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    基于“金課”理念下高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革探索

    2021-09-07 10:30:59譚雪梅
    科技風(fēng) 2021年19期
    關(guān)鍵詞:泰勒公式極限金課

    譚雪梅

    關(guān)鍵詞:金課;泰勒公式;極限

    陳寶生部長(zhǎng)在2018年召開(kāi)的新時(shí)代中國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議上第一次提出“金課”,明確指出:大學(xué)生要有效“增負(fù)”,講有深度、有難度、有挑戰(zhàn)度的“金課”。高等數(shù)學(xué)作為各大高校理工類的公共必修課之一,在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及考研過(guò)程中占有重要的地位。高等數(shù)學(xué)這門課程的研究對(duì)象是函數(shù),研究方法是極限,因此能夠熟練地掌握極限的計(jì)算方法顯得至關(guān)重要。泰勒公式內(nèi)容比較抽象,形式也比較特殊,學(xué)生一般較難吃透泰勒公式的實(shí)質(zhì),更難掌握對(duì)此公式的靈活運(yùn)用。因此,泰勒公式教學(xué)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程及應(yīng)用中的一個(gè)難點(diǎn)。為了使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用泰勒公式求極限,本文結(jié)合作者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),旨在金課理念下以泰勒公式的教學(xué)及在求極限過(guò)程中的應(yīng)用為例,探討高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革。

    一、提出問(wèn)題

    在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,我們總是要求學(xué)生用所學(xué)的已知的知識(shí)點(diǎn)來(lái)求未知的知識(shí)點(diǎn),達(dá)到能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的。對(duì)函數(shù)的研究也是一樣,我們希望用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示復(fù)雜的函數(shù),在我們所學(xué)的函數(shù)中,多項(xiàng)式函數(shù)具有形式簡(jiǎn)單,易于理解和易于計(jì)算等這些優(yōu)點(diǎn)。因此文章首先給出泰勒公式研究的主要問(wèn)題,是將復(fù)雜的函數(shù)如何用多項(xiàng)式近似的表示出來(lái),水到渠成就成為我們著重考慮的問(wèn)題,后續(xù)以及如何運(yùn)用該公式來(lái)求極限,對(duì)于這些問(wèn)題的回答,就是我們今天要介紹的泰勒公式。

    二、解決問(wèn)題

    高等數(shù)學(xué)是大一新生的一門公共必修課程,大多數(shù)學(xué)生認(rèn)知能力和邏輯思維能力都還停留在高中階段,他們?cè)趧傞_(kāi)始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí),腦海中還沒(méi)有清晰的連續(xù)、逼近等概念。其實(shí),利用多項(xiàng)式近似表示給定的某一函數(shù)的思想,在函數(shù)的連續(xù)和微分的學(xué)習(xí)中就有體現(xiàn)。

    通過(guò)觀察圖形,我們可以得到,具有相同切線的多項(xiàng)式比只有交點(diǎn)的多項(xiàng)式逼近效果要好,也就是說(shuō)一次多項(xiàng)式比零次多項(xiàng)式近似效果要好。那么自然地就會(huì)想到,多項(xiàng)式的次數(shù)越高,逼近函數(shù)的效果是否會(huì)越好?我們通過(guò)圖2來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題,此圖是利用多項(xiàng)式來(lái)逼近正弦函數(shù)的效果。

    在這個(gè)圖形中,發(fā)現(xiàn)有一次,三次,五次及七次多項(xiàng)式,結(jié)論是在這些多項(xiàng)式中,用七次多項(xiàng)式來(lái)逼近正弦函數(shù)的效果更好。那么關(guān)鍵問(wèn)題是如何求得這樣的多項(xiàng)式呢?于是引入泰勒中值定理如下:

    定理:如果函數(shù)(x)在‰處具有n階導(dǎo)數(shù),那么存在‰的一個(gè)鄰域,對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意x,有:

    三、應(yīng)用

    利用泰勒公式來(lái)求極限時(shí),大多數(shù)學(xué)生遇到的困難是不太確定函數(shù)展開(kāi)的階數(shù)。我們需要注意極限的形式,然后根據(jù)題目的形式來(lái)確定泰勒公式展開(kāi)的階數(shù)。這里,我將分成三種情況來(lái)舉例學(xué)習(xí):

    四、總結(jié)

    在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往需要有限、無(wú)限的相互轉(zhuǎn)換,在解決某些復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),往往是事半功倍的效果,這也對(duì)泰勒公式的存在具有重要意義。在實(shí)踐教學(xué)過(guò)程中,通過(guò)例子探討了泰勒公式在求極限時(shí)的應(yīng)用,讓學(xué)生體會(huì)到了泰勒公式應(yīng)用求極限的方便和實(shí)際性。

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