基于斐波那契編碼的測量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)方案

尚濤 孫海正 劉建偉

摘要：隨著量子密鑰分發(fā)（QKD）技術(shù)的飛速發(fā)展，為了確保航空通信的安全性，研究人員開始逐步對航空機載平臺的量子通信技術(shù)進行相關(guān)研究和試驗。在自由空間試驗中，測量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)（MDI-QKD）協(xié)議雖然消除了對于探測器邊信道的攻擊，但是受到大氣湍流等干擾因素的影響，其密鑰生成率仍然偏低。本文利用斐波那契數(shù)列與盧卡斯數(shù)列之間存在的關(guān)系，對光子軌道角動量（OAM）進行密鑰信息編碼，提出了一種基于斐波那契編碼的MDI-QKD方案。該方案在不影響原始MDI-QKD協(xié)議安全性的基礎(chǔ)上，單次量子信息傳輸容量增加。分析了在自由空間中存在噪聲的情況下大氣湍流對光子OAM的散射效應(yīng)，得到了探測端檢測到不同OAM態(tài)的概率，以及使用OAM編碼量子信息的MDI-QKD方案的密鑰生成率與最大傳輸距離的關(guān)系。當(dāng)光信號在大氣信道傳輸時，隨著光信號的徑向強度逐漸增大，大氣湍流對光子OAM態(tài)的散射效應(yīng)逐漸增強，原始OAM態(tài)發(fā)散為相鄰OAM態(tài)并趨于無規(guī)則分布，探測端檢測到原始OAM態(tài)的概率不斷減小。基于OAM編碼的MDI-QKD方案的最大傳輸距離要比基于偏振編碼的MDI-QKD方案增加20km。

關(guān)鍵詞：航空機載通信技術(shù)；測量設(shè)備無關(guān)；量子密鑰分發(fā)；軌道角動量；斐波那契數(shù)列；大氣湍流

中圖分類號：TN918文獻標(biāo)識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.03.011

量子信息技術(shù)的飛速發(fā)展給傳統(tǒng)航空電子與通信等相關(guān)領(lǐng)域帶來了挑戰(zhàn)，同時也帶來了新的研究方向，例如，量子導(dǎo)航、量子成像、量子加密以及量子通信等方向[1]。量子信息技術(shù)為未來航空產(chǎn)業(yè)的發(fā)展帶來了新動力，促使航空技術(shù)更加高效地為人類服務(wù)。量子密鑰分發(fā)（quantum key distribution， QKD）作為量子信息中最接近實用化的技術(shù)，具有理論上絕對安全的特性。該技術(shù)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，正進行著由理論走向?qū)嶋H應(yīng)用的過程。目前，有些地方已經(jīng)搭建了一些小型化QKD網(wǎng)絡(luò)用于試驗和研究[2]。量子保密通信相比經(jīng)典保密通信傳輸容量更大，復(fù)雜度更低。這些特點使得它更適用于航空機載通信技術(shù)，所以要發(fā)展航空機載量子通信技術(shù)，則其面臨的相關(guān)問題亟待解決。面向航空測試的機載量子通信技術(shù)主要對機載量子通信方案的有效性和安全性進行分析研究，研究成果和分析方法有助于航空試驗和高性能機載設(shè)備的設(shè)計開發(fā)，為以后建設(shè)全覆蓋量子通信網(wǎng)絡(luò)提供重要參考依據(jù)[3]。

現(xiàn)階段，QKD主要面臨安全傳輸距離短和密鑰生成率低的實際問題。隨著量子衛(wèi)星的成功發(fā)射，研究人員提出了基于衛(wèi)星的QKD網(wǎng)絡(luò)方案，該方案可以有效減弱遠距離光子的損耗，從而極大提升密鑰信息的安全傳輸距離。但是構(gòu)建全球的量子星地網(wǎng)絡(luò)通信需要在各方面耗費大量資源，這些因素限制了其實際應(yīng)用范圍[4]。近些年，航空器的發(fā)展突飛猛進，尤其是無人機設(shè)備，其在性能、載重及易操作等方面有了很大提升[5]。飛行器中機載通信技術(shù)的安全性更是重中之重，甚至關(guān)系到國家的安全。因此研究人員嘗試將QKD技術(shù)引入到航空機載通信平臺中，并進行了諸多試驗[6-7]。

光具有自旋角動量（spin angular momentum， SAM）和軌道角動量（orbital angular momentum， OAM）[8]。使用光子的OAM編碼信息具有兩個優(yōu)勢：一是OAM態(tài)在傳輸方向上具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此發(fā)送方和接收方不必實時調(diào)整參考系統(tǒng)；二是理論上，OAM存在無限維度的本征態(tài)，在信息編碼過程中，通過對OAM態(tài)進行高維編碼可以有效提升編碼過程的效率[9]。OAM具有的這兩個優(yōu)勢，可以減少航空機載量子通信平臺的復(fù)雜度，以及提升處理數(shù)據(jù)的效率。

光子的OAM通過納米等離子體螺旋陣列可以產(chǎn)生具有多個分布在斐波那契數(shù)值之間的OAM值。本文基于光子OAM的特點提出了一種利用斐波那契數(shù)列（Fibonacci）與盧卡斯（Lucas）數(shù)列之間關(guān)系編碼的MDI-QKD（Measuvement-Device Independent QKD）方案。在保證方案安全性的前提下，通過改變量子信息的編碼方式，提升單次量子密鑰分發(fā)的信息傳輸容量，從而提升方案的密鑰生成率。同時，仿真分析表明了方案的抗干擾能力和整體性能。

1自由空間中QKD技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀

在自由空間中，光信號存在的雙折射現(xiàn)象基本可以忽略，其退相干效應(yīng)也比較小，這些優(yōu)勢使得量子密鑰分發(fā)的安全傳輸距離得到提升。但是受到自由空間中大氣湍流以及近地地形等干擾因素的影響，QKD的傳輸距離仍然受到限制，誤碼率也會增加。參考文獻[10]中給出了一種空地量子密鑰分發(fā)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案，使用該方案可以減少Q(mào)KD系統(tǒng)復(fù)雜度，便于部署在機載平臺上。

自由空間中的量子密鑰分發(fā)技術(shù)研究已經(jīng)取得了一些進展。2012年，德國航空航天中心聯(lián)合慕尼黑大學(xué)在飛機與地面站之間進行了BB84協(xié)議的測試試驗，首次將QKD系統(tǒng)部署到移動機載平臺上，試驗結(jié)果給出系統(tǒng)的誤碼率為4.8%，密鑰生成率為145bit/s[6]。2016年，“墨子號”量子科學(xué)試驗衛(wèi)星在中國成功發(fā)射，該衛(wèi)星也是世界上首顆量子通信衛(wèi)星[11]。2019年，南京大學(xué)科研人員使用無人機建立了兩條空對地量子鏈路，并測試了基于量子糾纏的空地QKD[7]性能，該研究給未來量子通信網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)帶來新選擇。2020年，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究團隊利用“墨子號”試驗衛(wèi)星在國際上首次實現(xiàn)千公里級基于糾纏的量子密鑰分發(fā)[11]，該研究成果進一步提升了無中繼量子保密通信的空間傳輸距離。

近年來，一些研究人員轉(zhuǎn)向針對高維系統(tǒng)的量子密鑰分發(fā)方案進行研究，并取得了一定進展。通過發(fā)展高維希爾伯特空間來研究高容量量子密鑰分發(fā)方案的研究有兩方面主要優(yōu)勢：一方面加密密鑰的多個比特可以編碼在一個量子上，另一方面高維系統(tǒng)對某些類型的噪聲具有更強的抗干擾性。該方案的兩個特點與航空機載量子通信平臺的需求相吻合，適合在自由空間中進行量子密鑰信息的分發(fā)。

2013年，D.S.Simon等提出了一種高容量、高效率形式的量子密鑰分發(fā)協(xié)議[9]。他們利用專門設(shè)計的光子的OAM糾纏態(tài)和斐波那契數(shù)列來實現(xiàn)密鑰分發(fā)，但是其協(xié)議的高容量特性仍然受到實現(xiàn)困難、編碼不夠靈活的限制。原因主要是增加信息容量依賴于具有更大帶寬的OAM和用于編碼的方法。因此，由于實際帶寬的限制，它不可能同時滿足較長的距離和較低的誤碼率。其次，雖然Simon等已經(jīng)提出OAM-QKD協(xié)議的理論分析，但由于所使用的硬件設(shè)備存在缺陷，仍可能遭受針對探測器端的攻擊。其實，在2012年，Lo等[12]提出了使用測量設(shè)備獨立性的方法來解決該問題。在MDI-QKD協(xié)議中，通信雙方（Alice和Bob）將量子信息發(fā)送給第三方（Charlie）完成測量，即使Charlie是不可信的，也可以完成一個安全的QKD過程。而且，在該方案中，Alice或Bob信息的傳輸距離只是Alice或Bob的信息到探測器的距離，因此，Alice和Bob之間的通信距離是QKD中實際傳輸距離的兩倍。

3基于斐波那契編碼的MDI-QKD方案

3.1設(shè)計思路

光子的OAM具有高維度特性，并且其通過納米等離子體螺旋陣列可以產(chǎn)生具有多個分布在斐波那契數(shù)值之間的OAM值。本文基于光子OAM態(tài)的特點使用斐波那契數(shù)值編碼密鑰信息。通過利用式（1）～式（5）中斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列存在的關(guān)系，以及構(gòu)建密鑰矩陣的規(guī)則，在原始MDI-QKD方案的框架下對密鑰信息編碼方式和測量過程進行了設(shè)計。本文提出的基于斐波那契編碼的MDI-QKD方案，既保留了原方案消除探測器邊信道的攻擊的特點，也提升了單次量子密鑰分發(fā)的信息傳輸容量。

3.2具體步驟

（4）Alice和Bob重復(fù)步驟（1）～步驟（3），直到獲得足夠長的密鑰種子。

（5）根據(jù)Charlie的探測器的結(jié)果，Alice和Bob得到斐波那契密鑰矩陣的密鑰種子F2k。他們使用隨機數(shù)生成器生成相同秩的斐波那契密鑰矩陣，如式（4）所示。

（6）Alice和Bob可以通過對應(yīng)的行列式det（D2k） = 1，驗證密鑰矩陣是否正確。如果行列式不等于1，則中止通信。否則，他們可以使用斐波那契對角線密鑰矩陣通過矩陣乘法對數(shù)字消息進行加密。

3.3方案的特點

（1）不需要實時調(diào)整系統(tǒng)參考系

由式（10）可知，等式兩邊只是常數(shù)因子不同，量子狀態(tài)并沒有發(fā)生改變。

（2）不需要對經(jīng)典比特進行翻轉(zhuǎn)

通過觀察試驗原理圖（見圖1）可知，Alice和Bob可以依據(jù)自身所處實驗室的分選機LA和LB獲得密鑰種子，并從Charlie得知測量的結(jié)果，而不是原始MDI-QKD協(xié)議中使用的比特翻轉(zhuǎn)方法。

（3）編碼能力更強

由圖2可知，光信號在大氣湍流中傳播時，發(fā)送端光子原有的OAM態(tài)有可能會被散射到相鄰的OAM態(tài)上。當(dāng)接收端進行探測時，得到原有OAM態(tài)的概率隨r/r0參數(shù)逐漸變小。同時，接收端檢測到光子原有OAM態(tài)相鄰態(tài)的概率先變大后變小。導(dǎo)致該情況的原因是光信號在大氣傳播過程中，閃爍現(xiàn)象會隨著傳輸距離的增加而逐漸嚴(yán)重，最后會使得所有OAM態(tài)趨向于隨機分布[17]。

在本文方案中，將斐波那契數(shù)值編碼到光子OAM態(tài)上。設(shè)原始光子OAM態(tài)對應(yīng)斐波那契數(shù)值為5，Δl = 0，3，8，16。將Δl分別代入式（13），可以得到具有斐波那契數(shù)值特征的光信號經(jīng)過Kolmogorov模型湍流后光子OAM態(tài)的概率分布圖，如圖3所示。

在圖3中，可以看出原始OAM態(tài)散射到相鄰具有斐波那契數(shù)值特征的OAM態(tài)的概率更小，并且斐波那契數(shù)值越大的OAM態(tài)散射到鄰近態(tài)的概率更低。所以使用斐波那契數(shù)列編碼密鑰信息到OAM態(tài)上，可以減小大氣湍流對密鑰信息誤碼率的影響。

4.2密鑰生成率與傳輸距離的關(guān)系

圖4中是偏振編碼與OAM編碼方式下的密鑰生成率隨傳輸距離的變化關(guān)系。如圖4所示，與偏振編碼QKD方案相比，使用OAM編碼的QKD方案的安全傳輸距離更長，傳輸距離增加約20km。在采用OAM編碼的MDI-QKD方案中，OAM態(tài)在傳輸方向上具有旋轉(zhuǎn)不變性，該特性減小了由于參考系未對準(zhǔn)而引起的量子誤碼率，使得密鑰的安全傳輸距離增加[18]。

5安全性分析

本文在基于偏振編碼的MDI-QKD方案基礎(chǔ)上提出了基于斐波那契編碼的MDI-QKD方案。該方案與原有方案存在兩方面不同。

（1）編碼方式

本文方案利用光子OAM態(tài)的多維特性來編碼密鑰信息，編碼方式更加靈活，每個光子能夠編碼的經(jīng)典信息也更多。參考文獻[19]給出了光子OAM態(tài)在量子密鑰分發(fā)中的安全性證明。

（2）第三方測量后的處理

本文方案中通信雙方將具有斐波那契特征的數(shù)值編碼到光子OAM態(tài)上，經(jīng)過第三方測量后，通信雙方根據(jù)測量結(jié)果各自生成斐波那契對角線密鑰矩陣。通過驗證密鑰矩陣對應(yīng)行列式是否為1，檢測是否存在竊聽。本文方案中測量設(shè)備與原始MDI-QKD方案具有等同的作用，通過后選擇（post-select）和密鑰矩陣的驗證保證方案的安全性。

在本文方案實際應(yīng)用過程中，需要引入誘騙態(tài)技術(shù)解決非理想光源面臨的安全問題。該過程的安全性可根據(jù)GLLP[20]、Shor-Preskill[21]等理論來保證。

6結(jié)論

本文重點分析了利用斐波那契數(shù)列與盧卡斯數(shù)列之間存在的關(guān)系對密鑰信息進行編碼的MDI-QKD的方案。相較于Simon等[9]提出的使用斐波那契數(shù)列編碼三位二進制量子信息，該方案編碼的信息容量得到提升，并且安全性與原始MDI-QKD協(xié)議相同。航空機載量子通信技術(shù)傳輸信息容量的提升，可以加快該技術(shù)實際應(yīng)用的步伐。同時，使用光子OAM編碼量子信息，光信號在傳輸方向上具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此發(fā)送方和接收方不必實時調(diào)整對準(zhǔn)參考系統(tǒng)，該特點可以降低航空機載量子通信設(shè)備的復(fù)雜度，使其部署更方便，實現(xiàn)成本也更低。通過仿真分析了在大氣湍流存在的情況下，噪聲對相鄰OAM態(tài)的干擾情況。并且對比了采用OAM編碼和偏振編碼的MDI-QKD方案的密鑰傳輸距離。由結(jié)果可知，本文提出的方案在密鑰信息容量和傳輸距離方面都有了提升。自由空間中多維量子密鑰分發(fā)方案的研究也對未來實現(xiàn)全球量子通信具有重要推動作用。

參考文獻

[1]Bi S W，Henri J，Chandra S R. Quantum remote sensing：review and perspective[J]. Journal of Global Change Data & Discovery，2019，3（4）：317-325.

[2]陳非凡，胡鑫煜，趙英浩，等.全球量子保密通信網(wǎng)絡(luò)發(fā)展研究[J].計算機科學(xué)與應(yīng)用， 2018，8（10）：1628-1641. Chen Feifan， Hu Xinyu， Zhao Yinghao， et al. Development analysis on global quantum secure communication network [J]. Computer Science and Application， 2018， 8（10）： 1628-1641.（in Chinese）

[3]胡麗華，鐘志珊，杜鑫，等.基于仿真技術(shù)的機載電子設(shè)備結(jié)構(gòu)設(shè)計[J].航空電子技術(shù)， 2012，43（3）：44-49. Hu Lihua，Zhong Zhishan，Du Xin，et al. Structure design of airborne electronic equipment based on simulation technology[J].Avionics Technology， 2012， 43（3）： 44-49.（in Chinese）

[4]Mitch L. Quantum cryptography via satellite[J]. Engineering，2019，5（3）：353-354.

[5]尹文強，孫健.高空長航時無人機實用升限試飛技術(shù)研究[J].航空科學(xué)技術(shù)， 2020， 31（2）： 25-30. Yin Wenqiang， Sun Jian. Research on service ceiling flight test technology in high altitude long endurance UAV[J]. Aeronautical Science & Technology， 2020， 31（2）： 25-30.（in Chinese）

[6]Nauerth S，Moll F，Rau M，et al. Air-to-ground quantum communication[J]. Nature Photonics，2013，7（5）：382-386.

[7]Liu Huaying，Tian Xiaohui，Gu Changsheng，et al. Dronebased entanglement distribution towards mobile quantum networks[J]. National Science Review，2020，7（5）：921-928.

[8]鄭鳳，陳藝戩，冀思偉，等.軌道角動量通信技術(shù)的研究[J].通信學(xué)報， 2020 （5）：150-158. Zheng Feng， Chen Yijian， Ji Siwei， et al. Research on orbital angular momentum communication technology[J]. Acta Optica Sinica， 2020 （5）：150-158.（in Chinese）

[9]Simon D S，Lawrence N，Trevino J，et al. High-capacity quantum Fibonacci coding for key distribution[J]. Physical ReviewA，2013，87（3）：032312.

[10]孫海正，尚濤，劉建偉，等.空地量子密鑰分發(fā)網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案[J/OL]. （2020-02-10） [2020-11-13].北京航空航天大學(xué)學(xué)報， https：//doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2019.0599. SunHaizheng，ShangTao，LiuJianwei，etal.Data reconciliationschemeforspace-groundquantumkey distributionnetwork[J/OL].（2020-02-10）[2020-11-13]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， https：//doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2019.0599.（in Chinese）

[11]Yin J，Li Y H，Liao S K，et al. Entanglement-based secure quantum cryptography over 1，120 kilometres[J]. Nature，2020，582（7813）：1-5.

[12]Lo H K，Curty M，Qi B. Measurement-device-independent quantum key distribution [J]. Physical Review Letters，2012，108（13）：130503.

[13]Esmaeili M，Moosavi M，Gulliver T A. A new class of Fibonacci sequence based error correcting codes [J]. Cryptography and Communications，2017，9（3）：379-396.

[14]Heim B，Elser D，Bartley T J，et al. Atmospheric channel characteristics for quantum communication with continuous polarization variables [J].Applied Physics B，2009，98（4）：635-640.

[15]Ekert A. Quantum cryptography based on Bells theorem [J]. Physical Review Letters，1991，67（6）：661-663.

[16]Pugh C J，Kaiser S，Bourgoin J P，et al. Airborne demonstration of a quantum key distribution receiver payload[J].Quantum Science and Technology，2017，2（2）：024009.

[17]Wang Le，Zhao Shengmei，Gong Longyan，et al. Free-space measurement-device-indepen dentquantum-key-distribution protocol using decoy states with orbital angular momentum [J]. Chinese Physics B，2015，24（12）：242-249.

[18]Gibson G，Courtial J，Padgget M，et al. Free-space information transfer using light beam scarrying orbital angular momentum [J]. Optics Express，2004，12（22）：5448-5456.

[19]Grcher S，Jennewein T，Vaziri A，et al. Experimental quantum cryptography with qutrits [J]. New Journal of Physics，2006，8（5）：75.

[20]Gottesman D，Lo H K，Lutkenhaus N，et al. Security of quantum key distribution with imperfect devices [J]. Quantum Information and Computation，2004，4（5）：325-360.

[21]Hwang W Y，Wang X B，Matsumoto K，et al. Shor-Preskilltype security proof for quantum key distribution without public announcement of bases [J]. Physical Review A，2003，67（1）：012302.

（責(zé)任編輯陳東曉）

作者簡介

尚濤（1976-）男，副教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：量子密碼和量子網(wǎng)絡(luò)編碼。

Tel：010-82317222

E-mail：shangtao@buaa.edu.cn

孫海正（1993-）男，碩士研究生。主要研究方向：量子密鑰分發(fā)。

E-mail：sunhaizh@qq.com

劉建偉（1964-）男，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：密碼學(xué)和網(wǎng)絡(luò)安全。

E-mail：liujianwei@buaa.edu.cn

Measurement-device Independent Quantum Key Distribution Scheme Based on Fibonacci Coding

Shang Tao1，*，Sun Haizheng2，Liu Jianwei1

1. Key Laboratory of Aerospace Network Security，Ministry of Industry and Information Technology，Beihang University，Beijing 100083，China

2. Beihang University，Beijing 100083，China

Abstract： With the rapid development of quantum key distribution （QKD） technology， in order to ensure the security of aviation communication， researchers began to gradually carry out relevant research and experiments on the quantum communication technology of aviation airborne platform. In the free space experiment， the measurement device independent quantum key distribution （MDI-QKD） protocol eliminates the attack on the detectors side channel， but its key generation rate is still low due to the influence of atmospheric turbulence and other interference factors. Based on the relationship between Fibonacci sequence and Lucas sequence， this paper encodes the key information of photonic orbital angular momentum （OAM）， and proposes an MDI-QKD scheme based on Fibonacci coding. The encoded quantum key distribution scheme increases the single quantum information transmission capacity without affecting the security of the original MDI-QKD protocol. The scattering effect of atmospheric turbulence on photonic OAM in the presence of noise in free space is analyzed， and the probability of detecting different OAM states at the detection end is obtained. And the relationship between the key generation rate and the maximum transmission distance of the MDI-QKD scheme that uses OAM to encode quantum information is established. When the beam propagates in the atmospheric channel， the radial intensity of the beam gradually increases， and the scattering effect of the turbulence on the photonic OAM gradually increases. The original OAM state diverges into adjacent OAM states and tends to be irregularly distributed. The probability of detecting the original OAM state at the detection end continues to decrease. The maximum transmission distance of the MDI-QKD scheme based on OAM coding is 20km longer than that of the MDI-QKD scheme based on polarization coding.

Key Words： aviation airborne communication technology； measurement equipment independent； quantum key distribution； orbital angular momentum； Fibonacci sequence； atmospheric turbulence