“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”案例分析

官志海

在研究本課內(nèi)容時，我一直在思考，高中數(shù)學(xué)為什么要在2007年課改時，新增加這一內(nèi)容呢？為什么2020年新教材中又把本部分內(nèi)容放在了必修一第四章第五節(jié)《函數(shù)應(yīng)用（二）》的學(xué)習(xí)內(nèi)容里面，并改課題為“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”？函數(shù)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)主要的目的之一，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)則放在了函數(shù)在解方程方面的應(yīng)用，使函數(shù)的學(xué)習(xí)從實(shí)際應(yīng)用再到學(xué)科內(nèi)部的應(yīng)用，把函數(shù)的應(yīng)用價值體現(xiàn)的完整且充分。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里最核心的概念，它與其他知識有著密切的聯(lián)系。函數(shù)的零點(diǎn)正是一個關(guān)鍵的連接點(diǎn)，它作為紐帶將形與數(shù)，函數(shù)與方程聯(lián)系了起來。在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的基礎(chǔ)知識，具備了基本的數(shù)形結(jié)合的能力。本節(jié)課則是利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來判斷方程的解是否存在及若存在有幾個的問題，為下節(jié)課“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)如算法和根的分布等問題奠定了基礎(chǔ)。

下面是本節(jié)課教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

師：我國古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了一部分方程的求解問題，如《九章算術(shù)》中就給出了求解一次、二次方程根的方法，這要比西方早三百多年。11世紀(jì)，賈憲總結(jié)出了三次及三次以上的方程的求解方法。13世紀(jì)，秦九韶又總結(jié)出了求任意次方程的正根的解法，這些都領(lǐng)先于其他國家。

同學(xué)們，以上數(shù)學(xué)史可以看出我國的數(shù)學(xué)家在求解方程問題上為世界做出了杰出的貢獻(xiàn)。在人類用智慧搭建的無數(shù)座從未知通向已知的橋梁中，方程的求解問題是其中璀璨的一座。雖然今天我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了漫長的歲月。

問題1：? 判斷下列方程根的個數(shù)，并求根。

（1） 4x-3=0 （2） 2x2+5x-3=0

問題2 ： 請畫出下列函數(shù)的圖像，并探索所畫的圖像與問題1中方程的根有什么聯(lián)系？

（1） y=4x-3 （2） y=2x2+5x-3

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題1及問題2讓學(xué)生觀察并總結(jié)方程的根就是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得出方程的根、函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)之間的聯(lián)系，為學(xué)生進(jìn)一步理解零點(diǎn)做好鋪墊，同時滲透事物之間聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)。

問題3：? 對于方程f（x）=0與函數(shù)y=f（x）是否也有相似的結(jié)論呢？

設(shè)計(jì)意圖：在建構(gòu)零點(diǎn)概念的這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，我用數(shù)學(xué)文化引入方程的問題，課后鼓勵學(xué)生收集、閱讀方程的歷史資料，撰寫報告。本環(huán)節(jié)通過問題1、2的討論，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識方程，讓學(xué)生理解零點(diǎn)是連接函數(shù)與方程的結(jié)點(diǎn)。嘗試用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的同時，感悟函數(shù)是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，而方程則是動中取靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

歸納總結(jié)：

函數(shù)的零點(diǎn)定義：

對于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

練習(xí)：求下面函數(shù)的零點(diǎn).

1. f（x）=ln（x-2）

2. f（x）=4x-2x-2

3. f（x）=lnx+x-1

歸納總結(jié)：

函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

所以：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)？圳函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)的設(shè)置目的其一：通過求解方程來求零點(diǎn)：其二：對于練習(xí)3雖然無法求解但可以借助函數(shù)圖像及性質(zhì)猜出零點(diǎn)，為后面難點(diǎn)問題的突破做好鋪墊;其三：學(xué)生經(jīng)常將零點(diǎn)寫成坐標(biāo)的形式，教師及時糾正，讓學(xué)生加深對零點(diǎn)定義的理解。

師：以上三個問題中的零點(diǎn)，可以通過直接解方程輕松得到答案，那么對于不能用公式法求根的方程，我們又該如何處理呢？

問題4： 請思考 f（x）=lnx+2x-6是否有零點(diǎn)？如果有，有幾個？

【設(shè)計(jì)意圖】我們知道教科書是利用二次函數(shù)來開展研究的，但是二次函數(shù)的探究只能發(fā)現(xiàn)定理，對于“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)但端點(diǎn)函數(shù)值不一定異號”這一難點(diǎn)問題卻很難突破。于是我改為讓學(xué)生小組合作研究問題4，學(xué)生在探究過程中，出現(xiàn)了如下的解決思路：（1）把函數(shù) f（x）=lnx+2x-6零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=lnx和y=6-2x的圖像交點(diǎn)。（2）利用描點(diǎn)法畫函數(shù) f（x）=lnx+2x-6的圖像再結(jié)合單調(diào)性來求解零點(diǎn)個數(shù)。幫助學(xué)生提升轉(zhuǎn)化與劃歸及數(shù)形結(jié)合的能力.

問題5：函數(shù)y=f（x）需要滿足什么條件，y=f（x）在區(qū)間 （a ，b）上一定有零點(diǎn)？

定理：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a ，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a ，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a ，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

【設(shè)計(jì)意圖】定理探究是本節(jié)課最艱難的環(huán)節(jié)。我設(shè)計(jì)的初衷是這樣的，給出一個不容易求解的方程，探究零點(diǎn)是否存在以及如果有，有幾個的問題。學(xué)生在通過畫圖的過程發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)的變化以后，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑評價，端點(diǎn)函數(shù)值異號是否是存在零點(diǎn)的充分條件，學(xué)生各抒己見最后達(dá)成共識。在探究的過程中也鍛煉了學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)?？梢哉f在高中數(shù)學(xué)中，以“存在”為結(jié)論的定理屈指可數(shù)，學(xué)生對這個定理的理解自然就感覺深奧莫測。于是在定理得出之后呢，我又設(shè)置了一個自由發(fā)問的時間，學(xué)生討論熱烈。

問題6：你對定理的理解還有什么問題？

以下是學(xué)生課堂生成的問題：

1.定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)，則一定有f（a）·f（b）<0嗎？

2.定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x）滿足f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上零點(diǎn)個數(shù)可能是幾？是否一定是奇數(shù)？什么條件下才能確定零點(diǎn)唯一？

設(shè)計(jì)意圖：對于定理的理解，學(xué)生提出了以上問題。在學(xué)生提問，生生互問及教師的追問過程中，學(xué)生的思維非?；钴S，隨機(jī)生成的問題讓課堂變得豐滿和靈動起來。通過師生共同探究對定理有了更加深刻地理解：一方面定理具有一般性，及定理不可逆性，另一方面，教師引導(dǎo)學(xué)生感悟之所以從函數(shù)的角度求解方程，是因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與性質(zhì)為方程的求解推開了一扇窗，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界。在定理探究的討論中提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的能力。

傳統(tǒng)理論課的教學(xué)，一般的處理就是把知識講清楚，讓學(xué)生理解。經(jīng)過幾年的實(shí)踐，我在理論課的教學(xué)中有了一些嘗試。在知識層面上，將已有知識和新知識建立關(guān)聯(lián)，通過問題驅(qū)動，學(xué)生活動，探討知識的生成過程，深入本質(zhì)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律;在能力層面上達(dá)到解決問題、形成規(guī)律;在發(fā)展學(xué)科思維上，達(dá)到舉一反三、遷移到同類或他類學(xué)習(xí)。從知識層面提升到能力，再到思維層面。

即便是教科書上的內(nèi)容，學(xué)生也會提出“為什么”，即便老師告訴學(xué)生這就是定理，學(xué)生也會提出“條件有所改變?yōu)槭裁床豢梢浴钡阮愃朴谶@樣的問題。當(dāng)這一切內(nèi)化為學(xué)生自發(fā)行為的時候，也就超越了課堂教學(xué)本身。

■ 編輯/魏繼軍