卡方檢驗(yàn)在IBDP生物教學(xué)中的應(yīng)用與啟示

曾 弦

（深圳市高級(jí)中學(xué) 廣東深圳 518040）

χ2檢驗(yàn)在 IBDP（International Baccalaureate Diplo?ma Programme）生物教學(xué)中主要有兩種用途：獨(dú)立性檢驗(yàn)和適合性檢驗(yàn)，這兩者都適用于離散型數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)，其基本原理是通過(guò)χ2值的大小來(lái)檢驗(yàn)實(shí)際觀測(cè)值與理論值之間的偏離程度。獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上因素之間是否具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的假設(shè)檢驗(yàn)；適合性檢驗(yàn)是比較觀測(cè)值與理論值是否符合的假設(shè)檢驗(yàn)。下面結(jié)合IBDP生物教材中的具體案例來(lái)詳細(xì)說(shuō)明。

1 獨(dú)立性檢驗(yàn)

獨(dú)立性檢驗(yàn)是研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上因子彼此之間是相互獨(dú)立還是相互影響的一類統(tǒng)計(jì)方法。具體做法是，先提出無(wú)效假設(shè)（H0），假設(shè)所觀測(cè)的各屬性之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，根據(jù)無(wú)效假設(shè)計(jì)算理論數(shù)，在一定自由度下以給定的顯著性水平做出判斷，最后證明無(wú)效假設(shè)是否成立。若拒絕無(wú)效假設(shè)（H0），則說(shuō)明兩種因子之間的關(guān)聯(lián)是顯著的；若接受無(wú)效假設(shè)（H0），則說(shuō)明兩種因子之間無(wú)關(guān)聯(lián)，是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性檢驗(yàn)的形式有多種，常利用列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，在生物學(xué)研究中常用2×2列聯(lián)表。在IBDP生物中獨(dú)立性檢驗(yàn)主要應(yīng)用于“生態(tài)學(xué)”這一章，用來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)物種的分布是否具有關(guān)聯(lián)性。

以2014年牛津大學(xué)出版社出版的IB Diploma Programme：Biology中第四章“生態(tài)學(xué)”中課后習(xí)題為例詳細(xì)說(shuō)明。

英國(guó)什羅普郡某山頂上的草地，這個(gè)地區(qū)在夏天有綿羊在此放牧，此外還有登山者在草地上穿過(guò)。草地上有凸起的小丘，上面長(zhǎng)著石楠（Calluna vulgaris）。對(duì)該處的肉眼觀察發(fā)現(xiàn)，有一種苔蘚（Rhytidiadelphus squarrosus）與這種石楠有關(guān)。隨機(jī)調(diào)查統(tǒng)計(jì)了100個(gè)樣方的數(shù)據(jù)，兩個(gè)物種的分布情況見(jiàn)表1。這兩個(gè)物種的分布是否具有關(guān)聯(lián)性?

表1 兩個(gè)物種的分布

解題步驟如下：

（1）構(gòu)建一個(gè)觀察值的列聯(lián)表：基于已知數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)2×2列聯(lián)表，即橫行分為兩組數(shù)據(jù)，縱列也分為兩組數(shù)據(jù)（表2）。

表2 根據(jù)表1所構(gòu)建的列聯(lián)表

（2）假設(shè)兩個(gè)物種的分布沒(méi)有關(guān)聯(lián)，計(jì)算理論值（理論值=行總和×列總和/總數(shù)）。理論值的結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 理論值的計(jì)算結(jié)果

（3）確定自由度：自由度有公式，df=（m-1）（n-1），m是行數(shù)，n是列數(shù)。在生物學(xué)研究中常用2×2列聯(lián)表，故自由度常等于1。本題中自由度=（2-1）（2-1）=1。

（4）確定臨界值：要確定一個(gè)否定無(wú)效假設(shè)（H0）的概率標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)概率標(biāo)準(zhǔn)叫做顯著性水平或者概率水平，記做α。α是人為規(guī)定的小概率界限，生物學(xué)研究中常取α=0.05和α=0.01兩個(gè)顯著水平，IBDP生物中常取α=0.05。

查χ2值表（常見(jiàn)用表）可以看出，α=0.05，df=1時(shí)，臨界值為3.84。

（5）計(jì)算本題中的χ2值。

其中，f0表示觀察頻率；fe表示理論頻率。χ2=（57-42.2）2/42.2+（7-21.8）2/21.8+（9-23.8）2/23.8+（27-12.2）2/12.2=5.190 5+10.047 7+9.203 4+17.954 1=42.395 7。

（6）陳述無(wú)效假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1，并使用卡方檢驗(yàn)的計(jì)算值對(duì)其進(jìn)行評(píng)估：無(wú)效假設(shè)H0：石楠和苔蘚的分布是相互獨(dú)立的；備擇假設(shè)H1：石楠和苔蘚的分布是有顯著關(guān)聯(lián)的。

計(jì)算出的卡方值42.395 7大于臨界值3.84，有證據(jù)表明這兩個(gè)物種之間存在5%的關(guān)聯(lián)，即可以拒絕無(wú)效假設(shè)H0，接受假設(shè)H1，即石楠和苔蘚的分布是有顯著關(guān)聯(lián)的。

如計(jì)算出的卡方值小于或者等于臨界值3.84，則不能拒絕無(wú)效假設(shè)H0。沒(méi)有證據(jù)表明這兩個(gè)物種之間有5%的關(guān)聯(lián)，即石楠和苔蘚的分布是相互獨(dú)立的。

2 適合性檢驗(yàn)

比較觀測(cè)值與理論值是否符合的假設(shè)檢驗(yàn)叫適合性檢驗(yàn)。這種方法是先對(duì)樣本的理論值通過(guò)一定的理論分布推算出來(lái)，再用實(shí)際觀察值與理論值比較，從而得出實(shí)際觀測(cè)值與理論值之間是否吻合的結(jié)論。在IBDP生物中適合性檢驗(yàn)主要應(yīng)用于遺傳學(xué)這一章，用來(lái)檢測(cè)所得的結(jié)果是否符合孟德?tīng)柗蛛x定律、自由組合定律等。

做適合性檢驗(yàn)時(shí)，可以先提出無(wú)效假設(shè)H0：O-E=0，即觀察值與理論值之間沒(méi)有差異，再計(jì)算樣本的卡方值χ2，根據(jù)規(guī)定的顯著性水平α和自由度df從χ2值表（常見(jiàn)用表）中查出相應(yīng)的卡方值，如果計(jì)算出的卡方值大于查表所得卡方值，則拒絕無(wú)效假設(shè)H0，如果計(jì)算出的卡方值小于查表所得卡方值，則接受無(wú)效假設(shè)H0。

以2014年劍橋大學(xué)出版社出版的Biology for the IB Diploma中第十章“遺傳學(xué)”中課后習(xí)題為例詳細(xì)說(shuō)明。

例：孟德?tīng)枂我蜃与s交實(shí)驗(yàn)。有人種植了7 324株豌豆，在這一代中，他觀察到5 474株黃色種子植物和1 850株綠色種子植物。這一實(shí)際觀察值是否符合孟德?tīng)栆粚?duì)等位基因的遺傳規(guī)律，即黃色種子∶綠色種子=3∶1？

本例為判斷實(shí)際觀察值與理論比率是否相符的問(wèn)題，屬于典型的適合性檢驗(yàn)問(wèn)題。解題步驟如下：

（1）設(shè)置無(wú)效假設(shè)H0：黃色種子與綠色種子符合3∶1的比率。對(duì)于一個(gè)單因子雜交實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，理論的表型比率F1代是3∶1。如果計(jì)算7 324株植物，理論上，預(yù)期比率（E）將是5 493∶1 831（即3∶1）見(jiàn)表4。

表4 理論值的計(jì)算過(guò)程

其中，O表示觀察值；E表示理論。χ2=（5 474-5 493）2/5 493+（1 850-1 831）2/1 831=0.065+0.197=0.262。

（3）確定自由度：自由度df，即結(jié)果中的類別數(shù)減去1。此題中只有兩種類型（黃色種子和綠色種子），因此自由度df=2-1=1。

（4）找到自由度是1，顯著性水平為5%（0.05時(shí)）的臨界卡方值，將計(jì)算出的卡方值與查表值比較。如果計(jì)算出的卡方值大于這個(gè)值意味著拒絕無(wú)效假設(shè)H0，即不符合3∶1的分離比；如果計(jì)算出的卡方值小于這個(gè)值意味著接受無(wú)效假設(shè)H0，即符合3∶1的分離比。在本題中計(jì)算出的卡方值是0.262，查表所得卡方值是3.841，0.262小于3.841，因此接受接受無(wú)效假設(shè)H0，假設(shè)觀察到的結(jié)果和預(yù)期結(jié)果之間沒(méi)有顯著差異，即結(jié)果符合3∶1的預(yù)期分離比。

3 啟示

生物學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)學(xué)科，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析和處理是非常重要的研究手段。我國(guó)高中生物學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有對(duì)生物數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)以及掌握程度做明確規(guī)定，教材中也沒(méi)有單獨(dú)設(shè)置的章節(jié)加以介紹，各類考試評(píng)價(jià)中也未有相關(guān)要求。學(xué)生在高中生物實(shí)驗(yàn)中獲得數(shù)據(jù)，僅進(jìn)行記錄和簡(jiǎn)單的處理即可，沒(méi)有利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的手段來(lái)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)分析。生物統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容在我國(guó)往往被放在大學(xué)生物學(xué)專業(yè)講述。

IBDP生物學(xué)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有較高的要求，2011年IBDP生物學(xué)大綱第一部分就是統(tǒng)計(jì)分析，明確學(xué)生必須掌握平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)分布以及如何表示數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差，并且能用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，如用t檢驗(yàn)來(lái)判斷數(shù)據(jù)間平均值之間是否存在顯著性差異，又或者偶然因素導(dǎo)致。2016年新修訂的IBDP生物學(xué)大綱另外增加了卡方檢驗(yàn)的內(nèi)容。這些足見(jiàn)IBDP生物對(duì)數(shù)據(jù)處理的重視程度，也顯示了實(shí)驗(yàn)科學(xué)在自然科學(xué)學(xué)科中的重要地位，這種能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生閱讀生物學(xué)文獻(xiàn)以及處理生物學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是非常重要的。IBDP生物學(xué)作為一門實(shí)驗(yàn)學(xué)科，注重實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的規(guī)范表達(dá)和生物統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用，這些應(yīng)是我國(guó)高中生物課程的借鑒之處。