適用于明渠流及冰蓋流的統(tǒng)一泥沙顆粒起動(dòng)流速公式

馬子普，張寶森，鄧 宇，李春江

（1.黃河水利委員會(huì) 黃河水利科學(xué)研究院，河南 鄭州 450003；2.水利部堤防安全與病害防治工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 450003；3.中國水利水電科學(xué)研究院 泥沙研究所，北京 100048；4.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

1 研究背景

高緯度地區(qū)河流在冬季常形成冰蓋或冰塞，冰蓋或冰塞的出現(xiàn)顯著改變了水流的水力條件、熱力條件及幾何邊界條件［1-2］，過水?dāng)嗝鏉裰芎妥枇γ黠@增加，斷面平均流速大幅減小［3］，產(chǎn)生了明顯異于明渠流的特有泥沙輸移現(xiàn)象［4］。冰蓋流條件下，泥沙濃度及輸移強(qiáng)度與明渠流相比很小［5-6］。

泥沙輸移強(qiáng)度小，并不意味著泥沙顆粒在冰蓋流條件下很難。以2014年冰期黃河頭道拐斷面套繪圖（圖1）為例［7］，該斷面在1月4日至2月28日之間，發(fā)生強(qiáng)烈的沖淤變化。1月4日深泓點(diǎn)在540 m附近高程約983.68 m，1月19日深泓點(diǎn)則到了460 m 附近高程降低到982.44 m，1月22日則到了440 m附近高程降低到982.1 m，而560 m附近則大幅淤高2 m左右，1月28日深泓點(diǎn)仍在440 m附近，但高程繼續(xù)降低到了981.65 m。該情形說明即使冰蓋存在，但只要水動(dòng)力較強(qiáng)，泥沙顆粒也可以起動(dòng)，引起床面發(fā)生沖刷。

圖1 頭道拐水文斷面2014年冰期不同時(shí)段河床斷面套匯圖

明渠流條件下的泥沙起動(dòng)流速公式已有很多研究［8-11］，冰期泥沙顆粒的起動(dòng)研究相對(duì)較少。王軍和孫連進(jìn)［3］通過水槽試驗(yàn)，研究了了冰蓋流條件下的河床泥沙起動(dòng)流速，認(rèn)為冰蓋下泥沙起動(dòng)流速與冰蓋及槽底糙率的相對(duì)比值有關(guān)。WANG［12］、SUI等［13］、WU等［14］建立了冰蓋下散粒體泥沙顆粒起動(dòng)的希爾茲曲線，并通過水槽實(shí)測(cè)資料進(jìn)行了檢驗(yàn)。本文將在探討冰下泥沙顆粒起動(dòng)的物理機(jī)制基礎(chǔ)上，從Einstein假定出發(fā)，采用指數(shù)形式的流速分布公式，推導(dǎo)明渠流及冰蓋流的非黏性泥沙顆粒起動(dòng)流速公式，并將公式計(jì)算結(jié)果與已有實(shí)測(cè)資料進(jìn)行對(duì)比以檢驗(yàn)公式的合理性，應(yīng)用所得公式對(duì)明渠流、冰蓋流、冰塞條件下的起動(dòng)流速及最大可起動(dòng)粒徑進(jìn)行分析，進(jìn)而從泥沙起動(dòng)的角度分析了2014年黃河頭道拐斷面冰期強(qiáng)烈沖淤變化的原因。

2 冰下泥沙顆粒起動(dòng)的物理機(jī)制

冰期河道床面上的泥沙顆粒同樣也會(huì)發(fā)生大規(guī)模的運(yùn)動(dòng)。床面上泥沙顆粒的起動(dòng)，主要取決于其綜合受力情況，無論是明渠流還是冰蓋流，床面上泥沙顆粒所受力的種類并無差別，對(duì)于非黏性的泥沙顆粒來說，主要受到水下有效重力、拖曳力及上舉力作用［15-17］。水下有效重力屬于泥沙顆粒本身的物理屬性，拖曳力及上舉力均與作用于泥沙顆粒上的流速即底部作用流速的平方成正比。無論是明渠流還是冰蓋流，床面上同一粒徑的泥沙顆粒要發(fā)生起動(dòng)，需要達(dá)到的底部作用流速值是相同的。冰蓋的存在，并不能改變泥沙顆粒起動(dòng)所需的臨界底部作用流速值的大小，若底部作用流速達(dá)不到，則泥沙顆粒就無法起動(dòng)。

冰蓋的存在，改變了整個(gè)垂線上的流速分布［18-21］，當(dāng)以通常的垂線平均流速來表示起動(dòng)流速時(shí)，同樣的底部作用流速必然會(huì)對(duì)應(yīng)不同的起動(dòng)流速，基于此分析，對(duì)冰下床面泥沙顆粒的起動(dòng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

3 統(tǒng)一的泥沙顆粒起動(dòng)流速公式推導(dǎo)

冰蓋流條件下的垂線流速分布公式有對(duì)數(shù)、指數(shù)、雙冪律、拋物線等多種形式［22-24］，這里采用如下的冰蓋流指數(shù)流速分布公式進(jìn)行推導(dǎo)：

式中：y為垂線上的點(diǎn)到床面的距離；u1(y)、u2(y)分別為冰蓋區(qū)和床面區(qū)內(nèi)垂線上點(diǎn)y處的水流流速；u1max、u2max為冰蓋區(qū)和床面區(qū)的垂線最大流速；?1、?2分別為冰蓋區(qū)、床面區(qū)的水深，? 為冰蓋流總的水深；m1、m2為冰蓋區(qū)和床面區(qū)的垂線流速分布指數(shù)。

明渠流、冰蓋流及冰塞示意圖（圖2）如下：

圖2 明渠流、冰蓋流、冰塞示意圖

采用Einstein假定，將整個(gè)過流斷面劃分成上部冰蓋區(qū)和下部床面區(qū)，以最大流速所在面作為上下兩區(qū)的分界面，垂線流速分布滿足三個(gè)條件［25］：（1）冰蓋區(qū)的水流平均流速等于床面區(qū)的水流平均流速，即U1=U2=U；（2）河床水流與冰蓋水流交界面的流速相等，等于垂線最大流速u1max=u2max=umax；（3）床面區(qū)水流與冰蓋區(qū)水流的能坡相等J1=J2=J，且?=?1+?2。

由式（1）可得：

而U1=U2=U，u1max=u2max=umax，則m1=m2。

式中：U1、U2分別為冰蓋區(qū)及床面區(qū)的水流平均流速；U為冰蓋流的水流平均流速；umax為垂線上最大流速；J1、J2分別為為冰蓋區(qū)及床面區(qū)水流的能坡；J為冰蓋下水流的能坡。

由此式（1）可化為：

認(rèn)為冰蓋的厚度相對(duì)整個(gè)水深來說很小，? ≈ ?0，則以指數(shù)流速分布形式表示的明渠流垂線流速分布公式：

式中：u(y)為明渠流垂線上點(diǎn)y處的水流流速；?0為明渠流的水深；u0max為明渠流的水面流速；m為明渠流的垂線流速分布指數(shù)。

式（5）可化為：

式中U0為明渠流的垂線平均流速。

假定作用點(diǎn)位置為αD，當(dāng)?shù)撞孔饔昧魉贋閡bc時(shí)，泥沙顆粒開始起動(dòng)，那么：

對(duì)于冰蓋流，

對(duì)于明渠流，

令式（7）與式（8）相等，可得：

式中：α為表征水流流速作用于泥沙顆粒位置的系數(shù)；D為泥沙粒徑；下標(biāo)c表示臨界起動(dòng)狀態(tài)；ubc為泥沙顆粒處于臨界起動(dòng)狀態(tài)時(shí)的底部作用流速；Uc、U0c分別為冰蓋流及明渠流條件下的泥沙顆粒起動(dòng)流速。

m的取值范圍，約為1/5～1/10，通常取1/6［26］。關(guān)于m1的取值目前尚缺乏相關(guān)研究，應(yīng)用伯拉修斯公式所得的冰下水流流速分布指數(shù)公式中，指數(shù)為1/7［22，27］，通過文獻(xiàn)［22，28-29］中的59對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)用公式對(duì)m1反推，其均值約為1/8，兩個(gè)m1值均在m的取值范圍之內(nèi)。簡(jiǎn)化起見，不妨令m1≈m，則：

對(duì)于非寬淺的冰蓋流，由曼寧公式可得：

式中：n1、n2分別為冰蓋及河床的糙率；R1、R2分別為冰蓋區(qū)、床面區(qū)的水力半徑。

根據(jù)假定，U1=U2=U，令式（11）與式（12）相等，可得：

不妨令非寬淺河道斷面形式為矩形，則：

式中B為河道寬度。

聯(lián)立式（13）-式（16），可得：

變換后可得：

聯(lián)立式（10）與式（18），可得：

明渠流中非黏性泥沙顆粒的起動(dòng)流速采用沙莫夫公式形式：

式中k為起動(dòng)流速系數(shù)。

聯(lián)立式（19）與式（20），可得：

取m=1/6，k=4.6，則：

該式即為同時(shí)適用于非寬淺明渠流及冰蓋流的統(tǒng)一泥沙顆粒起動(dòng)流速公式，當(dāng)n1=0 時(shí)，即為非寬淺河道明渠流的泥沙起動(dòng)流速公式。這里的泥沙為床面層內(nèi)可忽略其黏性的散粒體泥沙顆粒，粒徑大于0.15～0.20 mm，且不考慮冰期低溫對(duì)水流黏滯性的影響。

對(duì)于寬淺河道，R1≈ ?1，R2≈ ?2，則可得：

聯(lián)立式（20）與式（24），可得：

該式即為同時(shí)適用于寬淺明渠流及冰蓋流的統(tǒng)一泥沙顆粒起動(dòng)流速公式，當(dāng)n1=0 時(shí)，該式即為寬淺河道明渠流的泥沙起動(dòng)流速公式。

4 起動(dòng)流速公式合理性的檢驗(yàn)

王軍和孫連進(jìn)在試驗(yàn)水槽中進(jìn)行了天然無黏性沙的起動(dòng)試驗(yàn)，光滑冰蓋用輕質(zhì)泡沫模擬，通過在泡沫板中插入竹簽的辦法來改變其糙率，冰蓋糙率有0.0212、0.0322、0.0347三種類型，通過在槽底鋪設(shè)不同值粒徑的天然無黏性沙來實(shí)現(xiàn)床面糙率的改變，不同泥沙顆粒的中值粒徑分別為0.32、0.85、1.32 mm，對(duì)應(yīng)河床糙率依次為0.0109、0.0128、0.0138［3］。采用所得試驗(yàn)資料，分別對(duì)式（22）及式（25）的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)。

單個(gè)誤差率采用如下公式計(jì)算：

單個(gè)誤差率=（計(jì)算值—實(shí)測(cè)值）/實(shí)測(cè)值×100%

平均絕對(duì)誤差率采用如下公式計(jì)算：

平均絕對(duì)誤差率=單個(gè)誤差率絕對(duì)值之和/實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

圖3 起動(dòng)流速實(shí)測(cè)值與式（22）計(jì)算值的比較

圖4 式（22）起動(dòng)流速計(jì)算值的誤差率

圖5 起動(dòng)流速實(shí)測(cè)值與式（25）計(jì)算值的比較

圖6 式（25）起動(dòng)流速計(jì)算值的誤差率

圖3及圖5顯示，無論采用采用式（22）還是式（25）來計(jì)算冰蓋流作用下的非黏性泥沙顆粒起動(dòng)流速，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值整體上符合良好。圖4及圖6顯示，兩種計(jì)算方法下的誤差率均在-16%～21%之間，且大多數(shù)在-15%～10%，誤差率較小。采用式（22）時(shí)平均絕對(duì)誤差率為7.186%，采用式（25）時(shí)平均絕對(duì)誤差率為7.245%，相差不大，表明邊壁效應(yīng)對(duì)冰蓋流條件下的泥沙起動(dòng)流速影響不大。整體上來說，采用式（22）或式（25）來計(jì)算冰蓋流作用下的非黏性泥沙顆粒起動(dòng)流速均是合適的。

圖4及圖6反映出，當(dāng)床面泥沙粒徑為D=0.32 mm時(shí)，計(jì)算值均比實(shí)測(cè)值??；當(dāng)床面泥沙粒徑為D=0.85 mm時(shí)，計(jì)算值均比實(shí)測(cè)值大；D=1.32 mm時(shí)的誤差率均分布在0的兩側(cè)，誤差率比另外兩種粒徑時(shí)低。這說明所得泥沙起動(dòng)公式對(duì)于較粗的泥沙顆粒有更高的精度，更適用于粗顆粒泥沙。另外，王軍和孫連進(jìn)的試驗(yàn)中，冰蓋糙率n1均大于河床糙率n2，相當(dāng)于所得泥沙起動(dòng)公式僅檢驗(yàn)了n1>n2的情形。對(duì)于n1≤n2的情形，公式的適用性如何，由于缺乏公開的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有待進(jìn)一步檢驗(yàn)。

5 明渠流、冰蓋流、冰塞條件下的起動(dòng)流速及可起動(dòng)最大粒徑

當(dāng)河道沿程同時(shí)具有明渠流、冰蓋流、冰塞三種條件時(shí)，從理論上對(duì)三種條件下的起動(dòng)流速及最大可起動(dòng)粒徑進(jìn)行分析。

冰塞條件下的泥沙顆粒起動(dòng)，與冰蓋流作用下的泥沙顆粒起動(dòng)類似，由式（25）可得到類似形式的冰塞條件下的泥沙顆粒起動(dòng)流速為：

式中：U′c為冰塞條件下的泥沙顆粒起動(dòng)流速；?? 為冰塞厚度。

根據(jù)式（26），當(dāng)發(fā)生冰塞時(shí)，水深? 減小了冰塞厚度??，糙率n1增大，這兩個(gè)因素的改變均會(huì)導(dǎo)致起動(dòng)流速降低，說明發(fā)生冰塞條件下床面泥沙顆粒更易起動(dòng)。由此冰塞時(shí)的U′c<冰蓋流時(shí)的Uc<明渠流時(shí)的U0c，即泥沙顆粒在普通冰蓋時(shí)比明渠流時(shí)更易起動(dòng)，形成冰塞時(shí)比普通冰蓋流時(shí)更易起動(dòng)。

忽略形成冰蓋后的水深變化，那么結(jié)冰后在冰蓋流條件下垂線平均流速為：

形成冰塞時(shí)垂線平均流速U'滿足：

聯(lián)立式（27）、式（28），可得

式中U′為形成冰塞時(shí)的垂線平均流速。

根據(jù)式（28），形成冰塞后，冰塞部位垂線平均流速大于形成普通冰蓋時(shí)的垂線平均流速。平均流速增大，而起動(dòng)流速減小，則顯然可以起動(dòng)的泥沙顆粒粒徑將變大。

令明渠流條件下可起動(dòng)的最大泥沙粒徑為Dmax，小于粒徑Dmax的沙粒占床面沙粒的ε1，則：

冰蓋流條件下，

冰塞條件下，

式中：Dmax為明渠流條件下可起動(dòng)泥沙顆粒的最大粒徑；ε1為床面上小于粒徑Dmax的沙粒占床面沙粒的比例；P為發(fā)生某一事件的概率。

式（30）-式（32）表明，冰蓋流與明渠流條件下的可起動(dòng)最大泥沙粒徑相同，但形成冰塞后的可起動(dòng)最大泥沙粒徑將增大，冰塞所在斷面將產(chǎn)生沖刷。

6 頭道拐河道斷面冰期強(qiáng)烈沖淤變化分析

以2014年黃河頭道拐斷面的冰期實(shí)測(cè)資料為例，對(duì)斷面的沖淤機(jī)理進(jìn)行分析。

2014年頭道拐斷面不同時(shí)段冰蓋下冰花厚度分布如圖7所示。

圖7 2014年冰期頭道拐斷面不同時(shí)段冰花厚度分布

由圖7可知，封河期內(nèi)右岸附近冰花厚度明顯大于左岸，大量冰花集聚在右岸600～700 m范圍內(nèi)，相當(dāng)于在右岸附近形成了局部冰塞。對(duì)比圖1和圖7可知，由于冰塞的阻水作用，水流被擠壓到了左岸附近，左岸附近流速增大導(dǎo)致可起動(dòng)最大泥沙粒徑增大，進(jìn)而引起左岸附近沖刷。右岸附近冰花厚度在1月19日達(dá)到最大約3 m，而后逐漸減??；左岸沖刷深度從1月4日到2月28日均逐漸增大，但2月22日到2月28日間增大速度已趨慢，斷面形態(tài)已趨于穩(wěn)定。說明整個(gè)時(shí)間段內(nèi)，右岸附近冰花都存在阻水作用，只是隨著冰花厚度減小阻水作用減小，左岸沖刷速度變慢了。統(tǒng)計(jì)各日期的流量、冰花面積、冰花平均厚度及斷面面積等情況，見表1。

表1 2014年冰期頭道拐斷面不同時(shí)刻流量、冰花面積等物理量變化情況

從表1可知，冰期內(nèi)冰花面積及平均厚度從1月4日到1月19日增大，而后到2月28日減??；斷面面積從1月4日到2月22日增大，而后到2月28日減小。二者增減的時(shí)間并不完全一致，說明斷面面積的增減與冰花面積及厚度的增減并非是同步的，斷面面積的增減相對(duì)冰花厚度的增減有一個(gè)響應(yīng)和滯后的過程。冰花厚度的增減與冰下斷面面積的增減存在正相關(guān)關(guān)系，冰花厚度的增加引起斷面發(fā)生沖刷面積增大，冰花厚度的減小引起斷面發(fā)生淤積面積減小。這與前文的分析，形成冰塞后可起動(dòng)最大泥沙粒徑將增大，冰塞所在斷面將產(chǎn)生沖刷是一致的。Zabilansky認(rèn)為在冰蓋作用下水流受到壓縮，床面切應(yīng)力增大從而加劇了床面的沖刷［30］，本質(zhì)上是相同的。

從表1同時(shí)可知，冰期內(nèi)斷面平均流速變化幅度很小，這是由于流量及凈過水面積幾乎也在同步增減。從1月4日到2月28日，斷面面積及凈過水面積均逐漸增大，冰花面積從1月4日到1月19日逐漸增大而后逐漸減?。ㄒ妶D8）。1月4日到1月19日，凈過水面積增加了46.9 m2，冰花面積增加了149.7 m2。冰花面積的增加會(huì)使凈過水面積減小，但實(shí)際上凈過水面積卻增加了，凈過水?dāng)嗝婷娣e的變化是由冰花面積及河床沖淤面積的變化共同引起的，則河床應(yīng)沖刷了196.6 m2，河床沖刷對(duì)凈過水面積的增加為正貢獻(xiàn)，冰花面積增加為負(fù)貢獻(xiàn)。1月19日到2月28日冰花面積減小了226.7 m2，凈過水面積則增加了344.5 m2，凈過水?dāng)嗝娴脑黾用娣e大于冰花的減小面積，差值117.8 m2應(yīng)由河床沖刷所貢獻(xiàn)，冰花面積的減小對(duì)凈過水?dāng)嗝娴脑黾拥呢暙I(xiàn)率約為2/3，河床沖刷對(duì)凈過水?dāng)嗝娴脑黾拥呢暙I(xiàn)率約為1/3。總體來說，流量及凈過水面積幾乎同步增減導(dǎo)致斷面平均流速變化不大，冰花面積先增后減，凈過水面積不斷增加，使河道斷面整體上始終處于沖刷狀態(tài)。

圖8 2014年冰期頭道拐斷面不同時(shí)段斷面面積、凈過水面積、冰花面積變化

冰塞在右岸附近形成，沖刷在左岸附近形成，二者形成的位置在斷面上的分布剛好是相反的。由于是天然河道斷面，流速及冰花厚度在橫向上分布不均，導(dǎo)致可起動(dòng)最大泥沙粒徑在橫向上分布不均，從而斷面各處的沖淤變形有很大差異。形成冰塞后冰下斷面整體上以沖刷為主，可能發(fā)生局部小范圍淤積。

7 結(jié)論

探討了冰蓋流條件下床面上非黏性泥沙顆粒起動(dòng)的力學(xué)機(jī)制，冰蓋的存在并不改變泥沙顆粒起動(dòng)所需的底部流速的大小，只是改變了床面附近以及整個(gè)垂線上的流速分布?；贓instein假定，推導(dǎo)得到了同時(shí)適用于明渠流及冰蓋流的統(tǒng)一的非黏性泥沙顆粒起動(dòng)流速公式，所得公式與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)符合良好。當(dāng)冰蓋糙率為0時(shí)，冰蓋流泥沙顆粒起動(dòng)流速公式即退化為明渠流泥沙顆粒起動(dòng)流速公式。邊壁對(duì)公式計(jì)算值有一定影響，但對(duì)平均誤差率影響不大。對(duì)于起動(dòng)流速的大小，明渠流>冰蓋流>冰塞，對(duì)于可起動(dòng)最大泥沙粒徑，明渠流=冰蓋流<冰塞。冰期河道斷面同樣可能存在強(qiáng)烈的沖淤變化，這是冰花集聚形成冰塞引起可起動(dòng)最大泥沙粒徑增大所致。