二自由度自抗擾控制的整定方法

陳宗祥，張武林，陳克難，熊 宣

(安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽馬鞍山 243032)

在韓京清提出自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)的初期，ADRC 方法就與比例積分微分(proportional integral derivative，PID)控制存在著千絲萬縷的聯(lián)系。ADRC 的核心機(jī)制如跟蹤微分器(tracking differentiator，TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)、狀態(tài)誤差反饋環(huán)節(jié)(state error feedback，SEF)等都是通過特殊的非線性函數(shù)構(gòu)造的，難以對(duì)其進(jìn)行理論分析。之后，Gao提出了線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection control，LADRC)，將自抗擾控制線性化，使得經(jīng)典控制理論的分析方法得到應(yīng)用，但并未給出控制器參數(shù)的定量設(shè)計(jì)方法。鑒于此，自抗擾參數(shù)的整定問題成為熱點(diǎn)，學(xué)界、業(yè)界對(duì)其展開了大量研究。傅彩芬等通過先設(shè)計(jì)一個(gè)

H

回路成型控制器獲得ADRC 參數(shù)初始值，但對(duì)于不熟悉回路成型的工程控制人員不夠便捷；馬星河等通過人工蜂群算法實(shí)現(xiàn)ADRC 參數(shù)的自整定，取得了優(yōu)良的控制效果，但其整定參數(shù)時(shí)難以給出各參數(shù)的搜索范圍與搜索初值，盲目給出一個(gè)較大的搜索空間會(huì)極大延長參數(shù)整定所需時(shí)間；Jin 等將二階LADRC 等效為二自由度PID，其環(huán)內(nèi)控制器等效為PID 控制器串聯(lián)二階低通濾波器，通過設(shè)計(jì)PID控制器和濾波器獲取ADRC的初始參數(shù)，但主要考慮二階LADRC；韓文杰等通過推導(dǎo)LADRC 的積分作用與擾動(dòng)、補(bǔ)償之間的關(guān)系，得出LADRC 與PID 控制器能相互近似轉(zhuǎn)化，且在低階時(shí)具有良好的魯棒性；邵立偉等將ADRC 應(yīng)用在電機(jī)控制系統(tǒng)，結(jié)合時(shí)間尺度與自抗擾控制參數(shù)的關(guān)系，提出了一種新的參數(shù)整定方法，使參數(shù)整定更容易；Qing等、Zhang等利用改進(jìn)的混沌量子粒子群優(yōu)化算法對(duì)LADRC進(jìn)行參數(shù)整定，克服了模型不確定的影響，獲得了較強(qiáng)的魯棒性與適應(yīng)性。

電力電子變換器是一類強(qiáng)非線性系統(tǒng)，存在輸入電壓與負(fù)載等系列的外部擾動(dòng)，變換器的自身參數(shù)也往往由于生產(chǎn)工藝、系統(tǒng)溫升等存在不確定性。ADRC 能夠有效抑制系統(tǒng)的外擾、內(nèi)擾并對(duì)其進(jìn)行正確補(bǔ)償，因此ADRC在電力電子變換器控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。王孝洪等將ADRC應(yīng)用到全橋變換器的電壓外環(huán)上，減小了負(fù)載變化時(shí)輸出電壓的超調(diào)量，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；楊惠等將ADRC 應(yīng)用到光伏儲(chǔ)能變換器的充放電內(nèi)環(huán)中，使變換器能夠有效抑制直流母線電壓波動(dòng)；Guerrero 等基于廣義比例積分觀測(cè)器ADRC 的思想，研究了均流分布的并聯(lián)Buck 變換器驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)的控制器，該控制器能有效抵消級(jí)聯(lián)變換器與電機(jī)引起的擾動(dòng)，最終在實(shí)現(xiàn)均流的情況下，使電動(dòng)機(jī)的角速度能跟蹤期望值；Su 等將ADRC 應(yīng)用到單相級(jí)聯(lián)H橋整流器上，通過改進(jìn)的連續(xù)性非線性函數(shù)抑制傳統(tǒng)ADRC抖動(dòng)問題，也能獲得較好的動(dòng)態(tài)性能與抗干擾能力；Khan等提出了五電平T型混合功率變換器的魯棒控制策略，通過外部滑模控制與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器相結(jié)合的形式，動(dòng)態(tài)計(jì)算出內(nèi)部電流跟蹤控制器的輸入，改善了系統(tǒng)不確定時(shí)的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能，但主電路拓?fù)浼翱刂齐娐份^復(fù)雜。為綜合改善LADRC 參數(shù)沒有定量計(jì)算方法的問題，針對(duì)一階LADRC 的等效二自由度系統(tǒng)，基于等效PI 控制器、濾波器的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出一種LADRC 參數(shù)確定方法，且將所提方法應(yīng)用到Buck變換器的串級(jí)控制上，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性。

1 一階LADRC的等效二自由度系統(tǒng)及其參數(shù)等效方法

考慮以下一階系統(tǒng)

其中：

d

為外部擾動(dòng)；

b

為控制量的增益；

t

為時(shí)間；

f

(

y

,

d

,

t

)為系統(tǒng)內(nèi)未知時(shí)變動(dòng)態(tài)與外擾的綜合特性；

y

，

u

分別為系統(tǒng)的輸出和輸入。多數(shù)情況，

b

的精確值不易獲取，可認(rèn)為

b

部分已知，已知部分為

b

。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)?p>

其中

ω

=

f

(

y

,

d

,

t

) +(

b

-

b

)

u

，為擴(kuò)張狀態(tài)，即為需要估計(jì)的總擾動(dòng)。引入狀態(tài)變量

x

=

y

,

x

=

ω

，則式(2)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

為估計(jì)

x

,x

，設(shè)計(jì)二階線性擴(kuò)張觀測(cè)器(linear extended state observer，LESO)，如

其中：

β

,β

為兩個(gè)可調(diào)的觀測(cè)器增益；

z

?,

z

?為

x

?,

x

?的估計(jì)；

z

,

z

為觀測(cè)器的狀態(tài)變量。將LESO觀測(cè)所得總擾動(dòng)實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)娇刂屏?，可把控制律設(shè)置為

其中：

k

為控制器唯一可調(diào)參數(shù)；

r

為系統(tǒng)輸出的給定值。若觀測(cè)器增益經(jīng)良好整定，則

z

→

y

,

z

→

ω

。將式(5)代入式(2)，可發(fā)現(xiàn)經(jīng)過LADRC補(bǔ)償?shù)囊浑A系統(tǒng)被簡(jiǎn)化為一單積分器，通過比例控制就可達(dá)到良好的控制效果。

其中

u

=

k

(

r

-

y

)。考慮到觀測(cè)器的估計(jì)能力，其輸出跟蹤輸入有一個(gè)過渡過程。故還需考慮觀測(cè)器的傳遞函數(shù)，將式(5)代入式(4)，觀測(cè)器的輸入變成

y

,

r

，重寫觀測(cè)器方程

可將式(5)和式(7)兩式看作一個(gè)以

y,r

為輸入，

u

為輸出的雙輸入單輸出線性系統(tǒng)。為求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，寫出式(1)的傳遞函數(shù)矩陣

再將式(8)代入式(5)，使用線性系統(tǒng)的疊加定理即可分別求得從

r

和

y

到

u

的傳遞函數(shù)。

通過式(9)可將LADRC等效成一個(gè)如圖1所示的二自由度控制器。其中：

圖1 LADRC的等效二自由度控制框圖Fig.1 Equivalent 2-DOF control block diagram of LADRC

實(shí)際上，環(huán)內(nèi)控制器

C

(

s

)等效于一階低通濾波器與PI控制器串聯(lián)，即

可解得等效關(guān)系為：

其中：

k

'

,k

'為等效系數(shù)，需求解的控制器參數(shù)為

β

,β

,k

。對(duì)式(12)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，可得關(guān)于

β

的一元三次方程

其中

l

= -

k

'

b

;

l

=

k

'

Tb

;

l

= -(

k

'

b

)。通過式(13)解得

β

，即可依次獲得

β

，

k

的值。故只要設(shè)計(jì)PI控制器與低通濾波器即可獲得等效的LADRC 參數(shù)。相較直接使用PI 控制器，LADRC 的給定經(jīng)前置濾波器柔化，在給定量

r

突變的情況下，不易出現(xiàn)控制器深度飽和現(xiàn)象。此外，LADRC 相當(dāng)于反饋回路額外加入一個(gè)低通濾波器，更能有效地處理輸出反饋中引入的高頻干擾。

2 Buck變換器的自抗擾PI串級(jí)控制器設(shè)計(jì)

2.1 Buck變換器的數(shù)學(xué)模型

圖2 為典型Buck 變換器主電路拓?fù)洹Ｆ渲邪斎腚妷?p>U

、輸出電壓

U

、全控型開關(guān)管VT、電感

L

、電容

C

、續(xù)流二極管VD1 和負(fù)載電阻

R

。為使開關(guān)管VT 工作在開關(guān)狀態(tài)，在VT 控制端施加周期一定、占空比可調(diào)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)

U

。其中：

i,i

分別為電感和開關(guān)管的電流；

i

為負(fù)載電流。

圖2 Buck變換器拓?fù)銯ig.2 Buck converter topology

通過狀態(tài)空間平均法對(duì)Buck 變換器進(jìn)行小信號(hào)建模，可得其輸出電壓環(huán)路與電感電流環(huán)路的傳遞函數(shù)：

其中

d

(

s

)為控制量。

2.2 LADRC控制器設(shè)計(jì)方法

采用圖3所示的控制器結(jié)構(gòu)，電流內(nèi)環(huán)為PI控制器，電壓外環(huán)為一階LADRC控制器。

圖3 變換器控制結(jié)構(gòu)Fig.3 Converter control structure

其中：

c

=

K

RU

；

c

=

K

RU

；

a

=

LRC

；

a

=

L

+

CK

RU

；

a

=

R

+

K

U

+

CK

RU

；

a

=

K

U

。求解電壓環(huán)參數(shù)需確定如下參數(shù)：電壓環(huán)的比例積分常數(shù)

K

，

K

；電壓環(huán)低通濾波器時(shí)間常數(shù)

T

；電壓環(huán)控制量增益

b

。

K

，

K

確定方法與電流環(huán)類似，不再贅述。LADRC中的等效一階低通濾波器設(shè)計(jì)主要有如下約束：變換器的實(shí)際有效帶寬不會(huì)超過1/2開關(guān)頻率，為保證有效信號(hào)幅值不被衰減，相位無滯后，可將濾波器的截止頻率設(shè)置成比1/2 開關(guān)頻率略大。為確定電壓環(huán)控制量增益

b

，在自抗擾的范式下，將傳遞函數(shù)變?yōu)槲⒎址匠毯髮?duì)兩端進(jìn)行積分，式(16)中系統(tǒng)可視為如式(17)所示的一階系統(tǒng)。

初步確定

b

=

c

/

a

，在此基礎(chǔ)上根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)速度對(duì)

b

進(jìn)一步調(diào)整。

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提LADRC 參數(shù)整定方法的有效性，以控制對(duì)象模型為基準(zhǔn)選定

b

的初值，在此基礎(chǔ)上調(diào)整

b

，求解多組LADRC 參數(shù)。將設(shè)計(jì)的LADRC 參數(shù)應(yīng)用在Buck變換器上，利用MATLAB/Simulink平臺(tái)對(duì)該控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。其中Buck變換器的輸入電壓

U

= 12 V，輸出電壓

U

= 2.5 V、電感

L

= 15 μH、電容

C

= 200 μF、最小負(fù)載電阻

R

= 0.25 Ω、最大負(fù)載電阻

R

= 0.5 Ω、開關(guān)頻率

f

= 100 kHz。

將變換器電流環(huán)、電壓環(huán)的穿越頻率分別設(shè)置為30，6 kHz，求得兩個(gè)環(huán)路的比例積分常數(shù)分別為：

根據(jù)上節(jié)描述的等效一階低通濾波器設(shè)計(jì)方法，將截止頻率設(shè)置為70 kHz，求得濾波器時(shí)間常數(shù)

T

=2.268×10。將Buck 變換器參數(shù)代入式(17)可求得

b

= 4 330，將其作為調(diào)節(jié)

b

時(shí)的初值。一階LADRC 與PI 控制器補(bǔ)償后的系統(tǒng)波特圖如圖4。從圖4可看到：系統(tǒng)的低頻段與中頻段，幅值增益曲線幾乎重合，在穿越頻率處以-20 dB 的斜率穿越0 dB 線，故PI 和一階LADRC 有類似的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能；高頻段，一階LADRC 以-40 dB 的斜率衰減，一階LADRC 的等效串聯(lián)一階低通濾波器帶來了額外的幅值衰減，與前文的分析相符。

圖4 LADRC與PI控制器補(bǔ)償后的系統(tǒng)波特圖Fig.4 Bode diagram of system compensated by LADRC and PI controller

一階LADRC的時(shí)域響應(yīng)波形如圖5。由圖5可看出：應(yīng)用式整定的LADRC 參數(shù)，啟動(dòng)過程中出現(xiàn)較大振蕩；逐漸增大

b

，

b

= 17 800 時(shí)，啟動(dòng)過程振蕩程度減小，

b

= 21200時(shí)，得到快速無超調(diào)的啟動(dòng)過程；值得注意的是，3 組LADRC 參數(shù)在頻域上是等效的，其時(shí)域響應(yīng)不同，這是由于變換器的輸出電流不能無限增大，在電流環(huán)中加入了限幅環(huán)節(jié)；飽和非線性的存在使3組相同頻域特性的參數(shù)時(shí)域響應(yīng)不同，較小的

b

意味著LADRC 輸出時(shí)控制量經(jīng)過較小的衰減，在啟動(dòng)過程中易使電流內(nèi)環(huán)PI 控制量飽和。3組LADRC參數(shù)如表1。

表1 不同b0 下的LADRC參數(shù)Tab.1 LADRC parameters under different b0 conditions

圖5 不同條件下變換器的啟動(dòng)過程Fig.5 Starting process of converters under different conditions

圖6 為負(fù)載跳變時(shí)變換器輸出電壓的波形。由圖6 可看出：在2 000 μs 時(shí)變換器所帶負(fù)載由5 A 向10 A 跳變，輸出電壓跌落340 mV，經(jīng)過約110 μs 回到穩(wěn)態(tài)(即11 個(gè)開關(guān)周期)；在2 500 μs 時(shí)所帶負(fù)載由10 A 向5 A 跳變，輸出電壓過沖380 mV，經(jīng)過約100 μs 回到穩(wěn)態(tài)(10 個(gè)開關(guān)周期)。由此表明，本文所提方法整定的LADRC 參數(shù)具備良好的抗擾性能。從時(shí)域上看，采用不同

b

整定的一階LADRC具有類似的暫態(tài)性能。

圖6 不同條件下電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程Fig.6 Voltage dynamic response process under different conditions

完成LADRC 的整定后，將等效PI 控制器與之進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7，8。由圖7可看出，LADRC 的啟動(dòng)性能優(yōu)于PI 控制器。根據(jù)上節(jié)理論推導(dǎo)，一階LADRC 可等效為二自由度PI 控制器，其給定經(jīng)過前置濾波器柔化，可解釋其在啟動(dòng)過程中的優(yōu)勢(shì)。由圖8 可看出，兩種控制器具有類似的暫態(tài)性能，超調(diào)量與恢復(fù)時(shí)間較為接近，驗(yàn)證了前文頻域分析所得結(jié)果。

圖7 LADRC與PI控制器的啟動(dòng)過程Fig.7 Starting process of LADRC and PI controller

圖8 LADRC與PI控制器電壓暫態(tài)響應(yīng)過程Fig.8 Voltage transient response process of LADRC and PI controller

4 實(shí)驗(yàn)分析

搭建實(shí)驗(yàn)樣機(jī)對(duì)所提整定方法進(jìn)行驗(yàn)證，Buck變換器樣機(jī)參數(shù)與仿真參數(shù)保持一致。圖9為基于DSP28377 的Buck 變換器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并對(duì)其各部分功能進(jìn)行標(biāo)注。

圖9 基于DSP的Buck實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.9 Buck experimental platform based on DSP

4.1 啟動(dòng)過程

LADRC 控制器與PI 控制器在啟動(dòng)過程輸出電壓波形如圖10。圖中從上到下依次是PWM 信號(hào)，輸出電壓

U

。

圖10 PI與LADRC控制下變換器啟動(dòng)過程Fig.10 Starting process of converter under the control of LADRC and PI

由圖10 可看出：超調(diào)量方面，PI 控制下輸出電壓超調(diào)量為1.5 V，LADRC 控制下輸出電壓超調(diào)量為0.1 V，LADRC 在啟動(dòng)過程中超調(diào)較?。豁憫?yīng)時(shí)間方面，PI 控制下輸出電壓在啟動(dòng)后500 μs 進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，LADRC控制下啟動(dòng)時(shí)間縮短到260 μs，LADRC在啟動(dòng)過程中瞬態(tài)過程更短。

4.2 負(fù)載跳變過程

LADRC 與PI控制下的加載跳變過程如圖11。由圖11可看出，負(fù)載由5 A 跳變至10 A 的過程中，PI控制下變換器輸出電壓需200 μs 恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，LADRC 控制下只需100 μs。LADRC 與PI 控制下的減載跳變過程如圖12。由圖12 可看出，負(fù)載由10 A 跳變至5 A 的過程中，PI 控制下變換器輸出電壓需150 μs 恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，LADRC控制下僅需100 μs，故加減載過程中LADRC均表現(xiàn)出更強(qiáng)的快速性。

圖11 PI與LADRC控制下5 A→10 A波形Fig.11 5 A →10 A waveform under the control of PI and LADRC

圖12 PI與LADRC控制下10 A→5 A波形Fig.12 10 A→5 A waveform under the control of PI and LADRC

綜上可看出，實(shí)驗(yàn)波形與仿真波形略有不同，實(shí)驗(yàn)中PI 控制下系統(tǒng)的暫態(tài)過程較LADRC 慢。究其原因：實(shí)驗(yàn)中使用的元器件存在諸多非理想因素，如器件容差、電感、電容都會(huì)與仿真環(huán)境存在差別；對(duì)電感電流和輸出電壓的采樣易在控制系統(tǒng)中引入高頻噪聲，LADRC 控制器對(duì)高頻噪聲的抑制能力更強(qiáng)，在實(shí)際中應(yīng)用中表現(xiàn)更佳。

5 結(jié) 論

將一階LADRC 等效為二自由度控制器，得出其等效二自由度系統(tǒng)的環(huán)內(nèi)控制器與PI 控制器存在等價(jià)關(guān)系，提出通過設(shè)計(jì)PI參數(shù)快速對(duì)LADRC控制器進(jìn)行整定的方法，將所提整定方法應(yīng)用到電力電子領(lǐng)域最常用的Buck 變換器上。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提整定方法可有效將PI 參數(shù)轉(zhuǎn)換為LADRC 參數(shù)，系統(tǒng)的啟動(dòng)性能與暫態(tài)性能均較PI 控制下更佳，啟動(dòng)過程調(diào)節(jié)時(shí)間減少240 μs，超調(diào)量減小56%；加載過程調(diào)節(jié)時(shí)間減少100 μs，超調(diào)量減小1.2%；減載過程調(diào)節(jié)時(shí)間減少50 μs。