基于平方運(yùn)算與多重希爾伯特變換的F-P干涉振動(dòng)測(cè)量

華 震,高丙坤,岳航宇,崔翔宇

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318)

1 引 言

快速發(fā)展的光學(xué)技術(shù)的一個(gè)重要分支是光纖干涉?zhèn)鞲衅鞯膽?yīng)用。已經(jīng)證明這些傳感器比電傳感器靈敏幾個(gè)數(shù)量級(jí)[1],用于無接觸的實(shí)時(shí)自動(dòng)監(jiān)測(cè)。光纖中的法布里-珀羅(F-P)干涉是一種快速、靈敏的振動(dòng)分析的工具,它也可以與光纖信號(hào)傳輸相結(jié)合,在惡劣的工程環(huán)境中獲得穩(wěn)定的性能[2-3]。

干涉信號(hào)最初用條紋計(jì)數(shù)法來恢復(fù)振動(dòng)信息[4],但其分辨率僅為波長的一半,這極大地限制了測(cè)量精度。在F-P干涉測(cè)量位移的應(yīng)用中,2018年陳海濱提出了一種以摻鉺光纖放大器為光源的F-P干涉位移測(cè)量方法[5],但只能實(shí)現(xiàn)于11 mm長度范圍內(nèi)1 μm的分辨率,并且實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)復(fù)雜；魏仁選提出了一種F-P干涉的微位移測(cè)量方法,利用F-P干涉的光譜相鄰波峰之間的波長差與腔長的關(guān)系來測(cè)量位移,但其需要寬帶光源,并且額外需要光譜儀等器件[6]；2005年,張彩妮提出了一種基于F-P干涉的角位移測(cè)量原理[7],利用角位移與干涉信號(hào)條紋數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系,來測(cè)量角位移,但是需要把初始入射角調(diào)至40°到50°之間。2014年,李春成,王鳴等人提出基于F-P腔干涉的強(qiáng)度解調(diào)微位移方法[8],可實(shí)現(xiàn)在λ/4范圍內(nèi),測(cè)量誤差小于1 nm,但是需要額外的相位調(diào)制,增加實(shí)驗(yàn)難度。在其他測(cè)量位移方法中,張恩政在2013年提出了一種基于數(shù)字頻率時(shí)鐘信號(hào)的上升條紋鎖定的外差干涉相位測(cè)量方法[9],但是需要解決外差干涉儀的非線性誤差；2016年,崔俊寧等人提出了一種新的零差正交干涉儀,可以大大抑制非線性誤差。然而,這種方法需要高度對(duì)稱的光學(xué)結(jié)構(gòu)來獲得兩束激光之間的平衡干涉[10]。

2 理論分析

2.1 F-P干涉原理

F-P腔是最方便的干涉配置,因?yàn)樗皇怯蓛蓚€(gè)典型的平行鏡面之間的空間形成,如圖1所示。

圖1 F-P干涉原理圖Fig.1 Schematic diagram of F-P interference

自由空間波長為λ的單色光波在兩個(gè)平行鏡面間形成F-P腔,光波在F-P腔內(nèi)往返出現(xiàn)了相位滯后現(xiàn)象,相位滯后為[11-12]

φ(t)=φ1-φ2=4πnL(t)cosθ/λ

=4πnL(t)/λ

(1)

其中,φ1和φ2是相應(yīng)兩鏡面的相位滯后;n是鏡面之間介質(zhì)的折射率;L(t)是鏡面間的距離;θ是入射角。如果腔內(nèi)為空氣(n=1)且入射光平行,這時(shí)θ=0。在雙波干涉儀上疊加信號(hào)的平面波近似干涉的幫助下[13-14],FP干涉得到的輸出功率P可以表示為:

P=A12+A22+2A1A2cos(φ1-φ2)

(2)

A1和A2是兩個(gè)鏡面反射信號(hào)的振幅。

馮一余和保安到臥室門口，就見里邊床上和衣躺著一個(gè)男的，一身酒氣，正打著震天響的呼嚕。馮一余嚇了一跳，說，喝了酒還敢開車？女主人立刻生氣說，你不要亂說啊，他是喝了酒，可車不是他開回來的，是他朋友替他開回來的。保安說，難怪停錯(cuò)了。兩個(gè)便上前叫那男的，卻叫不醒，推也推不醒，拉也拉不起來，醉成一攤泥了。

由公式(1),可推導(dǎo)出L(t)=φ(t)λ/4π

(3)

2.2 平方算法原理

通過直流阻隔和歸一化處理,由公式(1)和公式(2),干涉后的輸出功率P可以寫為:

P=cos(4πL(t)/λ)

(4)

這時(shí)P2可以寫為:

P2=cos(4πL(t)/λ)·cos(4πL(t)/λ)

=1/2cos(2·4πL(t)/λ)+1/2

(5)

為了不使加倍后的輸出功率引入新的常數(shù),公式(5)整體減1/2,得到1/2cos(2·4πL(t)/λ),此公式為條紋加倍的公式,圖2為平方算法流程圖。

圖2 平方算法流程圖Fig.2 Flow chart of the square algorithm

對(duì)于周期余弦函數(shù),如果目標(biāo)的最小位移能引起一個(gè)條紋變化,設(shè)為ΔL。公式(5)中的相位變化量Δφ可以寫為:

Δφ=2π=2·4πΔL/λ

(6)

因此,從公式(6)能得到ΔL=λ/4,條紋的精度在此時(shí)達(dá)到了λ/4,故條紋加倍。

當(dāng)經(jīng)過平方運(yùn)算后,由公式(5)可得,此時(shí)的φ(t)=2·4πL(t)/λ,故L(t)=φ(t)λ/8π。

為了驗(yàn)證該算法的有效性,進(jìn)行了如下仿真。圖3給出了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的仿真結(jié)果。在圖3中,激光波長為1550 nm,運(yùn)動(dòng)是驅(qū)動(dòng)頻率為100 Hz,零初始相位,振幅為1.55 μm,采樣頻率為400 kHz,采樣點(diǎn)4000個(gè)。

圖3(a)表示的是原始干涉條紋的圖像,由于振幅為1.55 μm,故峰峰值為3.1 μm,由半波長代表一個(gè)條紋,故初始條紋4條。圖3(b)展示了經(jīng)過平方算法后的圖像,初始參數(shù)與圖3(a)參數(shù)保持一致,由圖像可看出條紋增加到8條。故驗(yàn)證了其原理的有效性。

圖3 平方運(yùn)算仿真圖Fig.3 Simulation of square arithmetic

2.3 多重希爾伯特變換原理

希爾伯特變換的表達(dá)式為:

(7)

希爾伯特變換對(duì)原始干涉信號(hào)實(shí)現(xiàn)π/2的相移,當(dāng)進(jìn)行3次希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)3π/2的相移,則在數(shù)學(xué)上等價(jià)于實(shí)現(xiàn)-π/2相移,故可以總結(jié)為希爾伯特變換類似于π/2的移相器,即輸入一個(gè)正弦信號(hào)可得出余弦信號(hào),因此可以通過希爾伯特變換得到tan[φ(t)],然后通過相位展開得到φ(t)[15]。

圖4(a)展示了F-P干涉信號(hào)經(jīng)多重希爾伯特變換的信號(hào)與初始信號(hào),①的信號(hào)是初始的干涉信號(hào),②的是干涉信號(hào)經(jīng)多重希爾伯特變換后的信號(hào)。圖4(b)展示了包裹相位arctan(φ(t))。

圖4 仿真多重希爾伯特變換信號(hào)Fig.4 Simulates signals of multiple Hilbert transforms

2.4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證算法的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行如下的仿真。圖5和圖6分別展示了基于多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)和基于平方運(yùn)算和多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu),在圖5和圖6中,設(shè)置激光波長λ=1550 nm,物體運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)頻率為80 Hz,零初始相位,并且振幅為A=3.1 μm(A=2λ),采樣頻率為50000 Hz,采樣點(diǎn)為5000,圖5(a)表示的初始F-P干涉信號(hào),圖5(b)為F-P干涉信號(hào)經(jīng)多重希爾伯特變換后的信號(hào),圖5(c)①為原始物體振動(dòng)位移,②是經(jīng)該算法重構(gòu)出的振動(dòng)位移,圖5(d)顯示的為重構(gòu)出的位移與初始位移間的誤差。圖6(a)表示初始F-P干涉信號(hào),圖6(b)表示經(jīng)平方運(yùn)算后的干涉信號(hào),圖6(c)表示初始信號(hào)先經(jīng)平方運(yùn)算再通過多重希爾伯特變換后的信號(hào),圖6(d)和(e)表示的與圖5(c)和(d)表示的一致。對(duì)比圖5和圖6可知,基于平方運(yùn)算與多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)的精確度明顯高于基于多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)的精度。

圖5 基于多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)仿真圖Fig.5 Vibration reconstruction simulation basedon multiple Hilbert transforms

圖6 基于平方運(yùn)算與多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)仿真圖Fig.6 Vibration reconstruction simulation diagram basedon square operation and multiple Hilbert transform

3 測(cè)量實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為了進(jìn)一步證明所提方法的有效性,進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn),圖7為實(shí)驗(yàn)裝置。DFB激光器的波長為1550 nm,DFB激光器與耦合器相連,耦合器其中一個(gè)端口的光照射在一面鏡子上,其鏡子放在壓電陶瓷器(PZT)上做振動(dòng),另一個(gè)端口用于照射在外置PD,用于采集干涉信號(hào),通過數(shù)據(jù)采集模塊(USB-4431,NI)獲取電壓信號(hào),并在PC上進(jìn)行處理。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.7 Experimental setup diagram

首先,PZT控制的運(yùn)動(dòng)頻率5 Hz,振動(dòng)峰峰值為6.2 μm,采樣頻率為50 kHz,圖8(a)展示了實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào),圖8(b)展示了其干涉信號(hào)的多重希爾伯特變換后的信號(hào),圖8(c)①表示參考振動(dòng)信號(hào),②為重構(gòu)的信號(hào),圖8(d)顯示了重構(gòu)誤差。

圖8 基于多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)圖Fig.8 Vibration reconstruction experimentaldiagram based on multiple Hilbert transforms

接下來進(jìn)行基于平方運(yùn)算與多重希爾伯特變換的振動(dòng)測(cè)量,與圖8實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)相同,圖9(a)顯示了實(shí)驗(yàn)的干涉信號(hào),圖9(b)展示了其經(jīng)過平方算法后的信號(hào),圖9(c)顯示了平方運(yùn)算后的多重希爾伯特變換信號(hào),圖9(d)顯示了①的參考振動(dòng)信號(hào)以及②的振動(dòng)重構(gòu)信號(hào),圖9(e)顯示了重構(gòu)誤差。由圖9(d)所示,重構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的最大誤差為5.65 %,由圖9(e)所示,重構(gòu)的最大誤差為4.1 %。表1列出其他組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差比較。

圖9 基于平方運(yùn)算與多重希爾伯特變換的振動(dòng)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)圖Fig.9 Vibration reconstruction experimental diagram basedon square arithmetic and multiple Hilbert transforms

表1 兩種算法重構(gòu)振動(dòng)的誤差比較Tab.1 Comparison of the errors of the twoalgorithms in vibration reconstruction

4 結(jié) 論

本文提出了一種快速有效的微振動(dòng)重構(gòu)方法。先通過平方算法使F-P干涉條紋加倍,然后對(duì)反向點(diǎn)兩側(cè)的干涉條紋分別進(jìn)行一次和三次希爾伯特變換,重組出一組與加倍后信號(hào)相差π/2相位的信號(hào),然后重構(gòu)出物體的振動(dòng)。并且實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)簡單,不涉及任何復(fù)雜的計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:振動(dòng)測(cè)量精度在納米級(jí),相比于基于多重希爾伯特變換的振動(dòng)測(cè)量可降低誤差。