(gòu)件的長度記為L1，當(dāng)構(gòu)件的長度L＜L1時，構(gòu)件的破壞模式為扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，當(dāng)L＞L1時，構(gòu)件的破壞模式為彎曲失穩(wěn)。

圖5 帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的失穩(wěn)模式變化示意Fig.5 The relationship between the buckling mode and length

1.4 公式驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的可行性用式（12）計(jì)算一組帶翼緣十字形軸心受壓試件的邊緣屈服荷載并與試驗(yàn)結(jié)果對比［6］，采用長度為3 m的熱軋窄翼緣H型鋼HN248×124×5×8切割焊接組合而成，試件在軸心壓力的作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)屈曲破壞。根據(jù)材性試驗(yàn)結(jié)果，鋼材的彈性模量E=2.20×105MPa，屈服強(qiáng)度fy=350 MPa。

試驗(yàn)結(jié)果與式（12）的對比見表1，由表中結(jié)果可知，公式結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，可用本文邊緣屈曲荷載代表扭轉(zhuǎn)屈曲穩(wěn)定承載力。

表1 扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)承載力結(jié)果對比Table 1 Comparison of torsional instability ultimate load

1.5 扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定系數(shù)

由式（12），僅考慮初始扭轉(zhuǎn)缺陷的帶翼緣十字形軸心受壓構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)屈曲穩(wěn)定系數(shù)定義如下：

為考察翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度等不同截面參數(shù)以及扭轉(zhuǎn)長細(xì)比、彎曲長細(xì)比和彎扭長細(xì)比等不同變量對扭轉(zhuǎn)屈曲穩(wěn)定系數(shù)的影響，針對不同截面參數(shù)和長度構(gòu)件計(jì)算其邊緣屈服荷載，選取的截面參數(shù)如表2所示，計(jì)算時取初始扭轉(zhuǎn)角，扭轉(zhuǎn)長細(xì)比λω、彎曲長細(xì)比λx和彎扭長細(xì)比λxω定義如下：

表2 構(gòu)件截面參數(shù)Table 2 Summary of section properties

根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制扭轉(zhuǎn)長細(xì)比λω、彎曲長細(xì)比λx和彎扭長細(xì)比λxω下的扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)的關(guān)系曲線如圖6-圖8所示。由圖可以看出，以彎曲長細(xì)比λx和彎扭長細(xì)比λxω為自變量時，扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)曲線有較大離散性，而當(dāng)采用扭轉(zhuǎn)長細(xì)比λω作為自變量時，不同截面的扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)曲線規(guī)律性明顯?？梢娕まD(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)與扭轉(zhuǎn)長細(xì)比有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，可認(rèn)為是扭轉(zhuǎn)長細(xì)比λω的函數(shù)。同時顯示帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度以及腹板厚度等截面參數(shù)對邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)沒有獨(dú)立的影響規(guī)律。

圖6 扭轉(zhuǎn)長細(xì)比與扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)的相關(guān)曲線Fig.6 The curve of non-dimensional first-yield load vs.torsional slenderness

圖7 彎曲長細(xì)比與扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)的相關(guān)曲線Fig.7 The curve of non-dimensional first-yield load vs.flexual slenderness

圖8 彎扭長細(xì)比與扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)的相關(guān)曲線Fig.8 The curve of non-dimensional first-yield load vs.flexural-torsional slenderness

2 扭轉(zhuǎn)邊緣屈服荷載的簡化公式

2.1 簡化公式推導(dǎo)

式（12）隱式方程求解過程復(fù)雜，不便于實(shí)際的應(yīng)用，因此本文推導(dǎo)出顯示表達(dá)的扭轉(zhuǎn)邊緣屈服荷載簡化表達(dá)式。

展開可得關(guān)于Pcr，1的三次方程

因?yàn)閙＜0，由Cardano公式可以得到三個根的三角函數(shù)形式為

通過證明Pcr，13為三個根中最小的正實(shí)數(shù)根，因此可得到邊緣屈服荷載顯示表達(dá)式的近似解為

2.2 簡化公式正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文簡化公式的正確性，選用H248×124×5×8截面作為算例，用式（24）和式（12）分別計(jì)算不同長度下帶翼緣十字形軸心受壓試件的邊緣屈服荷載，對比如圖9所示。

圖9 扭轉(zhuǎn)邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)的隱式精確解與擬合公式公式的比較Fig.9 The comparison of exact solution and approximate solution

由圖9可見，在可能發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的區(qū)間，簡化公式與精確的最大誤差Δ=0.03，且近似解都小于精確解，在工程應(yīng)用中采用簡化公式是可行的。

3 結(jié)論

（1）采用金屬材料的Von-Mises屈服準(zhǔn)則，并略去翼緣板Mises應(yīng)力表達(dá)式的高階小量后推導(dǎo)出了帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的邊緣屈服荷載的隱式表達(dá)式，并通過試驗(yàn)對比，驗(yàn)證了隱式表達(dá)式的正確性。

（2）通過對比翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度等不同截面參數(shù)以及扭轉(zhuǎn)長細(xì)比、彎曲長細(xì)比和彎扭長細(xì)比等不同變量發(fā)現(xiàn)，不同構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)邊緣屈服荷載在使用彎曲長細(xì)比或彎扭長細(xì)比來描述時有較大的離散型，而當(dāng)以扭轉(zhuǎn)長細(xì)比為自變量時，不同截面的曲線則表現(xiàn)出明顯的規(guī)律，可見帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)問題應(yīng)通過扭轉(zhuǎn)長細(xì)比來研究。同時顯示帶翼緣十字形截面軸心受壓構(gòu)件的翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度以及腹板厚度等截面參數(shù)對邊緣屈服穩(wěn)定系數(shù)沒有獨(dú)立的影響規(guī)律。

（3）將隱式表達(dá)的邊緣屈服荷載表達(dá)式通過Taylor展開進(jìn)行了簡化，得到了邊緣屈服荷載顯式表達(dá)式（24）。