基于拓?fù)鋬?yōu)化的金屬反射鏡設(shè)計及增材制造

王沖 ，王強(qiáng)龍 ，2，陳苡生 ，2，劉瑞起 ，劉韜 ，2

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學(xué)院研究生院，北京 100039）

反射鏡作為望遠(yuǎn)鏡中的主要光學(xué)元件，在現(xiàn)代空間及地面光學(xué)測量中被廣泛應(yīng)用。隨著對成像質(zhì)量的要求的提升，望遠(yuǎn)鏡的口徑也隨之增大，由此導(dǎo)致整個系統(tǒng)質(zhì)量的增加、鏡面面型變差等問題。而反射鏡的背部支撐結(jié)構(gòu)是影響反射鏡質(zhì)量、剛度及面型的重要因素之一，合理地設(shè)計背部支撐構(gòu)型可以有效地提升反射鏡的輕量化率和面型精度［1］。另外為了進(jìn)一步提升成像質(zhì)量，對反射鏡鏡面形狀也提出了更多要求，非球面或自由曲面的反射鏡逐漸成為設(shè)計主流［2-4］，這也對設(shè)計和加工能力提出了更多挑戰(zhàn)。

受制造工藝的限制，傳統(tǒng)的反射鏡背部支撐構(gòu)型主要是開放式的，例如設(shè)計周期性分布的輕量化孔，通過改進(jìn)孔的形狀和尺寸來提升結(jié)構(gòu)性能；此類設(shè)計通常依賴于初始結(jié)構(gòu)構(gòu)型，且設(shè)計自由度不夠，性能提升有限；另外一種則是近年來比較流行的基于拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過合理的設(shè)計目標(biāo)函數(shù)和約束條件來獲得剛度更優(yōu)且輕量化率更高的構(gòu)型，該方法的設(shè)計自由度廣，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能上限更高，但是該方法的局限在于所設(shè)計出來的支撐結(jié)構(gòu)通常是封閉或半封閉的，此類結(jié)構(gòu)在傳統(tǒng)機(jī)加工藝下難以制造。若要解決該問題，一種方案是通過限制優(yōu)化自由度或者引入拔模制造性約束來避免此類結(jié)構(gòu)出現(xiàn)［5-6］，另外一種則是采用增材制造技術(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)制備［7-8］。增材制造技術(shù)是通過逐層增加材料的方式來形成結(jié)構(gòu)，該技術(shù)不需要刀具、模具等，所需的工裝、夾具較少，可以大幅縮短制造周期，且能夠制造出傳統(tǒng)工藝難以制備的復(fù)雜零部件，極大地提高了設(shè)計自由度［9］。

基于以上考慮，本文采用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行金屬反射鏡概念設(shè)計，在完成優(yōu)化結(jié)果的幾何提取及重建后，采用增材制造技術(shù)進(jìn)行制備。

1 基于拓?fù)鋬?yōu)化的反射鏡設(shè)計

拓?fù)鋬?yōu)化方法是近二十年逐漸發(fā)展起來的一種新的設(shè)計方法，其基本思想是以特定的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)為目標(biāo)，在給定的設(shè)計域內(nèi)獲得滿足約束條件的最優(yōu)材料分布［10］。采用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行工業(yè)產(chǎn)品的概念設(shè)計，可以獲得更符合力學(xué)特性的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，從而為設(shè)計人員提供更直觀的參考。當(dāng)前一些主流的商用有限元分析軟件，例如Hyperworks、ANASYS、COMSOL等也都集成了拓?fù)鋬?yōu)化功能模塊，這大大降低了設(shè)計人員采用拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行工程設(shè)計的門檻。目前拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在航空航天、汽車、船舶等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用。

目前成熟的拓?fù)鋬?yōu)化方法包括變密度法、水平集方法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法等。本文采用變密度法中的懲罰固體各向同性材料方法（SIMP方法）進(jìn)行金屬反射鏡的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，該方法脫胎于微結(jié)構(gòu)等效的思想，以單元的相對密度作為設(shè)計變量，通過密度由0到1的連續(xù)變化實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞母淖?。和其他方法相比，該方法具有拓?fù)渥冃文芰?qiáng)、概念清晰、易于程序?qū)崿F(xiàn)等優(yōu)點。

1.1 拓?fù)鋬?yōu)化列式

由于反射鏡設(shè)計的目標(biāo)是高剛度和高輕量化率，因此在優(yōu)化模型中重點考慮了結(jié)構(gòu)質(zhì)量、靜剛度和結(jié)構(gòu)基頻等，建立了多因素綜合的目標(biāo)函數(shù)：

其中，K是剛度矩陣；U是位移向量；F是外載荷向量；ρe表示單元相對密度；NE是總單元個數(shù)；Ve為單元體積；是要求的體積上限；ρmin為單元相對密度的下限值；λj=為第 j階特征值；ωj是第j階特征頻率，且有0<ω1≤ω2≤… ≤ωJ；?j是第j階特征向量；M是質(zhì)量矩陣。

1.2 優(yōu)化模型及最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)?/h3>

反射鏡的初始設(shè)計區(qū)域及離散后的網(wǎng)格如圖1所示。為保證結(jié)構(gòu)及網(wǎng)格的周期對稱性，將設(shè)計進(jìn)行了圓周方向上的等角度分割，同理，為了保證最優(yōu)結(jié)構(gòu)的圓周對稱性，網(wǎng)格也是圓周對稱分布的。有限元分析時采用四面體常應(yīng)變單元進(jìn)行劃分，由于網(wǎng)格的疏密會直接影響優(yōu)化過程的收斂以及最優(yōu)結(jié)構(gòu)構(gòu)型，采用較為細(xì)密的網(wǎng)格進(jìn)行劃分可以獲得相對更光滑的結(jié)構(gòu)。最終設(shè)計域劃分后的單元數(shù)目為526 800個，節(jié)點數(shù)目為116 640個。

圖1 初始優(yōu)化模型

此次優(yōu)化選取的體積分?jǐn)?shù)上限為0.1，為了避免棋盤格以及網(wǎng)格依賴性問題，采用密度過濾法對設(shè)計變量進(jìn)行過濾。在當(dāng)前有限元網(wǎng)格下對模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化效率主要由迭代步數(shù)以及每一步的有限元分析的效率決定，而有限元分析的效率則主要由網(wǎng)格密度決定，在完成近50步優(yōu)化迭代后目標(biāo)函數(shù)收斂，且約束條件滿足，最終優(yōu)化結(jié)果及目標(biāo)迭代曲線如圖2和圖3所示。

圖2 最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)?/p>

圖3 目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化迭代曲線

1.3 反射鏡概念構(gòu)型提取及詳細(xì)設(shè)計

由于該反射鏡優(yōu)化過程是基于SIMP方法實現(xiàn)的，其最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)涫峭ㄟ^密度由0到1分布的像素點（單元）呈現(xiàn)的。受網(wǎng)格質(zhì)量及疏密程度的影響，結(jié)構(gòu)拓?fù)浔砻娲嬖诓还饣那闆r。通過密度過濾可以一定程度解決結(jié)構(gòu)不光滑問題，另外借助軟件的后處理功能也可對模型進(jìn)行光滑化操作。由于數(shù)值計算的不穩(wěn)定性以及單元密度截斷的問題，最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓趫A周方向上存在不對稱的情況，且鏡面局部區(qū)域沒有材料，模型提取后無法直接制造，須以該模型為基礎(chǔ)進(jìn)行重建。

本文采用的模型設(shè)計原則盡量以長方體、圓柱、球等規(guī)則幾何作為建模的基本要素。在保證高近似度的前提下，球面鏡背部支撐結(jié)構(gòu)均使用不同尺寸的圓截面的梁進(jìn)行替代，鏡子背面去除了多余的細(xì)節(jié)，僅保留了光滑的球面。

為了提高結(jié)構(gòu)的輕量化率且充分利用增材制造的優(yōu)勢，對其背部支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一定的簡化及輕量化設(shè)計，將原本的18根支撐桿減為9個，并將支撐桿的內(nèi)部設(shè)計為空心結(jié)構(gòu)。所有幾何要素的連接區(qū)域均進(jìn)行倒圓角處理。最終獲得的CAD模型如圖4所示。

圖4 拋物面反射鏡CAD模型

重建后的模型基本信息如表1所示。鏡面形狀采用的是拋物面，式（3）為其面型表達(dá)式。

表1 模型的幾何信息

其中，z方向為反射鏡軸線方向；x-y平面為垂直于z方向的平面；原點坐標(biāo)位于拋物面的頂點上。

該反射鏡采用增材制造技術(shù)進(jìn)行制備，與球面反射鏡相比，在設(shè)計與制備過程中并沒有增加額外的難度或工作量。理論上，無論是拋物面、雙曲面還是其它自由曲面，在給出幾何尺寸精確的CAD模型后，均可以通過增材制造技術(shù)來制備。

2 有限元分析

依據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計后，最終反射鏡模型和原優(yōu)化模型存在一定的差異，為確保其剛度性能仍滿足需求，須重新進(jìn)行有限元分析驗證。具體分析步驟包括幾何模型清理、網(wǎng)格劃分、邊界條件的施加、提交計算以及面型提取等。為了保證其動、靜態(tài)剛度均符合要求，在施加合理約束條件下，須對其不同觀測角度時的1 g的重力變形及其固有模態(tài)進(jìn)行分析。

反射鏡在工作狀態(tài)時，約束條件由背部安裝形式來決定，所受載荷主要為重力載荷，在不同觀測角度時，鏡面變形情況也有所區(qū)別，因此通常考慮多個角度下的鏡面變形情況，例如0°（水平）、45°、90°（指向天頂）即可。在有限元計算完成后，須提取鏡面的節(jié)點位移值，計算其面型精度值。為了驗證反射鏡的動態(tài)剛度，避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)共振，需進(jìn)行自由狀態(tài)下的模態(tài)分析，獲得其前幾階自由狀態(tài)下的固有模態(tài)值以及振型圖，若低階模態(tài)數(shù)值較低，說明結(jié)構(gòu)動態(tài)剛度較差，須結(jié)合低階振型圖特點進(jìn)行模型的改進(jìn)，提高其動態(tài)剛度。

有限元分析前，須首先確定金屬反射鏡的基底材料。目前反射鏡的常用金屬材料有鈹、鋁合金、因瓦合金等［6］，其中鈹與鋁合金的比剛度較高，但是鈹本身具有毒性，制造過程中需考慮安全防護(hù)，另外，目前成熟的金屬增材制造技術(shù)的原材料以鋁合金和鈦合金為主。綜上考慮，本文選取鋁合金材料作為該金屬反射鏡的制備材料。

重力工況下在三種觀測角度下的變形云圖如圖5所示，通過對該云圖中節(jié)點位移值的提取和分析，獲得三種重力工況下對應(yīng)的面型RMS值及PV值，如表2所示。根據(jù)當(dāng)前計算結(jié)果，在這三種觀測角度的重力載荷下，鏡面面型RMS值不大于1/30λ（λ=632.8 nm）。

圖5 鏡面變形云圖

表2 重力工況下的反射鏡鏡面變形誤差

為了校核該反射鏡的動態(tài)剛度，對其自由模態(tài)進(jìn)行了分析。分析結(jié)果如表3所示。1階固有頻率為1 705.2 Hz，在常規(guī)工作環(huán)境下不存在共振風(fēng)險。另外，由于背部支撐結(jié)構(gòu)的對稱性的特點，前四階固有頻率均是重頻的，1、2階固有頻率一致，3、4階固有頻率一致。相應(yīng)地，振型也具有一定的對稱性，如圖6所示。

表3 反射鏡自由模態(tài)下的固有頻率

圖6 反射鏡自由模態(tài)振型圖

3 基于增材制造的反射鏡制備

傳統(tǒng)的制造技術(shù)一般通過削減材料來獲得理想形狀的部件，因此可統(tǒng)稱為減材制造，與此相反，增材制造是通過駐點、逐層地累積材料形成三維實體結(jié)構(gòu)。該技術(shù)的優(yōu)勢是可以直接輸入三維的CAD模型進(jìn)行生產(chǎn)制造，不需要工具和模具，沒有轉(zhuǎn)換成本；以數(shù)字文件的形式進(jìn)行設(shè)計，方便進(jìn)行修改和定制；可以進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)的制造，例如自由形式的封閉結(jié)構(gòu)和通道等均可以實現(xiàn)。該工藝的可加性一方面可以節(jié)約材料，另外還可重復(fù)利用制造過程中產(chǎn)生的廢料。

采用激光選區(qū)熔化技術(shù)進(jìn)行金屬反射鏡的制造，使用的金屬粉末為AlSi10Mg，表面粗糙度可達(dá)Ra30～ 50，致密度控制在98%以上，如圖7所示。

圖7 增材制造鋁合金反射鏡

4 結(jié)論

本文提出了一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的金屬反射鏡及支撐結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計方案，并通過仿真及增材制造技術(shù)驗證了該方案的可行性。該設(shè)計方案建立了以結(jié)構(gòu)柔度和一階模態(tài)的加權(quán)值最小為目標(biāo)、體積分?jǐn)?shù)上限為約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型，考慮到增材制造的優(yōu)勢，模型中未加入拔模約束。結(jié)合COMSOL軟件及其二次開發(fā)功能對該模型進(jìn)行優(yōu)化分析，最終獲得了與傳統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)不同的半封閉支撐反射鏡。結(jié)合本文提出的設(shè)計準(zhǔn)則對優(yōu)化所得概念模型進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計，在繼承原有特征的基礎(chǔ)上采用了一些輕量化設(shè)計手段。隨后采用有限元方法對該反射鏡在不同重力工況下的結(jié)構(gòu)面型以及固有模態(tài)進(jìn)行了分析，確保該反射鏡的剛度及模態(tài)滿足需求。后續(xù)通過了增材制造技術(shù)對反射鏡進(jìn)行了制備，初步驗證了本文所提方法的可行性，下一步工作將對優(yōu)化設(shè)計模型進(jìn)行改進(jìn)，探索全封閉支撐反射鏡設(shè)計的可能性及構(gòu)型，且對增材制造反射鏡的后續(xù)面型加工等步驟進(jìn)行進(jìn)一步實踐檢驗。本文所提出的方法也為未來大口徑金屬反射鏡的輕量化設(shè)計提供了新的思路。