微積分思想和方法在大學物理教學中的應用和研究

黃 熙，饒 識，譚艷蓉，郭健勇，陳飛明，管 薇，胡中華，許明耀

(1. 武漢紡織大學 數(shù)理科學學院，湖北 武漢 430200；2. 湖北工業(yè)大學 理學院，湖北 武漢 430068)

0 引言

《大學物理》是大專院校理、工科學生必修的一門全校公共基礎課程，通過該課程的學習，可以使學生掌握基本的物理概念、物理思想、物理方法以及提高分析問題、解決問題的能力。學習《大學物理》[1～4]要借助于《高等數(shù)學》中的矢量分析、導數(shù)和微積分的運用等內(nèi)容[5,6]，所以在教學計劃中該課程一般是安排在大一下學期和大二上學期，學生先要修完《高等數(shù)學》。然而，正是由于學生掌握高等數(shù)學的基礎不扎實，沒有真正理解導數(shù)、微積分的意義，導致學生在學習《大學物理》信心不足甚至有畏難情緒。當然，《大學物理》掛科率高除了上述談到的客觀原因外與學生自身的主觀原因也是密切相關，其詳細原因以及應對的措施可以參考文獻[7]。本文重點探討微積分在大學物理中的應用，包括極限思想、微元、積分方向、標量和矢量求導、標量和矢量積分、微積分方法、導數(shù)和積分的幾何意義等方面。

1 微積分在大學物理中的應用

《微積分》是十七世紀由英國科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別獨自創(chuàng)立的，牛頓是從運動學角度研究微積分，而萊布尼茨側重于幾何學來考慮的。利用微積分來處理運動學和幾何學的問題，歸納起來有以下四類：第一類問題是研究運動學時求瞬時物理量，比如瞬時速度、瞬時加速度等；第二類問題是求曲線的切線；第三類問題是求函數(shù)的極值，比如極大值和極小值；第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積和體積、物體的重心等。下面，我們具體討論微積分在大學物理中的應用。

1.1 極限思想

(a) (b)

1.2 微元

(a) (b)

1.3 積分方向

1.4 標量和矢量求導、標量和矢量積分

例題1：如圖3所示，正電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上。計算通過環(huán)心點O并垂直圓環(huán)平面的軸線上任一點P處的電場強度。

圖3 例題1

根據(jù)幾何關系，可得

1.5 常見的微積分方法

在《大學物理》所用到常見的微積分方法簡單地總結一下有：以直代曲法、分離變量法和積分常量提出法等[8]。以直代曲法的核心思想就是極限思想，在求變力做功、在非均勻電(磁)場穿過形狀任意曲面的電(磁)通量、形狀任意的載流導線在非均勻磁場所受的安培力等都有應用。舉一個大家比較容易理解的例子——求曲邊梯形面積：把曲邊梯形分割成許多要有多小就有多小的矩形，對所有矩形的面積求和即曲邊梯形的面積。

圖4 例題2

解：由小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律，列出分量式

FT-mgcosθ=man

(1)

-mgsinθ=mat

(2)

FT-mgcosθ=mν2/l

(3)

(4)

對(4)式直接分離變量求解，計算不出速率ν，必須將積分變量進行轉換，即

分離變量，方程兩邊同時取定積分，有

求得

(5)

圖5 重力做功示意圖

1.6 導數(shù)和積分的幾何意義

2 結束語

以上我們總結了導數(shù)、微積分在大學物理中的應用，包括極限思想、微元、積分方向、標量和矢量的求導和積分、微積分方法和導數(shù)、積分的幾何意義。通過探討導數(shù)、微積分在大學物理中的應用，可以使學生、教師對導數(shù)、微積分的物理和幾何意義有更深入地理解和掌握。教學質(zhì)量是教學的生命線，只有掌握好導數(shù)、微積分等基本應用，才能進一步提高大學物理教學質(zhì)量[9]。當然，導數(shù)和微積分作為《高等數(shù)學》的基本知識點在其他學科也有很多方面的應用，所以把握好導數(shù)和微積分對于學習其他學科可以起到事半功倍的效果。