格點量子色動力學蒸餾算法中關聯(lián)函數的計算優(yōu)化*

張仁強 蔣翔宇 俞炯弛 曾充 宮明 徐順

1) (中國科學院高能物理研究所理論物理研究室, 北京 100049)

2) (浙江大學高分子科學與工程學系, 杭州 310058)

3) (浙江大學計算機科學與技術學院, 杭州 310058)

4) (中國科學院計算機網絡信息中心, 北京 100190)

5) (中國科學院大學物理科學學院, 北京 100049)

格點量子色動力學(格點QCD)是一種以量子色動力學為基礎, 被廣泛應用于強相互作用相關計算的理論, 作為一種可以給出精確可靠理論結果的研究方法, 近年來隨著計算機能力的提升, 正在發(fā)揮著越來越重要的作用.蒸餾算法是格點QCD中計算強子關聯(lián)函數的一種重要數值方法, 可以提高所計算物理量的信噪比.但用它來構造關聯(lián)函數時, 同樣面臨著數據量大和數據維數多的問題, 需要進一步提升計算效率.本文開發(fā)了一套利用蒸餾算法產生夸克雙線性算符的關聯(lián)函數的程序, 利用MPI (message passing interface,消息傳遞接口, https://www.open-mpi.org), OpenMP (open multi-processing, 共享存儲并行) 和SIMD (single instruction multiple data, 單指令多數據流)多級別優(yōu)化技術解決其中計算性能瓶頸問題.對程序進行了多方面的測試, 結果表明本文的設計方案能夠支持大規(guī)模的計算, 在強擴展性測試下512個進程并行計算仍能達到70%左右的效率, 大大提升了計算關聯(lián)函數的能力.

1 引 言

在自然界中有四種基本相互作用: 電磁相互作用、弱相互作用、強相互作用、引力相互作用, 它們決定了目前所知世界的物質運動規(guī)律.比如摩擦力實際上是電磁相互作用的宏觀效果; 而強相互作用決定了強子的基本性質, 如強子的質量[1]、衰變寬度[2]、形狀因子[3]等, 同時將質子和中子結合在一起組成原子核的核力, 實際上是剩余強相互作用,這種力決定了原子核的聚變和裂變以及質量等性質[4,5].因此研究強相互作用具有非常重要的意義.描述強相互作用的理論是量子色動力學(quantum chromodynamics, QCD)[6], 這種理論與電磁相互作用不同, 它在低能標是強耦合的, 這意味著無法用微擾展開的方式去近似計算強子的低能性質.目前也發(fā)展出了一些研究低能QCD的方法, 如手征微擾論[7]、大Nc展開法[8]等, 這些方法都對理論做了一定程度的修改, 都依賴于模型.而格點QCD則完全不需要任何的模型假設, 它直接從QCD出發(fā), 利用蒙特卡羅方法進行可靠的數值模擬[9].

格點QCD計算應用需要借助大規(guī)模計算來實現(xiàn)組態(tài)的計算模擬, 需要巨大的高性能計算資源支撐, 其計算密集型和數據密集型特征對高性能計算技術的發(fā)展提出了不少挑戰(zhàn).格點QCD是未來美國E級計算機的主要應用之一[10], 格點QCD在我國E級超算的應用還處于探索階段, 有些算法方面的移植優(yōu)化工作[11].

在格點QCD中, 通常需要計算如下形式的量[12]:

其中, S [U] 表 示QCD的作用量, U (t,x) 是規(guī)范場,Oobserve代表任意可觀測量.在歐幾里得時空中, 可以將(1)式理解為簡單的抽樣模型

然后 用 蒙特 卡羅 方 法 去 模擬, 將 ρ (x) 理解 為概 率幅.只要產生一組滿足 e-S[U]分布的規(guī)范場 U (t,x) ,任意一個可觀測量 Oobserve就是在這一組規(guī)范場上的統(tǒng)計平均值, 并且可以有效地估計其誤差.本工作研究的可觀測量為夸克雙線性算符的兩點關聯(lián)函數:

為了得到更好的統(tǒng)計精度, 近似地計算全傳播子, 有人提出了蒸餾算法[16,17].這種算法在近似計算全傳播子時需要的存儲空間比傳統(tǒng)方法小很多,還可以很方便地進行算符構造, 即便在結束傳播子的計算之后, 仍然可以改變涂摩(smear)[18,19]波函數, 提供了算符構造[20]更多的自由空間.蒸餾算法把傳播子的計算轉換到拉普拉斯算符的本征空間.本征方程表示為其中

Nv表示采用本征矢量的個數, Nv越大, 對拉普拉斯算符的近似越好, 也就越接近于計算全傳播子.f(λc) 是一個關于本征值的函數.在蒸餾算法中只需要保存本征值、本征矢量和約化傳播子(perambulator):

另外, 蒸餾算法在進行算符構造時, 只需要對本征矢量的內積進行操作, 不需要去更改約化傳播子.這意味著, 只需要計算一次約化傳播子, 便可以重復地利用; 配合上對本征矢量的各種操作, 就可以構造各種各樣的算符.這種靈活性和復用性是傳統(tǒng)方法不具備的; 而且非連通部分的計算可以直接利用連通部分的中間結果, 不需要進行額外的計算.因此, 蒸餾算法具有很多傳統(tǒng)方法無法企及的優(yōu)勢.

雖然蒸餾算法有很多優(yōu)點, 但是組合約化傳播子和拉普拉斯算符本征系統(tǒng)來構建關聯(lián)函數過程的計算復雜度正比于將 Nv=10 和Nv=100 進 行 對 比, Nv=100 的 計 算 復 雜 度 是Nv=10 的10000倍.而越是精確的計算越是要求Nv要足夠大, 因此并行計算以及相應的優(yōu)化是很有必要的.我們根據蒸餾算法的特性, 開發(fā)實現(xiàn)了一套利用約化傳播子和拉普拉斯算符本征系統(tǒng)計算關聯(lián)函數的程序, 并進行了多方面的計算優(yōu)化和測試.

本文將探討蒸餾算法中利用約化傳播子和拉普拉斯算符本征系統(tǒng)計算夸克雙線性算符的關聯(lián)函數的實現(xiàn)方法, 結合算法的計算特點提出了代碼優(yōu)化的設計方法, 以提高關聯(lián)函數的計算效率.首先介紹通過蒸餾算法構造關聯(lián)函數的基本原理; 其次介紹具體的程序優(yōu)化方案; 在第3部分, 給出了測試結果和分析; 最后在第4部分進行總結.

2 核心算法

為了降低問題的復雜性, 以關聯(lián)函數的連通部分為例, 解釋如何利用蒸餾算法計算關聯(lián)函數并且優(yōu)化程序.非連通部分的關聯(lián)函數的計算可以利用連通部分的計算中間結果得到, 因此只對連通部分進行討論.

在格點QCD計算中, 通過蒸餾算法構造介子連通部分關聯(lián)函數的形式[16]為

其中 c1,c2,c3,c4均為對拉普拉斯算符本征值和本征矢量序號的標記. Nv表示本征矢量的個數.α,β,γ,κ 均為物理學中的旋量指標, 它們的取值范圍為 { 0,1,2,3} . A ,B 標記著物理上的不同算符, 每兩個具有相同量子數的算符就可以用來構造關聯(lián)函數, 它們會在不同的哈密頓量本征態(tài)上有不同的投影, 對應著不同的能量.記關聯(lián)函數矩陣[21]為

Nop表示關聯(lián)函數矩陣的維數.(6)式中Φ和τ的表達式為

x ,ω 均為空間指標.通常τ被稱為約化傳播子, 它是拉普拉斯算符本征空間的傳播子, 對應傳統(tǒng)算法的傳播子. a ,b,c,d 標記的是物理學中的色指標, 它的取值范圍是 { 0,1,2} .Φ的不同定義決定了算符的量子數, 對應到真實世界中的不同粒子.實際上,(7)式中的G就是傳統(tǒng)方法中的傳播子, 可以看到由于本征矢量與傳播子的空間指標和色指標進行了求和收縮合并, 使得τ和Φ只剩下了表示本征矢量的指標、時間的指標和旋量的指標.注意e-σλc1這一項由格點QCD中的涂摩算法給出. λc1表示第 c1個本征矢量的本征值, 其值越大, 該本征矢量對關聯(lián)函數的貢獻就越小, 因此通常選取 Nv個最小的本征值對應子空間來近似計算全傳播子.

通過蒸餾算法計算關聯(lián)函數的步驟如圖1, 首先解拉普拉斯算符的本征值和本征矢量; 再利用本征矢量, 計算τ, 并保存以便重復使用; 根據研究的需要利用本征矢量和本征值構造Φ; 最后按照(6)式, 利用Φ和τ計算相應的關聯(lián)函數.本文工作主要涉及后兩步.計算λ, v, τ的過程只需進行一次.在后續(xù)的計算中根據不同的研究需要, 對本征矢v進行相應的操作再與約化傳播子τ進行縮并可以構造出相應的關聯(lián)函數.重復利用λ, v, τ.相較于傳統(tǒng)方法在每次進行算符構造時都需要進行傳播子求解, 蒸餾算法構造算符更加方便, 在有了約化傳播子和本征值、本征矢量后, 計算關聯(lián)函數更經濟.同時, 由于產生約化傳播子的過程與構造算符的過程相對獨立, 蒸餾算法可以在研究課題沒有確定的情況下, 不斷利用可用的計算資源產生約化傳播子和本征值、本征矢量, 合理利用資源.

圖1 利用蒸餾算法計算關聯(lián)函數的流程Fig.1.The procedure of computing correlators via distillation method.

(8)式中Φ的計算實際上可以分解為兩部分,Φ=ΦC?ΦG. ΦC代表拉普拉斯本征空間的計算,ΦG代表旋量空間相關的計算. ΦC和 ΦG的計算是互相獨立的, 并且 ΦG是一些常數矩陣的組合, 不需要額外進行計算.在程序計算時, 將 ΦG固定在程序內部, 可變的 ΦC由外部文件讀入, 然后在根據需要將 ΦC和 ΦG通過一定方式組合起來得到所需的具有確定量子數的Φ.

本征矢量的個數 Nv的取值影響著物理信號,通常需要 Nv足夠大以便于對盡可能多的情況保持良好的信號, 而蒸餾算法從約化傳播子計算關聯(lián)函數的復雜度雖然相比傳統(tǒng)方法計算一個全傳播子的關聯(lián)函數的計算量要小很多, 但仍然需要處理次乘法.通常 Nop的取值是 O (10) 級別, Nv是 O (100) 級 別, Nt也是 O(100)級別.

為加速計算, 在進程級別、線程級別和指令集級別分別進行了算法的計算優(yōu)化.

3 優(yōu)化方案

對(6)式進行計算約化, 以減少不必要的計算開銷.結合蒸餾算法計算的特性, 選擇時間維度上的切片操作, 切割后的數據處理相對獨立, 使用MPI多線程方式實現(xiàn)時, 避免了數據通信成為瓶頸的可能; 另外高維約化傳播子和Φ的數據被劃分到多個計算節(jié)點上處理, 也避免了單個計算節(jié)點的內存容量限制.為了進一步提高計算并行度, 在MPI進程中, 實現(xiàn)了基于共享內存特性的線程級并行計算, 最大可能地提升了計算節(jié)點中資源的利用率.最后, 由于涉及到大量復雜的復數運算操作,開展了數據結構的矢量化適配, 實現(xiàn)了SIMD指令級的并行計算.

3.1 計算約化

關聯(lián)函數計算表達式(6)式變形成

注意到括號中的 c2和β指標下的部分計算用T矩陣表示, 那么關聯(lián)函數可以寫成

在計算關聯(lián)函數之前, 可以先計算出T矩陣, 然后利用它來計算不同的關聯(lián)函數.因為T的計算量∝Nop×Nv, 于是關聯(lián)函數的計算量可見計算復雜度比原來小很多, 在 Nv和 Nop越大時越明顯.實現(xiàn)計算約化后的程序流程如圖2.

圖2 含計算約化的關聯(lián)函數計算的流程.其中 T A 和TB 表示兩個中間計算量.利用中間量的計算減少了總體的計算量, 讓計算量從 變成 極大地減少了計算量Fig.2.The flowchart of computing correlation function.TA and T B are two intermidiate quantities.After introducted intermediate quantities, the computation consumption is highly reducted to

3.2 進程和線程級優(yōu)化

注意到關聯(lián)函數的計算關于各個時間片t和 t′獨立, 因此選擇對時間維度進行切分, 這樣就能夠在各個進程進行獨立的計算, 完成各個t, t′所負責的那部分數據進行收縮合并, 無需考慮通信開銷.程序實現(xiàn)是選擇MPI并行計算方式, 每個MPI進程負責各個獨立的時間片, 在MPI進程中進一步啟用OpenMP線程共享內存的并行計算, OpenMP多線程沒有跨計算節(jié)點的通信, 因此不會增加節(jié)點間通信.

在程序實現(xiàn)時, 選擇依次對t和 t′切分.先對t進行切分, 當進程數大于 Nt時再考慮對 t′進行切分.以 Nt=128 為例, 如果進程數等于64, 那么第一個進程就要計算 t =0,1 , t′=0,1,···,127 的關聯(lián)函數, 第二個進程就要計算 t =2,3 , t′=0,1,···,127 的關聯(lián)函數的數據.如果進程數等于256, 那么第一個進程就要計算 t =0 , t′=0,1,···,63 的關聯(lián)函數, 第二個進程就要計算 t =0 , t′=64,65,···,127 的數據, 以此類推.這樣進行劃分的另外一個優(yōu)勢是, 由于關聯(lián)函數具有隨 t′指數衰減的性質,以及對于t具有平移不變性, 可以利用這兩個性質來檢查計算結果的正確性.

由于約化傳播子τ以及Φ的維度 ∝ Nv2, 當 Nv的取值接近1000, Nt=128 時, 按雙精度存儲,τ的數據量大約1 TB, 因此在MPI實現(xiàn)時使用并行IO的數據讀入方式, 并行IO也是按時間片劃分方式, 和MPI并行計算方案保持一致.注意到Φ只有一個時間指標, 而τ有兩個時間指標.在實際計算中, 當并行進程數 Np≤Nt時, 只對τ其中一個時間指標進行切分, 分配到各個進程上去, 而Φ不切分; 當并行進程數 Np＞Nt時, 同時對τ的兩個時間維度進行切分, 而切片τ的計算只依賴部分Φ, 即每個并行進程上都只需Φ的部分矩陣元,因此Φ切片依賴于τ的切分方式.其流程如圖3所示.

圖3 按照時間切分實現(xiàn)并行計算的方式, 根據 N p 與 Nt的相對大小, 由于數據的特性, 對τ和Φ按情況采用不同的切分方法.Fig.3.Data sgemented according to time.Two conditions are considered which decided how τ and Φ are treated because of the feature of data.

3.3 指令級優(yōu)化

在計算中, 考慮到形如

的張量縮并過程, 可以將其簡化為與縮并指標相對應的矩陣乘法.上述的兩個表達式都可以看作形如(4Nv,4Nv) 的矩陣乘法.如將原本按照 (4,4,Nv,Nv)行優(yōu)先存儲的數據轉換為 ( 4Nv,4Nv) 行優(yōu)先存儲的格式, 那么可得如下的計算方式:

行優(yōu)先存儲格式下按(13)式作矩陣乘法時, B矩陣無法實現(xiàn)連續(xù)的內存訪問, 因此將B矩陣轉置, 計算變?yōu)?/p>

則計算中在循環(huán)k時可以內存連續(xù)地訪問矩陣的元素.

在計算中, 每個數字實際上是復數, 而由于復數乘法規(guī)則復雜, 在不更改數據排列的情況下,編譯器無法保證利用SIMD矢量運算提升復數計算性能.因此將矩陣的實部和虛部分離存儲,利用運算法則將1個復矩陣的乘法分解為4個實矩陣乘法和2個實矩陣加法, 形式為 Re(AB)=Re(A)Re(B)-Im(A)Im(B) , Im(AB)=Re(A)×Im(B)+Im(A)Re(B) .

在上述調整下, 變量的內存訪問具有連續(xù)性,有助于編譯器自動完成SIMD矢量計算優(yōu)化.通過確認編譯得到的匯編代碼, 編譯器確實啟用SIMD矢量運算指令.當然, 也根據測試平臺手動調用SIMD相關函數和指令實現(xiàn)了計算, 經過測試相比編譯器自動優(yōu)化提升不到10%, 考慮到硬編碼的繁瑣之處和兼容問題, 我們最終采用的方式是修改數據格式和實現(xiàn)復數計算后, 通過編譯器自動優(yōu)化完成SIMD向量化.

4 測試結果

為測試 加速效果, 在 Nt=128 , Ns=16 的格子上進行測試.組態(tài)的海里只包含兩味粲夸克.計算過程中采用雙精度. a-t1=9.6Gev .分別對SIMD,MPI, OpenMP的加速效果進行測試, 并對物理計算的結果進行展示.

4.1 SIMD計算加速測試

為了驗證SIMD計算加速效果, 選擇一個含有Nv=10 個本征向量的算例, 按照(9)式來計算關聯(lián)函數矩陣( 5 ×5 維).測試的處理器支持FMA和AVX SIMD指令集.該CPU處理器包含8個物理核心, 可通過超線程技術實現(xiàn)的16進程并行.計算時對整個流程按步驟分別計時, 具體步驟包括: 初始化、數據IO讀取、計算T中間量、利用T矩陣計算關聯(lián)函數.為了實現(xiàn)使用SIMD優(yōu)化效果, 還對照測試了直接調用標準庫中的復數計算函數的程序設計.按步驟計時的結果如圖4, 使用SIMD前后計算性能如圖5.

圖4 使用SIMD優(yōu)化前后各階段耗時對比.I/O代表圖1中第一步和第二步的時間, Calc.prepare代表圖1中第三步的時間, Calc.result代表圖1中第四步的時間, Others代表圖1中第五步的時間, Init代表程序初始化的時間.圖例SIMD表示啟用了AVX形式的SIMD計算性能, 而Complex表示程序直接調用標準庫中的復數計算函數(此處未使用SIMD計算).其中16個MPI進程并行計算的結果是在超線程計算狀態(tài)下獲得Fig.4.The cost of time of program's each part to see the effects of SIMD.I/O labels the time of first step and second step in Fig.1, Calc.prepare labels the time of the third step in Fig.1, Calc.result labels the time of the fourth step in Fig.1, Others labels the time of the fifth step in Fig.1.Init labels the time of initialization.SIMD in the picture means SIMD optimization was adopted and Complex in the picture means the stdandard library of complex computation was used.And hyper-threading technology was used for 16 MPI process.

圖5 使用SIMD優(yōu)化前后性能對比.圖例SIMD表示啟用了AVX形式的SIMD計算性能, 而Complex表示程序直接調用標準庫中的復數計算函數(此處未使用SIMD計算).其中, 在SIMD啟用時16個超線程計算結果未參與數據擬合Fig.5.The cost of time of program's each part to see the effects of SIMD.SIMD in the picture means SIMD optimization was adopted and Complex in the picture means the stdandard library of complex computation was used.And hyper-threading technology was used for 16 MPI process.

程序在啟用SIMD指令后, 在不考慮超線程的時, 運行時間變?yōu)樵瓉淼?/4.Calc.prepare的時間變?yōu)樵瓉淼?/6.Calc.prepare是程序的熱點, 此處計算程序中間量, 計算時間隨Nv的變化最明顯.

4.2 OpenMP計算加速測試

現(xiàn)測試OpenMP計算加速效果, 沿用了上一節(jié)測試的算例, 處理器開啟CPU的超線程, 并關閉SIMD加速.同樣按步驟計時的測試結果如圖6.

圖6 使用OpenMP優(yōu)化前后耗時對比.圖例如圖4.圖例Serial表示串行版本, 即未開啟OpenMP多線程和MPI多進程Fig.6.The effects of OpenMP optimization was showed.Legends are the same as 4.Serial lables the results of serial program which means no OpenMP and MPI was adopted.

從結果可見, 程序采用OpenMP線程加速方式有性能提升, 使用16個超線程加速相對單核獲得了約10倍的加速.同時采用OpenMP線程的計算效率與采用MPI進程的計算效率幾乎相同.

4.3 MPI強擴展性測試

為了測試MPI并行計算的強擴展性, 選擇一個含有 Nv=100 個本征向量的大算例, 此時輸入文件體積達到40 GB, 采用不同的計算核數分別按照(9)式來計算關聯(lián)函數矩陣( 5 ×5 維).測試的處理器支持FMA和AVX SIMD指令集, 最大MPI進程達到512個.同樣按初始化、數據IO讀取、計算T中間量、利用T矩陣計算關聯(lián)函數等步驟計時.結果如圖7.MPI并行的效果明顯, 適合大規(guī)模并行.MPI進程數的增加, 效果體現(xiàn)在Calc.prepare部分, 也就是(11)式中間量的計算加速效果最明顯.由于各部分加速的效果不同, 當512個進程時,Calc.prepare的計算時間與I/O的時間差別不大.I/O隨進程數的變化時間改變并不明顯, 耗時可以忽略.

圖7 MPI并行強擴展性測試.隨著MPI進程數增加, 計算時間成比例減少.圖例如圖4Fig.7.MPI parallelism in strong scale tests.The cost time decrease with MPI process numbers.Legends are the same as Fig.4.

計算程序在強擴展性測試中的并行計算效率如圖8, 從結果可見, 總體并行計算效率很高, 在512個進程的情況下仍能達到70%左右的效率.因此程序適合大規(guī)模計算加速.

圖8 MPI并行強擴展性測試，不同MPI進程數的測試相對于16個進程的計算效率Fig.8.MPI parallelism in strong scale tests.The efficiency of strong scale tests compared with 16 MPI processes.

4.4 MPI弱擴展性測試

為了測試MPI并行計算的弱擴展性, 選擇幾個不同規(guī)模的算例, 其進程數分別為 Np=2,16,128,1024 , 關聯(lián)函數矩陣維度仍然為 5 ×5 .測試的處理器支持FMA和AVX SIMD指令集, 對不同算例等比例使用不同規(guī)模的并行進程數, 使得理論上每個進程的負載相同.按步驟計時的結果如圖9,忽略I/O部分, 其他部分表現(xiàn)良好.但I/O部分當進程數等于1024時, 耗時出現(xiàn)了明顯的增加, 并與熱點部分(Calc.prepare)的耗時可比.這受限于硬件的性能.在當前測試中, 當 Np≤128 時程序在弱擴展性測試中的并行效率較高, 但 Np=1024 的大規(guī)模測試中展現(xiàn)出了一個因系統(tǒng)資源限制產生的問題, 由于磁盤帶寬是一定的, I/O請求數激增, I/O部分時間大大增加, 甚至超過計算中間變量T矩陣(Calc.prepare)部分成為了新的熱點; 但并行I/O能夠解決串行讀入數據時內存不足的問題.由于計算量是隨著 Nv的三次方增加的, 而數據量大小是隨著 Nv平方增加的, 這會導致如果要維持每個進程的計算量不變相應的數據量就會變少, 讀入的數據會隨著 Nv的增加而變得零碎, 最終受限于I/O.

圖9 MPI并行弱擴展性測試. N p 表示使用的并行進程數, N v 表示本征向量數.圖例說明同圖4Fig.9.MPI parallelism in weak scale tests. N p represents the number of process, N v represents the number of eigenvectors.Legends are the same as Fig.4.

4.5 物理結果

為了檢驗結果的正確性, 對物理結果進行了測試.構造了三個JPC量子數為 0-+的算符, 分別計算它們的關聯(lián)函數并分析有效質量,這里 C (t) 表示某種量子數算符的關聯(lián)函數.通過比較這三個算符所得的關聯(lián)函數的有效質量, 在時間片比較大的時候趨于同一個平臺, 與傳統(tǒng)方法所得結果一致, 見圖10.

圖10 做變分前的結果.在時間比較小時, 三個算符得到的有效質量的行為有很大差別, 證明在不同態(tài)的投影是不同的, 意味著變分會有一定的效果.在時間較大時, 三個算符的有效質量趨于同一平臺, 說明它們的量子數是相同的,可以用來變分.traditional method表示第一個算符通過傳統(tǒng)方法所得到的有效質量, 作為蒸餾算法的參照Fig.10.Results before variation.The behaviors of the effective mass of these three operators are very different and it means variational analysis would give good results.When time is large enough, these three operators approach to the same plateau so that they should have the same quantum numbers.traditial method label the effective mass of first operator throgh traditional mehtod, which can is matched with distillation method.

因為三個算符在不同本征能量態(tài)上的投影有很大不同, 如果中間計算沒有錯誤, 通過變分分析[21]可以近似得到三個主要投影到最低的三個能量本征態(tài)的算符, 變分方程如下:

變分后, 可以得到本征矢 Vi, 對應第i個態(tài) mi,將 CA,B與 Vi組合, 可以得到對應到相應態(tài)的關聯(lián)函數

并且利用這三個算符所計算出的有效質量要能夠相互區(qū)別開, 在時間片比較大的時候趨于不同的平臺.因此可以此來驗證計算的正確性.

利用上述三個算符構造關聯(lián)函數矩陣, 做變分分析, 得到如圖11所示的結果.變分后得到三個不同的態(tài), 分別對應著基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài).利用變分本征矢量組合后的關聯(lián)函數所得的有效質量在時間較大時, 分別趨于不同的平臺, 證明變分將原來的三個算符分別組合成了三個主要投影到最低三個態(tài)的優(yōu)化算符.第二激發(fā)態(tài)的信號略差.變分效果明顯, 再次驗證了結果的正確性.

圖11 做變分后的結果Fig.11.Results after variation.

5 結論與展望

本文圍繞格點QCD蒸餾算法中關聯(lián)函數的計算優(yōu)化問題, 提出了一套加速程序計算的有效解決方案, 結合理論分析采用了MPI, OpenMP和SIMD多級別的計算優(yōu)化技術.文中首先介紹了蒸餾算法中關聯(lián)函數計算中各個模塊的優(yōu)化設計, 并對程序的性能進行了多方面的分析和測試.實驗結果表明蒸餾算法計算關聯(lián)函數效率的顯著提升, 并且驗證了物理結果的正確性.