含環(huán)狀天線槽正交方位隨鉆電磁波測井儀器三維有限體積法數(shù)值模擬

于蕾, 王浩森， 汪宏年*, 楊守文， 殷長春

1 吉林大學(xué)物理學(xué)院計(jì)算方法與軟件國際中心， 長春 130012 2 河北建筑工程學(xué)院， 河北張家口 075000 3 吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 長春 130026

0 引言

隨鉆測井的概念早在20世紀(jì)20年代被提出，但直到20世紀(jì)80年代才首次被引入商用.經(jīng)過近30多年快速發(fā)展，隨鉆測井技術(shù)的準(zhǔn)確性和可靠性已經(jīng)逐步達(dá)到電纜測井的質(zhì)量水平，并已經(jīng)成為當(dāng)前智能導(dǎo)鉆、儲層評價(jià)等的重要工具(Seydoux et al., 2014;Meador, 2009).常規(guī)隨鉆電阻率測量儀器通常由多源距共軸發(fā)射和接收天線組成(Bittar and Rodney, 1996;Clark et al., 1990, 1988)，同時(shí)提供多源距、多頻率的共軸電場衰減系數(shù)(幅度比ATT)與相位差(PS)，用于探測鉆鋌周圍地層電導(dǎo)率的徑向變化以及地層界面或油水接觸面位置.然而，這類常規(guī)隨鉆電磁波測井技術(shù)缺乏方位靈敏度，無法有效地提供地層電導(dǎo)率的各向異性信息，因此，難以直接用于各向異性儲層評價(jià)以及層界面兩邊地層電導(dǎo)率相對大小的判斷.2005年一種新型方位隨鉆電磁波測井技術(shù)開始出現(xiàn)，該類儀器在常規(guī)隨鉆電磁波測量的基礎(chǔ)上增加了共面發(fā)射與接收天線，能夠同時(shí)提供電磁場多分量信息，從而能夠更好地滿足各向異性儲層評價(jià)以及地質(zhì)導(dǎo)向的需要(Bittar et al., 2009;Kennedy et al., 2009;Omeragic et al., 2005).隨著儀器功能的不斷增加，其應(yīng)用范圍與需要解決的問題也越來越多，圍繞著隨鉆電磁波測井儀器的正演模擬與反演技術(shù)也變得越來越重要.

目前，各種電磁場模擬方法在隨鉆電磁測井中均已得到廣泛應(yīng)用，其中包括：快速傅里葉變換法(FFT)(Zhang and Liu, 2003)、傳輸線算法(TLM)(Yang et al., 2014; Wang et al., 2008; Li and Liu, 2000)、傳播矩陣法(康莊莊等, 2020; 姚東華等, 2010)、積分方程法(IE)(陳桂波等, 2009; Abubakar et al., 2006)、數(shù)值模式匹配法(NMM)(林藺等, 2017; Wang et al., 2012; Wang and Yang, 2001; Hue and Teixeira, 2007)、有限差分法(FDTD)(Zeng et al., 2018; Lee and Teixeira, 2007; Hue et al., 2005)、有限元法(FEM)(Li et al., 2016; Pardo et al., 2006)以及有限體積法(FVM)(Wang et al, 2020; 王浩森等, 2016; 張燁等, 2012; Novo et al., 2010, 2007; 陳博等, 2021).需要指出的是，目前這些正演模擬算法往往采用定直徑光滑金屬鉆鋌(本文稱之為光滑鉆鋌)、收發(fā)線圈均纏繞在光滑鉆鋌表面(Clark et al., 1990)的簡化模型.然而，真實(shí)的隨鉆測井儀器鉆鋌表面往往開鑿出多個(gè)環(huán)狀天線槽(本文稱之為刻槽鉆鋌)，所有線圈均安裝在環(huán)狀天線槽中(汪宏年等, 2021; 許巍等, 2016; Wang and Signorelli, 2004; Clark et al., 1990)，并利用鐵氧體等磁性材料和玻璃鋼等高阻耐磨性材料對線圈進(jìn)行封存，以提高儀器的耐用性和抗震能力(Park and Eom, 1999; Shumpert and Butler, 1998).此外，鐵氧體還有效減少了金屬鉆鋌內(nèi)部渦流和熱量的產(chǎn)生，提高傳感器發(fā)射功率與接收效率等功能(汪宏年等, 2021; Wang and Signorelli, 2004).由于刻槽金屬鉆鋌表面不再光滑、直徑是變化的，使得準(zhǔn)確的電磁響應(yīng)數(shù)值模擬變得更為復(fù)雜，而有關(guān)隨鉆刻槽天線的完整數(shù)值模擬與分析目前非常少.

中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所自主研發(fā)了一套新型方位隨鉆測井儀器——正交方位隨鉆電磁波測井儀(LWD-OAEMT)，儀器采用對稱式收發(fā)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償測量，由共軸發(fā)射和接收線圈、以及共面接收線圈組成，同時(shí)提供共軸與共面電磁測量.本文針對該儀器的真實(shí)線圈系結(jié)構(gòu)以及柱坐標(biāo)系下耦合勢有限體積法(Wang et al., 2020)，研究建立一套包含非光滑刻槽鉆鋌表面和非均質(zhì)磁導(dǎo)率的三維電磁場數(shù)值模擬算法.并且，利用電場延拓邊界條件(ECBC)逼近刻槽鉆鋌表面的理想電導(dǎo)體邊界條件(PEC)，提高非光滑鉆鋌表面混合Helmholtz方程的離散精度.此外，采用PARDISO稀疏矩陣求解器求解離散方程以保證數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性和計(jì)算精度.

1 方法原理

1.1 儀器結(jié)構(gòu)與測量原理

圖1是正交方位隨鉆電磁波測井儀器中環(huán)狀天線槽、發(fā)射與接收線圈結(jié)構(gòu)分布示意圖，并采用雙頻(400 kHz和2 MHz)工作模式.其中，圖1a中Tz1/Tz2(Tz3/Tz4)分別是長(短)源距共軸發(fā)射線圈，Rz1/Rz2、Rx1/Rx2分別是共軸、共面接收線圈(Fang, 2011).所有共軸線圈均纏繞在環(huán)狀天線槽中的鐵氧體與玻璃鋼之間(見圖1(b，d))，并位于天線槽中心位置，發(fā)射和接收線圈半徑分別為ρT和ρR.與共軸線圈不同，共面接收線圈的法線方向垂直于鉆鋌表面，由兩個(gè)大小、形狀相同的線圈組成對稱地安裝在刻槽鉆鋌軸線兩側(cè)，并貼附在鐵氧體與玻璃鋼之間(見圖1c)，其到儀器軸的距離為ρR，法線方向的相對方位角分別為φR和π+φR.具體儀器參數(shù)設(shè)置如下：

圖1 正交方位隨鉆電磁波測井儀器井下結(jié)構(gòu)示意圖 (a) 刻槽鉆鋌結(jié)構(gòu)與收發(fā)線圈分布； (b) 天線槽中的共軸線圈； (c) 天線槽中的共面線圈； (d) 天線槽周圍縱向截面圖； (e) 儀器的偏心結(jié)構(gòu)示意圖.Fig.1 The downhole structure of LWD-OAEMT (a) Grooved drill collar and distribution of transmitting and receiving coils; (b) Coaxial coils in the antenna recesses; (c) Coplanar coils in the antenna recesses; (d) Longitudinal cross-section around the antenna recesses; (e) Structure of eccentric tool in borehole.

(1)長、短源距發(fā)射線圈、共軸以及共面接收線圈到儀器中心的距離分別為：LTz1,2=41.5in和LTz3,4=19.5in、LRz1,2=4.5in和LRx1,2=30.5in(1in=2.54 cm)；

(2)鉆鋌外半徑為bc=3.375in，環(huán)狀天線槽徑向深度為dg=0.03 m，即天線槽內(nèi)的鉆鋌內(nèi)半徑為bg=bc-dg，縱向長度為Lg=0.064 m；

(3)鉆鋌電導(dǎo)率為σc=106S·m-1，鐵氧體材料的電導(dǎo)率為σf=10-5S·m-1、相對磁導(dǎo)率為μr,f=200；玻璃鋼材料的電導(dǎo)率為σg=10-5S·m-1，相對磁導(dǎo)率為1；

(4)井眼半徑和泥漿電導(dǎo)率分別為a=0.15 m

(5)儀器的相對偏心率為ecc∈[0,1]，偏心距為ρecc=(a-bc)*ecc(儀器偏心結(jié)構(gòu)見圖1e).

該儀器的共軸信號是共軸接收線圈Rz1/Rz2上感應(yīng)電動(dòng)勢的比值計(jì)算得到的幅度比(ATT)與相位差(PS).長、短源距發(fā)射線圈的高低頻共軸響應(yīng)為

s=1,3,

s=2,4.

(1)

其中，Vzi,k,s表示工作頻率fk(k=1,2)時(shí)發(fā)射線圈Tz,s(s=1,2,3,4)在接收線圈Rz,i(i=1,2)上的感應(yīng)電動(dòng)勢.因此，雙頻發(fā)射共可以獲得16條共軸測井曲線.

與共軸信號不同，為了消除儀器偏心的影響，共面信號采用發(fā)射線圈Tz1/Tz3(或Tz2/Tz4)在共面接收線圈Rx2(或Rx1)上感應(yīng)電動(dòng)勢的線性組合的實(shí)部和虛部(楊震等, 2016; Fang, 2011)，且是接收線圈相對方位角φR的周期函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，通常選用16個(gè)不同相對方位角上的共面響應(yīng)(Bell et al., 2006)：

(2)

其中，Vxi,k,s(φR)表示工作頻率fk(k=1,2)時(shí)發(fā)射線圈Tz,s(s=1,2,3,4)在接收線圈Rx,i(i=1,2)方位角為φR時(shí)的共面感應(yīng)電動(dòng)勢.

雙工作頻率下可以提供64條共面測井曲線，不同方位上共面響應(yīng)信號可平均后用于增強(qiáng)各向異性信息，或者相減后用于增強(qiáng)層邊界信息，探測附近地層邊界面的方位(Fang, 2011).

1.2 磁導(dǎo)率不是常數(shù)情況下電場耦合勢Helmholtz方程

建立z軸與鉆鋌中軸線一致的儀器柱坐標(biāo)系，則正交方位隨鉆電磁響應(yīng)問題可歸結(jié)為求解如下非光滑刻槽鉆鋌外各向異性非均勻地層中矢勢和標(biāo)勢滿足的Helmholtz方程的邊值問題(設(shè)時(shí)間變化關(guān)系為e-iω t)：

(3)

(5)

1.3 含有天線槽的刻槽鉆鋌表面的電場延拓邊界條件

假定圖1中8個(gè)環(huán)狀天線槽的上下邊界面對應(yīng)的垂直位置為dα(α=2,3,…,17)，儀器的頂端和底端位置為d1=-∞和d18=+∞.計(jì)算區(qū)域的內(nèi)邊界包含兩種不同形態(tài)的界面(見圖2a)：a)環(huán)狀天線槽內(nèi)鉆鋌半徑為bg和鉆鋌外表面半徑為bc的柱狀界面；b)第α(α=1,2,…,8)個(gè)環(huán)狀天線槽頂面位置為z=d2α和底面位置為z=d2α+1的環(huán)形界面.為保證方程(3)和(4)在不光滑內(nèi)邊界附近的離散精度，采用電場延拓邊界條件(ECBC)逼近PEC條件.即在鉆鋌表面對矢勢A(r,rT)的法向分量向鉆鋌內(nèi)進(jìn)行偶延拓，而對切向分量進(jìn)行奇延拓.圖2(b，c)分別給出了環(huán)形界面和柱狀界面上矢勢Aρ和Az分量的延拓示意圖，而圖2d則是各個(gè)邊界上矢勢Aφ分量的延拓示意圖.在圖2b的環(huán)形界面d2α和d2α+1上，其電場延拓邊界條件可表示為

(6a)

而在圖2c中，不同半徑的柱狀界面具有完全類似的邊界條件，在半徑為bg的柱面上：

圖2 刻槽鉆鋌表面第α個(gè)天線槽周圍電場延拓 邊界條件示意圖 (a) 天線槽表面兩種不同形態(tài)的界面； (b) 環(huán)形界面上的延拓邊界條件； (c) 不同半徑的柱狀界面上的延拓邊界條件； (d) 矢勢分量 Aφ的延拓.Fig.2 Electric continuation boundary conditions on the surface of the antenna recesses on the grooved drill collar (a) Two kinds of interfaces on the antenna recesses surface; (b) ECBCs on annular interfaces; (c) ECBCs on cylindrical interfaces; (d) The continuation of the vector potential component Aφ.

(6b)

1.4 網(wǎng)格剖分與延拓邊界條件的離散

為了確定在方程(6)的邊界條件下方程(3)和(4)的數(shù)值解，采用柱坐標(biāo)系下Yee氏交錯(cuò)網(wǎng)格與三維有限體積法(3D FVM)(Wang et al., 2020; Haber and Ascher, 2001).在φ方向上，采用等間距均勻劃分：φj+1/2=2πj/Nφ，其中，j=0,1,…,Nφ，并且滿足周期性條件：φ1/2±Nφ=φ1/2和φ±Nφ=φ0；而在ρ和z方向采用非均勻剖分，并盡可能保證鉆鋌邊界位于半整數(shù)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，以便于延拓邊界條件(6)的離散.由于每個(gè)天線槽的幾何尺寸相同，為描述方便，這里先討論第α個(gè)天線槽區(qū)域

0≤φ<2π};α=1,2,…,8

(7)

內(nèi)的網(wǎng)格剖分.由于天線槽內(nèi)包含鐵氧體和玻璃鋼材料，其磁性和電性特征均差異很大，且發(fā)射和接收線圈均位于天線槽內(nèi)部，為保證求解精度，在天線槽周圍和鉆鋌外小范圍內(nèi)采用等間距網(wǎng)格剖分，且要求網(wǎng)格間距Δρ和Δz足夠小.

為此，在ρ方向至少包含15個(gè)等間距節(jié)點(diǎn)，而在z方向天線槽內(nèi)包含5個(gè)左右等間距節(jié)點(diǎn).同時(shí)，令柱狀界面ρ=bg正好等于半整數(shù)節(jié)點(diǎn)ρ3/2，即ρ3/2=bg.這時(shí)，節(jié)點(diǎn)ρ1/2=bg-Δρ將位于鉆鋌內(nèi)部，并稱為徑向內(nèi)延拓節(jié)點(diǎn).對于天線槽的上下環(huán)形界面d2α和d2α+1，也令其位于某個(gè)縱向半整數(shù)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，即zkα,0+1/2=d2α和zkα,1+1/2=d2α+1，此時(shí)，節(jié)點(diǎn)zkα,0-1/2=d2α-Δz和zkα,1+1/2=d2α+1+Δz位于鉆鋌內(nèi)部，是縱向內(nèi)延拓節(jié)點(diǎn).

其次，在不包含天線槽的其他9個(gè)區(qū)域：

0≤φ<2π};β=1,2,…,9

(8)

內(nèi)，徑向節(jié)點(diǎn)保持與天線槽區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)一致，同時(shí)，將柱狀界面ρ=bc定義在合適的半整數(shù)節(jié)點(diǎn)上.而除了鉆鋌上下兩端的區(qū)域外，各天線槽之間的7個(gè)區(qū)域內(nèi)的縱向上也采用等間距網(wǎng)格，但節(jié)點(diǎn)間距可以適當(dāng)增加.而在等間距網(wǎng)格以外采用間距逐步增大的Lebedev網(wǎng)格(Davydycheva et al., 2003).通過網(wǎng)格剖分，得到一系列中心位置為(ρi,φj,zk)的整數(shù)網(wǎng)格(Wang et al., 2020)：

Vi,j,k=[ρi-1/2,ρi+1/2]×[φj-1/2,φj+1/2]×[zk-1/2,zk+1/2],

(i=1,2,…,Nρ+1;j=1,2,…,Nφ;k=1,2,…,Nz+1).

(9)

并且，三個(gè)正交方向上的整數(shù)節(jié)點(diǎn)與半整數(shù)節(jié)點(diǎn)具有如下關(guān)系：

ρi=(ρi+1/2+ρi-1/2)/2;φj=(φj+1/2+φj-1/2)/2,

zk=(zk+1/2+zk-1/2)/2.

(10)

通過邊界上的內(nèi)延拓點(diǎn)，可以將延拓邊界條件(6a)和(6b)離散為

(11a)

和

(11b)

1.5 Helmholtz方程離散與離散方程求解

為了對方程(3)和(4)在交錯(cuò)節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行離散，在整數(shù)網(wǎng)格Vi,j,k的三個(gè)相互正交的面元

(12)

上分別對方程(3)進(jìn)行面積分，得：

(13)

同時(shí)，對方程(4)在網(wǎng)格Vi,j,k上進(jìn)行體積分：

dS=0.

(14)

其中，?Sα是面元的邊界，而?Vi,j,k表示網(wǎng)格Vi,j,k的外邊界.

利用Stokes公式，結(jié)合柱坐標(biāo)系中的散度和旋度公式以及積分中值定理與微分中值定理，可以實(shí)現(xiàn)方程(13)和(14)的離散(Wang et al., 2020).由于求解區(qū)域D中包含有環(huán)狀天線槽、井眼以及地層，很多剖分網(wǎng)格上的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率都是非均勻的(Pardo et al., 2006)，因此在對(13)和(14)進(jìn)行離散前，需要預(yù)先用標(biāo)準(zhǔn)均質(zhì)化平均技術(shù)確定各個(gè)非均質(zhì)網(wǎng)格上的等效電導(dǎo)率和等效磁導(dǎo)率(Habashy and Abubakar, 2007; Moskow et al., 1999)：

(15)

(16)

此外，對于方程(13)的右端項(xiàng)則可以利用二維線性插值和Dirac函數(shù)的積分性質(zhì)離散為

(17)

對上面的離散結(jié)果整理后，得到關(guān)于未知矢勢和標(biāo)勢的大型代數(shù)方程：

FX=b.

(18)

其中，F(xiàn)為稀疏非對稱的系數(shù)矩陣，X=(Aρ,Aφ,Az,φ)T為各個(gè)交錯(cuò)節(jié)點(diǎn)上未知耦合勢組成的向量，b為已知的四個(gè)發(fā)射源的離散向量.

2 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)首先利用模式匹配法數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證本文所建立的三維有限體積算法的可靠性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過在均勻各向同性和各向異性地層中的直井和大斜度井的數(shù)值結(jié)果，研究分析含多個(gè)環(huán)狀天線槽的正交方位隨鉆電磁波測井儀器的響應(yīng)特征.在數(shù)值模擬中，對于直井情形的徑向、環(huán)向以及縱向的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)分別選擇為(Nρ,Nφ,Nz)=(52,32,200)，而在大斜度井情況下，三個(gè)方向的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為(Nρ,Nφ,Nz)=(72,32,180).

2.1 三維有限體積算法(3D FVM)驗(yàn)證

選取20個(gè)電導(dǎo)率分別為0.001、0.005、0.01、0.02、0.03、0.05、0.08、0.1、0.125、0.2、0.3、0.5、0.8、1.0、1.5、2.0、3.0、5.0、8.0和10.0 S·m-1的均勻各向同性柱狀地層，儀器位于直井的井軸上(儀器居中)，針對圖1的儀器結(jié)構(gòu)分別用NMM算法和本文的3D FVM，分別計(jì)算共軸接收線圈上感應(yīng)電動(dòng)勢的幅度比和相位差.此外，作為對比還用TLM算法計(jì)算了無鉆鋌和天線槽結(jié)構(gòu)情況下的儀器響應(yīng)，以便于對比考察鉆鋌和天線槽對儀器響應(yīng)的影響.圖3是三種不同算法得到的儀器響應(yīng)的對比結(jié)果(總場響應(yīng)).其中，圖3(a，b)分別是長源距幅度比和相位差曲線，而圖3(c，d)分別是短源距幅度比和相位差曲線.從圖可以看出，3D FVM與NMM兩種方法得到的幅度比和相位差曲線幾乎完全重合，其相對誤差不到1%；而TLM算法的相位差與3D FVM和NMM算法的相位差基本重合，但幅度比曲線存在明顯差異，產(chǎn)生這種情況的主要原因是TLM算法以磁偶極子作為發(fā)射源，且忽略了金屬鉆鋌影響.由此，不難推斷隨鉆電磁波儀器的相位差響應(yīng)受鉆鋌和環(huán)狀天線槽的影響較小而幅度比受鉆鋌影響較大，在短源距情況下影響更為明顯.因此，如果在忽略鉆鋌影響的情況下，選取相位差曲線用于處理隨鉆電磁測井資料提取地層電導(dǎo)率(白彥等, 2018)，更為合理.

由于各個(gè)線圈上的接收信號(總場)是直耦信號(背景場)和感應(yīng)信號(輻射場)的疊加，為考察純粹來自地層中感應(yīng)信號的響應(yīng)特征，首先計(jì)算出空氣中各個(gè)接收器上的感應(yīng)電動(dòng)勢并作為儀器的直耦信號，然后從不同電導(dǎo)率地層中各個(gè)接收器上的感應(yīng)電動(dòng)勢中扣除直耦信號，重新計(jì)算各個(gè)幅度比和相位差，有助于了解真實(shí)地層電導(dǎo)率產(chǎn)生的共軸響應(yīng)(輻射場響應(yīng)).作為對比，圖3同時(shí)給出了由3D FVM和NMM兩種方法得到輻射場響應(yīng)的對比，不難看出兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果完全重合.由于扣除了空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢，使得輻射場的幅度比和相位差明顯變小.此外，在高電導(dǎo)率地層情況下(大約1 S·m-1以上)，長源距輻射場的幅度比和相位差以及短源距高頻輻射場的相位差隨電導(dǎo)率增大而減小，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因是受趨膚效應(yīng)的影響，高頻電磁波難以穿透導(dǎo)電性地層.由于待勘探油層一般是高阻層，因此，后面我們依然對總場響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析和考察.

圖3 20個(gè)不同電導(dǎo)率的均勻各向同性柱狀地層中由TLM、NMM與3D FVM算法得到共軸總場響應(yīng) 以及由NMM與3D FVM得到的輻射場響應(yīng)對比 (a)和(b)長源距幅度比和相位差；(c)和(d)短源距幅度比和相位差.Fig.3 Comparison of coaxial responses for total field obtained by TLM, NMM and 3D FVM and that for radiation field by NMM and 3D FVM in homogeneous isotropic formation with 20 different conductivities (a) and (b) Attenuation and Phase shift of long spacing; (c)and (d) Attenuation and Phase shift of short spacing.

在計(jì)算效率方面，計(jì)算一組上述20個(gè)地層電導(dǎo)率模型的數(shù)據(jù)，TLM算法需要幾十秒，NMM算法需要幾分鐘，而3D FVM則需要大約10 h.雖然，NMM算法與3D FVM 有相同的計(jì)算精度且速度更快，但NMM算法只能模擬直井以及均勻地層模型，在實(shí)際應(yīng)用中有局限性，而3D FVM可模擬任意非均勻各向異性地層模型，應(yīng)用范圍更廣.

2.2 直井情況下均勻各向同性地層模型中電磁場空間分布

為了對3D FVM的相關(guān)正演過程以及數(shù)值結(jié)果做進(jìn)一步分析研究，這里將考察直井情況下各向同性地層模型中鉆鋌周圍電磁場空間分布，將同時(shí)給出儀器居中(ecc=0.0)和偏心(ecc=0.85)兩種不同情況在2 MHz工作頻率下的數(shù)值結(jié)果.假定地層電導(dǎo)率為σ=0.1 S·m-1，圖4是相對偏心率ecc=0.0情況下等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率的空間分布圖，其中，圖4(a，b，c)是z=0的水平截面xy上的等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率，而圖4(d，e，f)是y=0的垂直截面xz上的等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率.從圖可以看出相對磁導(dǎo)率與電導(dǎo)率的徑向分層以及環(huán)向軸對稱分布的特點(diǎn)，特別是鉆鋌天線槽上相對磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的明顯變化.而圖5是相對偏心率ecc=0.85情況下等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率空間分布圖.由于儀器偏心等效電導(dǎo)率在井眼中的分布發(fā)生了明顯變化，關(guān)于x=0的截面不再具有軸對稱性.下面進(jìn)一步分析電磁場的空間分布情況.為減少論文篇幅，這里將僅給出工作頻率為2 MHz時(shí)的相關(guān)數(shù)值結(jié)果.

圖4 儀器居中情況下各向同性地層中等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率空間分布 (a)、(b)和(c) z=0截面上等效相對磁阻、等效電導(dǎo)率σρ ρ和σzz； (d)、(e)和(f) y=0截面上等效相對磁阻、等效電導(dǎo)率σρ ρ和σzz.Fig.4 Spatial distribution of equivalent relative permeability and conductivity for the tool centered in the vertical borehole in homogeneous isotropic formation (a), (b) and (c) equivalent relative permeability, equivalent conductivity σρ ρ and σzz on cross-section of z=0; (d), (e) and (f) equivalent relative permeability, equivalent conductivity σρ ρ and σzz on cross-section of y=0.

圖5 儀器偏心情況下各向同性地層中等效相對磁阻與等效電導(dǎo)率空間分布 (a)、(b)和(c) z=0截面上等效相對磁阻、等效電導(dǎo)率σρ ρ和σzz； (d)、(e)和(f) y=0截面上等效相對磁阻、等效電導(dǎo)率σρ ρ和σzz.Fig.5 Spatial distribution of equivalent relative permeability and conductivity for the tool eccentric in the vertical borehole in homogeneous isotropic formation (a), (b) and (c)equivalent relative permeability, equivalent conductivity σρ ρ and σzz on cross-section of z=0; (d), (e) and (f) equivalent relative permeability, equivalent conductivity σρ ρ and σzz on cross-section of y=0.

圖6是穿過接收線圈Rz1中心的水平截面xy上電場強(qiáng)度空間分布圖.其中，圖6(a， b)是儀器居中情況下電場強(qiáng)度的實(shí)部與虛部數(shù)值結(jié)果.由圖看出，儀器居中情況下電場在xy平面上是完全軸對稱的，鉆鋌內(nèi)部的電場為零，且鉆鋌附近井眼中由于泥漿電導(dǎo)率較大其電場強(qiáng)度也較小.而在井眼周圍大約ρ=0.7 m的范圍內(nèi)電場強(qiáng)度的虛部變化較小，隨徑向距離ρ的增加，電場強(qiáng)度會(huì)快速衰減.圖6(c，d)是儀器偏心(ecc=0.85)情況下電場強(qiáng)度的實(shí)部與虛部空間分布情況，與居中情況類似，但由于偏心電場強(qiáng)度的空間分布關(guān)于x=0不再具有軸對稱性.

圖6 儀器居中和偏心情況下各向同性地層中穿過接收線圈Rz1中心的水平截面xy上的電場空間分布 (a)和(b)儀器居中情況下的電場實(shí)部和虛部； (c)和(d)儀器偏心情況下的電場實(shí)部和虛部.Fig.6 Spatial distribution of electric field on the xy horizontal cross-section located at the center of Rz1 in isotropic formation for both ecc=0.0 and ecc=0.85 (a) and (b) Real part and Imagine part of electric field for ecc=0.0; (c) and (d) Real part and Imagine part of electric field for ecc=0.85.

圖7中給出了發(fā)射線圈Tz4在y=0的垂直截面xz上產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度空間分布情況.其中，圖7(a，b)是儀器居中情況下磁場強(qiáng)度實(shí)部與虛部數(shù)值結(jié)果，而圖7(c，d)是儀器偏心情況下的結(jié)果.從圖可以看出儀器偏心對磁場的空間分布影響相對較小，但發(fā)射線圈附近的磁場明顯比周圍其他地方的磁場要強(qiáng).此外，電場的虛部信號明顯強(qiáng)于實(shí)部信號，而磁場的實(shí)部信號更強(qiáng)，這是因?yàn)殡妶鎏摬糠从车氖侵瘪钚盘枺瑢?shí)部反映感應(yīng)信號，而磁場正好相反.

圖7 在y=0垂直截面上儀器居中和偏心情況下發(fā)射線圈Tz4在各向同性地層中產(chǎn)生的磁場空間分布 (a)和(b)儀器居中情況下的磁場實(shí)部和虛部； (c)和(d)儀器偏心情況下的磁場實(shí)部和虛部.Fig.7 Spatial distribution of magnetic field excited by Tz4 on the xz cross-section of y=0 in isotropic formation for both ecc=0.0 and ecc=0.85 (a) and (b) Real part and Imagine part of magnetic field for ecc=0.0; (c) and (d) Real part and Imagine part of magnetic field for ecc=0.85.

2.3 大斜度井情況下均勻各向異性地層模型中電磁場空間分布

下面進(jìn)一步考察各向異性地層大斜度井中，儀器居中和偏心情況下電磁場空間分布.地層水平電導(dǎo)率和各向異性系數(shù)分別為σH=0.1 S·m-1和λ=2，井眼傾角為80°.圖8是電場在穿過接收線圈Rz1中心且與井軸垂直的截面上的空間分布圖.其中，圖8(a，b)是儀器居中情況下電場強(qiáng)度的實(shí)部與虛部的數(shù)值結(jié)果，由圖看出，傾斜井眼中即使在儀器居中情況下其電場在垂直于儀器的截面xy上關(guān)于x=0也不是軸對稱的，在相對方位角φ=π/2和3π/2周圍電場強(qiáng)度較強(qiáng)，而在相對方位角φ=0和π附近電場強(qiáng)度最弱，這是因?yàn)樵诟飨虍愋缘牡貙与妼?dǎo)率與井中儀器之間存在夾角，導(dǎo)致在儀器柱坐標(biāo)系中電導(dǎo)率是全張量的形式.圖8(c，d)是儀器偏心情況下的數(shù)值結(jié)果，由圖看出，傾斜井眼中不同方位角上電場分布特征與儀器居中情況類似，說明儀器的偏心對電場的空間分布有一定影響，但沒有井眼傾斜的影響顯著.

圖8 各向異性地層80度斜井中過Rz1中心且與井眼軸線垂直的截面上的電場空間分布 (a)和(b)儀器居中情況下的電場實(shí)部和虛部； (c)和(d)儀器偏心情況下的電場實(shí)部和虛部.Fig.8 Spatial distribution of electric field on the cross-section located at the center of Rz1 and perpendicular to the axis of borehole in anisotropic formation with a deviated borehole of 80° (a) and (b) Real part and Imagine part of electric field for ecc=0.0; (c) and (d) Real part and Imagine part of electric field for ecc=0.85.

圖9是儀器居中和偏心情況下發(fā)射線圈Tz4在y=0的垂直截面xz上產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度空間分布情況.其中，圖9(a,b)是儀器居中時(shí)的磁場強(qiáng)度實(shí)部與虛部數(shù)值結(jié)果，而圖9(c，d)是儀器偏心情況下的結(jié)果.從圖可以看出，與電場情況類似，儀器偏心對磁場的空間分布影響相對較小，但井眼傾斜對整個(gè)磁場空間分布的影響非常明顯.

圖9 在y=0的垂直截面上發(fā)射線圈Tz4在各向異性地層80度斜井中產(chǎn)生的磁場空間分布 (a)和(b) 儀器居中情況下的磁場實(shí)部和虛部； (c)和(d) 儀器偏心情況下的磁場實(shí)部和虛部.Fig.9 Spatial distribution of magnetic field excited by Tz4 on the cross-section of y=0 in anisotropic formation with a deviated borehole of 80° (a) and (b) Real part and Imagine part of magnetic field for ecc=0.0; (c) and (d) Real part and Imagine part of magnetic field for ecc=0.85.

2.4 80°斜井情況下三層TI模型的儀器響應(yīng)

最后，給出80°斜井中三層各向同性和單軸各向異性地層模型(TI模型)的方位隨鉆電磁波儀器響應(yīng).圖10給出了四種TI地層模型及其參數(shù)示意圖.四個(gè)模型層厚均為5、4 m和5 m.模型1是各向同性模型：上下圍巖電阻率為1 Ωm和2 Ωm，中間層電阻率為10 Ωm；而模型2是各向異性模型：水平電阻率與各向同性模型電阻率相同，垂直電阻率分別為3 Ωm、20 Ωm和8 Ωm.模型3和4是層間大反差電阻率模型：上下圍巖電阻率分別與模型1和2相同，而中間目的層電阻率分別是模型1和2的10倍.

圖10 四種三層TI地層模型及其參數(shù)示意圖Fig.10 Four three-layer TI formation models and their parameters

圖11至圖14是正交方位隨鉆電磁波儀器在四種TI模型中扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢(直耦信號)前后的共軸響應(yīng).這些共軸響應(yīng)反映了井眼軌跡上地層電阻率變化.無論是否扣除空氣中的背景值，電阻率越高，相應(yīng)的幅度比和相位差越小；且不難看出各向異性模型中的幅度比和相位差響應(yīng)明顯小于各向同性模型中的值，這也反映出各向異性對共軸響應(yīng)的影響.扣除直耦信號前，由于趨膚效應(yīng)，各向同性模型中長源距的幅度比響應(yīng)值小于短源距，但是相位差響應(yīng)相反，而在各向異性模型中，長源距的相位差響應(yīng)值也小于短源距.而在扣除直耦信號后，長源距響應(yīng)始終小于短源距響應(yīng).

圖11 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型1中扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢前后的共軸響應(yīng) (a)和(b) 總場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差； (c)和(d) 輻射場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差.Fig.11 The coaxial response of the LWD-OAEMT in Model 1 before and after deducting the background value in the air (a) and (b) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for total field; (c) and (d) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for radiation field.

圖12 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型2中扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢前后的共軸響應(yīng) (a)和(b) 總場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差； (c)和(d) 輻射場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差.Fig.12 The coaxial response of the LWD-OAEMT in Model 2 before and after deducting the background value in the air (a) and (b) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for total field; (c) and (d) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for radiation field.

圖13 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型3中扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢前后的共軸響應(yīng) (a)和(b) 總場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差； (c)和(d) 輻射場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差.Fig.13 The coaxial response of the LWD-OAEMT in Model 3 before and after deducting the background value in the air (a) and (b) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for total field; (c) and (d) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for radiation field.

圖14 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型4中扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢前后的共軸響應(yīng) (a)和(b) 總場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差； (c)和(d) 輻射場共軸響應(yīng)的幅度比和相位差.Fig.14 The coaxial response of the LWD-OAEMT in Model 4 before and after deducting the background value in the air (a) and (b) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for total field; (c) and (d) Attenuation and Phase shift of coaxial responses for radiation field.

此外，在扣除直耦信號前，模型1和2在邊界只有長源距響應(yīng)存在犄角，而在扣除直耦信號后，短源距響應(yīng)也出現(xiàn)犄角，且長源距響應(yīng)的犄角明顯變大，此外，各向異性模型中的犄角較各向同性模型明顯更大.且在層間大反差電阻率模型3和4中，在扣除直耦信號前，在邊界附近，相位差響應(yīng)就存在犄角，而在扣除直耦信號后，輻射場響應(yīng)的犄角特別異常，甚至達(dá)到正常響應(yīng)值的幾十倍到百倍.綜上所述，扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢后的輻射場共軸響應(yīng)確實(shí)更能夠反映真實(shí)地層產(chǎn)生的響應(yīng)規(guī)律，但同時(shí)帶來的異常犄角問題也為進(jìn)一步的資料處理問題帶來困難.

與共軸響應(yīng)不同，共面響應(yīng)在空氣中背景值為0，因此，扣除空氣中的背景值前后的響應(yīng)值相同.因此，下面僅給出扣除直耦信號前的結(jié)果.圖15和圖16是正交方位隨鉆電磁波儀器在四種TI模型中的共面響應(yīng).圖15中(a1—d1)分別表示模型1各向同性地層模型中兩個(gè)共面接收線圈Rx1和Rx2上共面響應(yīng)V1和V2的實(shí)部和虛部，(a2—d2)分別表示模型2各向異性地層模型中V1和V2的實(shí)部和虛部.由于共面響應(yīng)是相對方位角的余弦函數(shù)，這里僅給出0、22.5、45、67.5、90、112.5、135、157.5和180 度九個(gè)相對方位上的計(jì)算結(jié)果.從圖看出，在上下層邊界附近，V1和V2會(huì)出現(xiàn)局部極大值或極小值；在遠(yuǎn)離層邊界的上下圍巖中，各向同性模型中V1和V2值為零，而在各向異性模型中V1和V2為非零常數(shù)，且地層各向異性系數(shù)越大，非零常數(shù)的實(shí)部值越大、虛部值越小，因此，共面響應(yīng)的非零值可以作為判斷各向異性地層的重要指標(biāo).

圖16對應(yīng)層間大反差電阻率模型3和4的共面響應(yīng)數(shù)值結(jié)果.可以看出，圖16與圖15中模型1和2相對應(yīng)的數(shù)值模擬曲線具有相似的變化形態(tài)，只是層界面附近的極值以及各向異性模型中遠(yuǎn)離層邊界時(shí)的非零常數(shù)值在數(shù)值大小上會(huì)略有不同.綜上所述，在大斜度井以及層間大反差電阻率模型中，共面響應(yīng)比共軸響應(yīng)模擬結(jié)果更加穩(wěn)定.

圖15 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型1和2中不同相對方位角上的共面響應(yīng) (a1)—(d1) 模型1中兩個(gè)共面接收線圈上響應(yīng)的實(shí)部和虛部； (a2)—(d2) 模型2中兩個(gè)共面接收線圈上響應(yīng)的實(shí)部和虛部.Fig.15 The coplanar response of the LWD-OAEMT at different relative azimuths in Model 1 and 2 (a1)—(d1) The real and imaginary parts of the coplanar responses on two coplanar receiving coils in Model 1; (a2)—(d2) The real and imaginary parts of the coplanar responses on two coplanar receiving coils in Model 2.

圖16 正交方位隨鉆電磁波儀器在模型3和4中不同相對方位角上的共面響應(yīng) (a1)—(d1) 模型3中兩個(gè)共面接收線圈上響應(yīng)的實(shí)部和虛部； (a2)—(d2) 模型4中兩個(gè)共面接收線圈上響應(yīng)的實(shí)部和虛部.Fig.16 The coplanar response of the LWD-OAEMT at different relative azimuths in Model 3 and 4 (a1)—(d1) The real and imaginary parts of the coplanar responses on two coplanar receiving coils in Model 3; (a2)—(d2) The real and imaginary parts of the coplanar responses on two coplanar receiving coils in Model 4.

3 結(jié)論

針對鉆鋌表面含多個(gè)環(huán)狀天線槽的正交方位隨鉆電磁波測井儀器結(jié)構(gòu)，本文通過鉆鋌表面特殊的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)劃分與電場延拓技術(shù)，利用柱坐標(biāo)系下電場耦合勢三維有限體積法研究建立了非均質(zhì)各向異性地層中正交方位隨鉆電磁波測井響應(yīng)的數(shù)值模擬方法，并對鉆鋌周圍電磁場空間分布、多種不同條件下儀器的響應(yīng)特征等進(jìn)行了系統(tǒng)分析和考察.數(shù)值結(jié)果顯示, 直井中儀器偏心對水平截面上電場的空間分布影響非常明顯，由于金屬鉆鋌的存在，偏心會(huì)破壞電場分布的軸對稱性以及井眼中的電場分布；在大斜度井中，由于地層電導(dǎo)率的各向異性使得井眼傾角對空間電磁場的影響十分顯著，即使在儀器居中情況下井眼周圍的電磁場的空間分布也不再是軸對稱的，并且在大斜度井中偏心對電磁場空間分布的影響沒有直井情況下顯著.

在大斜度井中，水平各向同性和各向異性地層上的方位隨鉆電磁波共軸響應(yīng)幅度比和相位差均能夠準(zhǔn)確反映井眼軌跡上地層電阻率變化.無論是否扣除空氣中的背景感應(yīng)電動(dòng)勢，電阻率越高，相應(yīng)的幅度比和相位差響應(yīng)越??；且各向異性模型中的幅度比和相位差響應(yīng)明顯小于各向同性模型中的值，反映出各向異性對共軸響應(yīng)的影響.在上下層邊界附近，兩個(gè)共面接收線圈Rx1和Rx2上的共面響應(yīng)V1和V2會(huì)出現(xiàn)局部極大值或極小值；在遠(yuǎn)離層邊界的上下圍巖中，各向同性模型中V1和V2值為零，而在各向異性模型中V1和V2為非零常數(shù)，共面響應(yīng)的非零值可以作為判斷各向異性地層的重要指標(biāo).