具有時(shí)滯和單反饋控制變量的偏利合作系統(tǒng)的Hopf分支

王月月，呂堂紅，周林華

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院，吉林 長春130022)

0 引 言

偏利共生關(guān)系在生態(tài)學(xué)中描述的是對一方有利而對另一方既無利也無害的共生類型. 例如，蘭花依附在喬木枝干的表面，使自己更易獲得陽光和空氣中的水分，而對喬木本身卻無影響. 雖然這種生物現(xiàn)象很常見，但是直到2003年，孫廣才等[1]才根據(jù)Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)提出了針對偏利共生的生物模型，隨后，祝占法等[2]提出了一方不能獨(dú)立生存的兩種群偏利合作模型，分析了污染中偏利共生的兩種群持續(xù)生存與絕滅的閾值.

生態(tài)系統(tǒng)不斷受到不可預(yù)測的力量干擾，這會導(dǎo)致某些生物參數(shù)發(fā)生改變，如存活率[3]. 為了更準(zhǔn)確地描述這種干擾，學(xué)者們引入了反饋控制變量，文獻(xiàn)[4-9]討論了具有反饋控制變量的系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì). 2018年，楊英鐘等[10]研究了具反饋控制的一方不能獨(dú)立生存的偏利合作系統(tǒng)

(1)

式中：bi,aij,η,fi(i,j=1,2)均為正常數(shù).xi(i=1,2)表示種群在t時(shí)刻的生長密度，ui(i=1,2)表示反饋控制變量，b1,b2表示種群x1,x2的內(nèi)稟增長率，aii(i=1,2)表示兩種群的密度制約系數(shù).研究結(jié)果表明，不適當(dāng)?shù)姆答伩刂谱兞繉?dǎo)致系統(tǒng)中不能獨(dú)立生存的種群x1絕滅.

在自然界中一種控制策略會對多個(gè)物種產(chǎn)生影響. 例如，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，噴灑農(nóng)藥可以減少雜草的數(shù)量，但同時(shí)也對農(nóng)作物或相關(guān)動物的生長產(chǎn)生負(fù)面影響. 2015年，韓榮玉等[11]討論了具有單反饋控制變量的Lotka-Volterr合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析得到在適當(dāng)限制反饋控制變量系數(shù)的情況下，系統(tǒng)仍然可以保持全局穩(wěn)定或滅絕. 注意到，對于加入反饋控制變量后的模型，學(xué)者們研究的多是反饋控制變量對于系統(tǒng)穩(wěn)定性、 持久性、 絕滅性等的影響，而并沒有考慮在模型中加入時(shí)滯項(xiàng)，并證明其分支存在性以及研究其分支周期解穩(wěn)定性的研究成果. 因此，筆者在模型(1)的基礎(chǔ)上，考慮單反饋控制變量對于偏利合作系統(tǒng)的影響，同時(shí)引入種群x2的妊娠時(shí)滯τ，提出具有單反饋控制變量和時(shí)滯的偏利合作系統(tǒng)

(2)

式中：τ表示種群x2的妊娠期；u表示反饋控制變量；其他參數(shù)意義同模型(1).

1 局部穩(wěn)定性和Hopf分支

(3)

因此，有

于是，當(dāng)

(H1)：a12η>a1f2;b2(a12η-a1f2)>b1(a22·η+a2f2)成立時(shí)，系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點(diǎn).

系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*處的Jacobi矩陣為

(4)

其中

P32=f2,P33=-η.

于是，系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*處的特征方程為

λ3+P1λ2+P2λ+P3+P4e-λτ=0,

(5)

其中

P1=-(P11+P22+P33);

P2=P11P22+P11P33+P22P33-P13P31-P23P32;

P3=P13P22P31+P11P23P32-P11P22P33;

當(dāng)τ=0時(shí)，式(5)變?yōu)?/p>

λ3+P1λ2+P2λ+P3+P4=0.

(6)

又因?yàn)镻1>0,假設(shè)

(H2)P3+P4>0；

(H3)P1P2>P3+P4.

由Hurwitz判據(jù)知，方程(6)的所有根均具有負(fù)實(shí)部.

當(dāng)τ≠0時(shí)，令λ=iω(ω>0)為(5)的一個(gè)根，分離實(shí)部與虛部，有

(7)

兩邊同時(shí)平方相加得到

(8)

令v=ω2，則式(8)變?yōu)?/p>

v3+m1v2+m2v+m3=0,

(9)

引理1對于式(9)，有如下結(jié)果：

k=1,2,3;i=0,1,2,….

(10)

經(jīng)計(jì)算有

(11)

假設(shè)

(H6)f′(v)≠0.

由上述討論，可得以下結(jié)論：

定理1對于系統(tǒng)(2)，如果(H1)～(H3)成立，則有

1) 若滿足(H4)，則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，則E*(x*,y*,u*)是局部漸近穩(wěn)定的；

2) 若滿足(H5)和(H6)，則當(dāng)τ>τ0時(shí)，E*(x*,y*,u*)是不穩(wěn)定的；當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(2)在E*(x*,y*,u*)處產(chǎn)生Hopf分支.

2 局部Hopf分支方向及其穩(wěn)定性

下面研究在τ≠0條件下，運(yùn)用Hassard[12]的中心流形定理和規(guī)范型方法，得到?jīng)Q定系統(tǒng)(2)的Hopf分支性質(zhì)的表達(dá)式.

令u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈R3，u1(t)=x1(τt)，u2(t)=x2(τt)，u3(t)=u(τt)，τ=τ0+μ,μ∈R，則系統(tǒng)(2)在C=C([-1,0],R3)上變?yōu)橐话愕姆汉⒎址匠?/p>

(12)

(13)

F(μ,φ)=(τ0+μ)(F1(μ,φ),F2(μ,φ),F3(μ,φ))T,

(14)

因此，由Riesz表示定理，能找到一個(gè)有界變差的三階矩陣

η(θ,μ)∶[-1,0]→R3，

使得

這里

其中，δ(θ)是Dirac-delta函數(shù).

對于φ∈C1([-1,0],R3)，定義

于是，系統(tǒng)(12)可改寫為

(15)

式中：u=(u1,u2,u3);ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-1,0].

對于ψ∈C1([-1,0],(R3)*)，定義A=A(0)的伴隨算子A*為

和一個(gè)雙線性型

θ)dη(θ)φ(ξ)dξ.

設(shè)A和A*對應(yīng)于特征根iω0τ0與-iω0τ0的特征向量分別為q(θ)和q*(s). 于是

A(0)q(θ)=iω0τ0q(θ)，

A*(0)q*(s)=-iω0τ0q*(s).

通過計(jì)算，可以得到

這里

下面計(jì)算在μ=0處的中心流形C0，令Xt為μ=0時(shí)，方程(15)的解. 定義

z(t)=〈q*,Xt〉，W(t,θ)=Xt(θ)-2Rez(t)q(θ).

(16)

在中心流形C0上，有

(17)

記

其中

(18)

由(16)和(17)得到

Xt(θ)=W(t,θ)+2Re{z(t)q(θ)}=

綜合(14)得到

與式(18)比較系數(shù)，得到

為了確定g21，下面計(jì)算W20(θ),W11(θ). 由式(15)和式(16)得到

(19)

其中

(20)

結(jié)合式(16)和式(17)，將式(20)代入到式(19)中，比較系數(shù)，得到

(2iω0τ0-A)W20(θ)=H20(θ),

-AW11(θ)=H11(θ).

由式(19)易知，當(dāng)θ∈[-1,0)時(shí)

(21)

比較式(20)和式(21)，有

(22)

(23)

因此，

類似地，有

因此，可以得到

(24)

(25)

式中：C1(0)由式(24)給出，易得出μ2，β2，T2的值.因此，有

定理2當(dāng)τ=τ0時(shí)，式(25)的各個(gè)表達(dá)式?jīng)Q定了分支周期解在中心流形上的性質(zhì)，因此，得出下面的結(jié)論：

1)μ2確定Hopf分支的方向.如果μ2>0(μ2<0)，則分支周期解為前向(后向)；

2)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性.如果β2<0(β2>0)，則分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)；

3)T2確定分支周期解的周期.如果T2>0(T2<0)，則分支周期解的周期增大(減小).

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證上面分析所得的理論結(jié)果，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，考慮以下系統(tǒng)

(26)

不難驗(yàn)證(H1)～(H3)、 (H5)～(H6)成立，此時(shí)得到系統(tǒng)(26)的正平衡點(diǎn)為

E*(0.2245,0.6649,1.3362).

通過計(jì)算得到ω0≈0.363 3，τ0≈5.126 7，C1(0)≈-0.150 5-0.857 0i，μ2≈0.072 9>0，β2≈-0.301 0<0，T2≈12.154 3>0.

當(dāng)τ=4.8<τ0≈5.126 7時(shí)，由圖1 可知，系統(tǒng)(26)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)τ=5.8>τ0≈5.126 7時(shí)，由圖2 可知，系統(tǒng)(26)的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的.由定理 2 可知，關(guān)于τ>τ0時(shí)的Hopf分支是前向分支，分支周期解是穩(wěn)定的且其周期增加.

(a) 種群x1的波圖

(b) 種群x2的波圖

(c) 反饋控制變量u的波圖

(d) 系統(tǒng)(26)的相圖

(a) 種群x1的波圖

(b) 種群x2的波圖

(c) 反饋控制變量u的波圖

(d) 系統(tǒng)(26)的相圖

4 結(jié) 論

本文研究了一類具有時(shí)滯和單反饋控制變量的偏利合作系統(tǒng)的動力學(xué)行為，考慮了種群x2的妊娠期時(shí)滯以及單反饋控制變量對偏利合作系統(tǒng)的種群密度的影響. 研究結(jié)果表明，時(shí)滯變化對具有單反饋控制變量的偏利合作系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，當(dāng)分支數(shù)值在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；而當(dāng)時(shí)滯超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，且發(fā)生Hopf分支并產(chǎn)生周期解.