多目標(biāo)優(yōu)化的艦船磁場(chǎng)建模方法*

戴忠華 周穗華 張曉兵

(海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院504教研室, 武漢 430033)

針對(duì)艦船磁場(chǎng)混合模型建模中存在的建模精度不高和穩(wěn)定性差的問(wèn)題, 提出一種高精度穩(wěn)定模型建立方法, 結(jié)合混合模型中磁偶極子參數(shù)與艦船結(jié)構(gòu)的相關(guān)性, 以建模精度和模型穩(wěn)定性為目標(biāo)構(gòu)造了多目標(biāo)函數(shù), 通過(guò)對(duì)多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化獲得合理的磁偶極子參數(shù), 間接地將建模求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.利用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解, 得到了建模問(wèn)題求解結(jié)果的可選集, 以建模精度為基準(zhǔn)設(shè)計(jì)了從可選集中選取最佳結(jié)果的選擇規(guī)則.三種類(lèi)型的艦船船模實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模結(jié)果表明: 本文方法所建模型相對(duì)誤差小于3%, 換算誤差小于6%, 能夠有效對(duì)艦船磁場(chǎng)進(jìn)行建模; 當(dāng)存在測(cè)量數(shù)據(jù)誤差時(shí), 本文方法建模求解結(jié)果穩(wěn)定,驗(yàn)證了文本方法建模具有較好的穩(wěn)定性.海上的某型艦船實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模結(jié)果表明, 本文方法建模具有較高的建模精度和換算精度, 能夠有效地在相關(guān)的工程中應(yīng)用.

1 引 言

艦船目標(biāo)通常由鋼鐵材料制成, 受到地磁場(chǎng)的磁化會(huì)產(chǎn)生艦船磁場(chǎng), 當(dāng)艦船目標(biāo)進(jìn)入某一地磁場(chǎng)區(qū)域時(shí), 會(huì)造成該區(qū)域的磁場(chǎng)異常[1,2], 水中兵器正是利用該磁異常實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的探測(cè)和定位[3-11].為了提高艦船的防御能力, 艦船磁隱身技術(shù)成為各國(guó)研究的熱點(diǎn), 艦船磁場(chǎng)空間分布特性的獲取是艦船磁隱身技術(shù)研究的前提和關(guān)鍵.高精度的艦船磁場(chǎng)建?？梢垣@取精確的艦船磁場(chǎng)空間分布特性, 通常, 艦船建模需要測(cè)量艦船某一平面上的完整磁場(chǎng)數(shù)據(jù), 運(yùn)用一定的建模技術(shù)完成對(duì)艦船磁場(chǎng)的建模.然而, 由于平面測(cè)量數(shù)據(jù)的不完整以及測(cè)量過(guò)程中存在的測(cè)量誤差, 導(dǎo)致所建模型存在建模精度低、穩(wěn)定性差、適用性不好等問(wèn)題, 如何從有限測(cè)量數(shù)據(jù)中獲得艦船的高精度穩(wěn)定模型是艦船磁場(chǎng)建模的研究重點(diǎn).

目前, 主要的艦船磁場(chǎng)建模方法大致可以分為兩類(lèi): 一類(lèi)是依據(jù)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)出來(lái)的, 如大平面法、邊界元法、有限元法等[12-14], 這類(lèi)方法計(jì)算精度高, 但對(duì)測(cè)量要求比較嚴(yán)格, 需要一個(gè)完整的測(cè)量包絡(luò)面, 在實(shí)際中很難滿(mǎn)足; 另一類(lèi)是磁體模擬法[15-17], 將艦船等效為位于艦船水線面的均勻磁化橢球體和均勻分布于吃水線上的磁偶極子陣列的混合模型, 均勻橢球體模擬艦船的宏觀磁場(chǎng),磁偶極子陣列模擬艦船的局部磁場(chǎng), 這類(lèi)方法可以在少量的磁場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)下完成精度較高的艦船磁場(chǎng)模型建立, 是工程中較為常用的方法.使用混合模型建模時(shí), 本質(zhì)是求解一個(gè)多維的超定方程, 該超定方程通常為一個(gè)病態(tài)程度較高的方程, 對(duì)輸入的敏感性極強(qiáng), 而磁場(chǎng)測(cè)量中不可避免地存在測(cè)量誤差, 導(dǎo)致建模求解結(jié)果的不穩(wěn)定, 如何求解建模病態(tài)超定方程是混合模型建模過(guò)程中的關(guān)鍵.

對(duì)于建模病態(tài)超定方程的求解, 林春生和龔沈光[1]最早使用逐步回歸法進(jìn)行求解, 通過(guò)剔除超定方程系數(shù)矩陣中的不明顯列提高模型的穩(wěn)定性, 但當(dāng)系數(shù)矩陣病態(tài)程度過(guò)大時(shí), 該方法建模的精度較差; 楊明明等[18]使用正則化法來(lái)求解超定方程, 一定程度上解決了病態(tài)超定方程求解問(wèn)題, 但求解正確性往往依賴(lài)正則化參數(shù)的選取; 王金根等[19]首次考慮了測(cè)量數(shù)據(jù)誤差問(wèn)題, 先對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除, 然后利用改進(jìn)的方法來(lái)對(duì)系數(shù)矩陣的冗余列進(jìn)行剔除, 一定程度上降低系數(shù)矩陣的條件數(shù).后續(xù),為了降低建模超定方程的病態(tài)程度, 多位學(xué)者通過(guò)優(yōu)化磁偶極子位置降低超定方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)[20-25], 以增加模型穩(wěn)定性, 該類(lèi)方法在一定程度上解決了病態(tài)超定方程的穩(wěn)定求解問(wèn)題, 但為了降低系數(shù)矩陣條件數(shù)片面地優(yōu)化磁偶極子位置分布,忽略磁偶極子位置分布與艦船結(jié)構(gòu)的相關(guān)性, 使得所建模型存在精度不高、推算能力差等問(wèn)題.最近, 出現(xiàn)了考慮艦船實(shí)際結(jié)構(gòu)的艦船磁場(chǎng)反演技術(shù)[26-28], 具有計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn), 然而, 這些技術(shù)需要對(duì)船體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行較為準(zhǔn)確的三維建模, 在工程化應(yīng)用中較難實(shí)現(xiàn).同時(shí), 目前所有使用混合模型進(jìn)行建模的方法存在一個(gè)共同的問(wèn)題, 對(duì)磁偶極子個(gè)數(shù)的選取并未考慮, 而磁偶極子個(gè)數(shù)的多少對(duì)所建模型的有效性有較大的影響, 磁偶極子數(shù)過(guò)少, 模型精度較差, 偶極子數(shù)過(guò)多, 會(huì)造成局部擬合過(guò)度, 使得模型的推算性能不好.其實(shí), 混合模型中的磁偶極子個(gè)數(shù)和位置是與具體艦船的內(nèi)部結(jié)構(gòu)密切聯(lián)系的, 選擇合適的磁偶極子個(gè)數(shù)和正確分布的磁偶極子位置可以建立一個(gè)高精度穩(wěn)定的艦船磁場(chǎng)模型.

本文將基于艦船磁場(chǎng)混合模型, 結(jié)合混合模型中磁偶極子參數(shù)與艦船結(jié)構(gòu)的相關(guān)性, 以建模精度和模型穩(wěn)定性為目標(biāo)構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù), 通過(guò)多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化獲得合理的磁偶極子參數(shù), 間接地將建模求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題, 利用多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行求解, 提出一種高精度穩(wěn)定艦船磁場(chǎng)建模方法.

2 艦船磁場(chǎng)混合模型和多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

2.1 艦船磁場(chǎng)混合模型

通常, 艦船磁場(chǎng)混合模型是指將艦船等效為一個(gè)均勻磁化旋轉(zhuǎn)橢球體和磁偶極子陣列的混合模型[1,16,17], 如圖1所示, 建立艦船磁場(chǎng)混合模型時(shí),均勻橢球體位于艦船中心, 其長(zhǎng)軸等于船長(zhǎng), 短軸等于船寬, 用于擬合艦船的宏觀磁場(chǎng), 磁偶極子陣列均勻分布于艦船吃水線上, 模擬艦船的局部不均勻磁場(chǎng).

圖1 艦船磁場(chǎng)混合模型Fig.1.Ship magnetic field mixing model.

假設(shè)艦船混合模型的磁偶極子個(gè)數(shù)為N, 坐標(biāo)分別為(αi, βi, γi), i =1,2,···,N .如圖1所示,以艦船中心建立坐標(biāo)系, 則在測(cè)量點(diǎn) Pj(xj,yj,zj)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為[1]

式中, Mxi, Myi, Mzi(i = 1, 2, ···, N)分 別 為 第i個(gè)磁偶極子x, y, z方向的磁矩, Mx(N + 1), My(N + 1),Mz(N + 1)為均勻旋轉(zhuǎn)橢球體在x, y, z方向磁矩,(axij, ayij, azij, bxij, byij, bzij, cxij, cyij, czij)分別為對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)計(jì)算系數(shù), 具體計(jì)算公式如下:

1)當(dāng)i = 1, 2, ···, N時(shí), 為磁偶極子對(duì)應(yīng)的系數(shù)[1]:

2) 當(dāng)i = N + 1時(shí), 為均勻橢球體對(duì)應(yīng)的系數(shù)[1]:

將(1)式簡(jiǎn)寫(xiě)為矩陣形式:

2.2 艦船磁場(chǎng)混合模型建模求解

利用艦船混合模型建模時(shí), 通常測(cè)量艦船某一深度平面上的 n ×m 個(gè)測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù), 如圖2所示.根據(jù)(1)式和(2)式可構(gòu)造求解方程組[1]:

圖2 磁場(chǎng)測(cè)量Fig.2.Magnetic field measurement.

式中, F = (F1, F1, ···, Fn × m)T, H = (H1, H1, ···,Hn × m)T.在方程組(3)式中, 測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)(xj, yj,zj)和測(cè)量點(diǎn)磁場(chǎng)(Hxj, Hyj, Hzj)T是已知的, 若混合模型中的磁偶極子均勻排布在吃水線上, 則可由艦船的長(zhǎng)度L和磁偶極子個(gè)數(shù)N計(jì)算得到磁偶極子坐標(biāo)(αi, βi, γi).此時(shí), (3)式為一線性方程, 磁矩參數(shù)M為唯一待求參數(shù), 若能準(zhǔn)確求解出磁矩參數(shù)M, 則可以根據(jù)(1)式計(jì)算艦船磁場(chǎng)空間分布,即完成艦船的磁場(chǎng)建模.

若想求解方程組(3)式中磁矩參數(shù)M, 測(cè)量點(diǎn)數(shù)必須滿(mǎn)足 n ×m≥N+1 .通常, 為了獲得更為精確的艦船磁場(chǎng)模型, 測(cè)量點(diǎn)數(shù) n ×m 往往需要遠(yuǎn)大于等效源個(gè)數(shù) N +1 , 這使得方程組(3)式為方程階數(shù)很大的超定方程, 且其病態(tài)程度有時(shí)也會(huì)因測(cè)量點(diǎn)位置變得很大.因此, 對(duì)方程組(3)式的求解通常使用逐步回歸進(jìn)行求解.

上述為使用混合模型進(jìn)行建模和求解的相關(guān)原理和方法, 其中艦船混合模型中的磁偶極子是均勻分布于艦船的吃水線上的.

2.3 多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

2.2 節(jié)中使用混合模型進(jìn)行建模時(shí), 是將磁偶極子均勻分布于艦船的吃水線上, 磁偶極子的位置坐標(biāo)(αi, βi, γi)是已知量.然而, 混合模型中的磁偶極子代表艦船的局部磁場(chǎng)特性, 其數(shù)量和位置的分布與艦船內(nèi)部結(jié)構(gòu)密切相關(guān), 方程組(3)式實(shí)際上是對(duì)艦船磁場(chǎng)的一種擬合, 當(dāng)磁偶極子個(gè)數(shù)過(guò)多或者位置分布不正確時(shí), 對(duì)方程組(3)式的求解常常出現(xiàn)精度不高、穩(wěn)定性差、外推能力弱等問(wèn)題.

為了建立更為合理的艦船磁場(chǎng)模型, 假設(shè)混合模型中的磁偶極子個(gè)數(shù)N和位置分布(αi, βi, γi)為未知量, 則由(1)式可知, 方程組(3)式中的系數(shù)矩陣F為磁偶極子個(gè)數(shù)N及其位置分布(αi, βi,γi)的函數(shù), 可通過(guò)優(yōu)化(4)式的相對(duì)誤差獲得磁偶極子個(gè)數(shù)及其分布, 建優(yōu)化立目標(biāo)函數(shù)f1如下:

由前面2.2節(jié)可知, 方程組(3)式往往是一個(gè)病態(tài)的超定方程, 對(duì)輸入的敏感性極強(qiáng), 在解方程(4)過(guò)程中, 輕微的測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)擾動(dòng)都會(huì)嚴(yán)重影響模型求解結(jié)果.為了提高求解磁場(chǎng)模型的精度和穩(wěn)定性, 通常的做法是降低系數(shù)矩陣F的條件數(shù), 系數(shù)矩陣的條件數(shù)越小, 模型越穩(wěn)定, 對(duì)測(cè)量誤差越不敏感.由于系數(shù)矩陣F是磁偶極子個(gè)數(shù)及其位置坐標(biāo)的函數(shù), 因此, 可以引入系數(shù)矩陣條件數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù), 通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣條件數(shù)的優(yōu)化而得到合理的磁偶極個(gè)數(shù)及其分布, 以系數(shù)矩陣條件數(shù)構(gòu)造的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f2表示如下:

式中, C ond(·) 為條件數(shù)計(jì)算.

因此, 由上面引入的兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù) f1和 f2,可構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)如下:

對(duì)多目標(biāo)函數(shù)(7)式進(jìn)行優(yōu)化求解, 獲得磁偶極子個(gè)數(shù)及其分布, 由于多目標(biāo)函數(shù)(7)式兼顧了建模精度和模型穩(wěn)定, 所求磁偶極子個(gè)數(shù)及其分布能夠保證一定模型精度下具備較好的模型穩(wěn)定性.同時(shí), 在目標(biāo)函數(shù)f1中的磁矩參數(shù)作為中間變量,間接地將建模問(wèn)題轉(zhuǎn)換為了對(duì)(7)式的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.

通常, 用于建模的磁偶極子個(gè)數(shù)N在2-15之間, 因此, (7)式中的變量N的取值約束為N ∈Ζ, N∈[2, 15].磁偶極子位置(αi, βi, γi)可由艦船的尺寸進(jìn)行約束, 如圖3所示.在混合模型中, 艦船等效橢球體, 長(zhǎng)軸為L(zhǎng)/2, 短軸為W/2, N個(gè)磁偶極子分布在橢球內(nèi), 將橢球體沿長(zhǎng)軸方向分為N等份, 則第i個(gè)磁偶極子的分布范圍為圖3中陰影部分所代表的區(qū)域, 即(7)式中, 磁偶極子位置(αi, βi, γi)分布的取值范圍為

圖3 混合模型中磁偶極子分布范圍Fig.3.Distribution range of magnetic dipoles in the mixed model.

式 中, xi=-L/2+(i-1)L/N , xi+1=-L/2-iL/N , i = 1, 2, ···, N + 1.

3 基于多目標(biāo)粒子群優(yōu)化的建模求解算法

由2.3節(jié)可知, 艦船磁場(chǎng)的高精度穩(wěn)定建?？蓺w結(jié)為對(duì)(7)式多目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)問(wèn)題, 聯(lián)合(8)式, 該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可表示為:

由(9)式可知, 待優(yōu)化參數(shù)的維數(shù)為3N + 1,與磁偶極子個(gè)數(shù)相關(guān), 且目標(biāo)函數(shù)是待優(yōu)化參數(shù)的非線性函數(shù), 對(duì)于多維度非線性目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題, 待求參數(shù)維數(shù)越高, 優(yōu)化求解越困難.混合模型中的磁偶極子個(gè)數(shù)的取值只能為整數(shù), 其取值范圍已經(jīng)給出, 故可將(9)式中的待求參數(shù)N作為已知量, 按照磁偶極子個(gè)數(shù)參數(shù)取值范圍依次取值,然后再進(jìn)行優(yōu)化求解, (9)式改寫(xiě)為

式中的N為假設(shè)已知量.(10)式是關(guān)于磁偶極子位置分布的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題, 下面將研究該問(wèn)題的求解算法.

3.1 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法是將(10)式中的各目標(biāo)函數(shù)取加權(quán)和, 從而多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題, 由前面可知, 目標(biāo)函數(shù) f1為建模相對(duì)誤差, f2為模型系數(shù)矩陣條件數(shù), 各目標(biāo)函數(shù)不具備可比性, 加權(quán)系數(shù)難于選取.多目標(biāo)問(wèn)題中, 各目標(biāo)之間往往是相互沖突的, 通常通過(guò)決策變量來(lái)協(xié)調(diào)權(quán)衡和折中處理, 使各子目標(biāo)函數(shù)盡可能達(dá)到最優(yōu).多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題不存在單個(gè)最優(yōu)解, 而是Pareto最優(yōu)解集, 如何求得與真實(shí)Pareto前沿一致的Pareto最優(yōu)解集是多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵.

目前, 通常用于解決多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的算法包括: 多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA)[29]、多目標(biāo)蟻群算法(MASA)[30]、多目標(biāo)模擬退火算法(MSA)[31]、多目標(biāo)粒子群算法(MPSO)[32]等.MOEA對(duì)于低維優(yōu)化問(wèn)題具有較好的表現(xiàn), 在高維問(wèn)題中, 解集的多樣性不理想且耗時(shí)較長(zhǎng), 運(yùn)行效率不高;MASA在高維的多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題上同樣需要較長(zhǎng)的搜索時(shí)間, 且易于出現(xiàn)早熟停滯現(xiàn)象; MSA對(duì)搜索空間(目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì))不加任何限制, 可以是不連續(xù)的、不可微的, 并且也能求得Pareto邊界上多個(gè)不同方向的Pareto最優(yōu)解, 但是需要大量的迭代次數(shù), 因而收斂速度慢、優(yōu)化效率較低;MPSO具有高效的搜索能力, 有利于得到多目標(biāo)意義下的最優(yōu)解, 同時(shí), 其通用性比較好, 實(shí)現(xiàn)也較為容易, 適合處理多種類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)和約束,并且容易與傳統(tǒng)的優(yōu)化方法結(jié)合, 從而改進(jìn)自身的局限性, 更高效地解決問(wèn)題[33].本文所構(gòu)造的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)高維的、復(fù)雜非線性問(wèn)題, 考慮到求解算法的效率和解的質(zhì)量, 本文將采用MPSO進(jìn)行Pareto最優(yōu)解集求解.

多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法是在粒子群優(yōu)化算法(PSO)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的, 粒子群算法是由Kennedy[34]提出的基于群智能的優(yōu)化算法, 標(biāo)準(zhǔn)的粒子速度和位置更新公式如下:

MPSO對(duì)PSO增加了外部?jī)?chǔ)備集保存算法迭代過(guò)程中出現(xiàn)的Pareto最優(yōu)解, 采取個(gè)體最優(yōu)全局最優(yōu) gt和外部?jī)?chǔ)備集的更新策略, 為防止算法早熟收斂, 增加種群多樣性策略.本文采用文獻(xiàn)[32]中的自適應(yīng)網(wǎng)格法的多目標(biāo)粒子群算法, 該算法根據(jù)Pareto支配關(guān)系更新個(gè)體最優(yōu); 采用自適應(yīng)網(wǎng)格法計(jì)算粒子的擁擠程度, 并從擁擠程度小的網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個(gè)粒子作為群體最優(yōu)粒子gt; 采用Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則和自適應(yīng)網(wǎng)格法對(duì)外部?jī)?chǔ)備集進(jìn)行更新.

自適應(yīng)網(wǎng)格法的多目標(biāo)粒子群算法的具體步驟如下:

1) 輸入?yún)?shù): w, c1, c2, Niter(迭代次數(shù)), Nn(種群數(shù)), Nr(外部?jī)?chǔ)備集數(shù)), xrang(變量范圍),vrang(粒子速度范圍), Ngri(網(wǎng)格數(shù));

2) 初始化種群粒子, 隨機(jī)選取可行域中的粒子初始位置和初始速度;

3) 計(jì)算各粒子的適應(yīng)度值, 根據(jù)支配關(guān)系形成非支配解集;

4) 更新外部?jī)?chǔ)備集;

5) 更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu);

6) 按照(11)式和(12)式更新速度和粒子位置;

7) 根據(jù)速度和位置的取值范圍調(diào)整速度和粒子位置的取值;

8) 根據(jù)種群多樣性策略, 對(duì)粒子進(jìn)行多樣性處理;

9) 檢查是否達(dá)到最大迭代次數(shù), 若是, 則終止程序; 如果未達(dá)到, 則繼續(xù)返回第二步.

上述步驟中, 多目標(biāo)粒子群算法參數(shù)w, c1, c2,Niter, Nn, N r , Ngri可按常用的取值進(jìn)行設(shè)置, 粒子的取值范圍 xrang=[xmin,xmax] 可由(8)式計(jì)算,粒子速度范圍可設(shè)置為 vrang=[-0.4(xmax-xmin),0.4(xmax-xmin)] , 在算法初始化時(shí), 粒子取值和粒子速度取值在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)選取.

3.2 解的選取

3.1 節(jié)中給出了求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(10)式的算法, 利用該算法能夠求解出優(yōu)化問(wèn)題(10)式的Pareto最優(yōu)解集, 磁偶極子位置的最優(yōu)分布可以從Pareto最優(yōu)解集中選取, 同時(shí), (10)式的優(yōu)化問(wèn)題是磁偶極子個(gè)數(shù)假設(shè)已知下的簡(jiǎn)化問(wèn)題, 而由(9)式可知, 磁偶極子個(gè)數(shù)也是需要優(yōu)化求解的.下面, 將對(duì)如何選取磁偶極子個(gè)數(shù)和如何從Pareto最優(yōu)解集中選取最佳的解進(jìn)行研究, 給出相應(yīng)的選擇規(guī)則.

由前面可知, 磁偶極子個(gè)數(shù)的選取范圍為N∈[2,15] , 且都為整數(shù), 在求解(9)式時(shí), 依次選取 N =2,3,···15 , 則(9)式可簡(jiǎn)化為(10)式, 利用3.1節(jié)中的多目標(biāo)粒子群算法求解得到Pareto最優(yōu)解集 ΨN.所有磁偶極子個(gè)數(shù)下求得的Pareto最優(yōu)解集構(gòu)成可選集 Ψ =Ψ2∩Ψ3∩···∩Ψ15.如何從可選集中選取最佳的解, 需要考慮建模的實(shí)際情況, 對(duì)于艦船磁場(chǎng)建模, 最為重要的是模型精度,在保證模型精度的情況下應(yīng)盡可能使模型穩(wěn)定, 故可以引入從Ψ中選取的限制條件:

式中, x為磁偶極子位置分布 (α1,β1,γ1,α2,β2,γ2,···,αN,βN,γN) , e0為建模最大允許相對(duì)誤差.當(dāng)選取了滿(mǎn)足(13)式的x, 則其對(duì)應(yīng)的磁偶極子個(gè)數(shù)為所選的磁偶極子數(shù).

(13)式給出了磁偶極子位置和磁偶極子個(gè)數(shù)選擇規(guī)則, 按照該選擇規(guī)則可以獲得相應(yīng)的優(yōu)化磁偶極子參數(shù), 用該磁偶極子參數(shù)聯(lián)合(1)式-(3)式可以求解出艦船磁場(chǎng)的磁矩參數(shù), 利用磁矩參數(shù)根據(jù)(1)式便能獲取艦船的空間磁場(chǎng)分布, 即完成了艦船磁場(chǎng)的建模.

4 試驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 試驗(yàn)設(shè)置

試驗(yàn)時(shí), 對(duì)三種艦船船模深度平面 Z0和 Z1上三條測(cè)線上的磁場(chǎng)進(jìn)行了測(cè)量, 如圖4所示.三種艦船船模按照長(zhǎng)寬尺寸分為小、中、大三種船型,小型艦船船模參數(shù): 長(zhǎng)L = 57.2 m、寬W = 8.6 m、吃水深度D = 2.2 m; 中型艦船船模參數(shù): 長(zhǎng)L =76.5 m、寬W = 8.5, 吃水深度D = 5.3 m; 大型艦船船模參數(shù): 長(zhǎng)L = 153 m、寬W = 17.3 m, 吃水深度D = 5.1 m.測(cè)量參數(shù)和艦船參數(shù)如表1所列.

圖4 測(cè)量模式Fig.4.Measurement mode.

表1 試驗(yàn)參數(shù)Table 1.Test parameters.

對(duì)上述三種船模利用第3節(jié)的方法進(jìn)行建模,建模性能的評(píng)估包括建模精度和換算精度, 建模精度可以用建模的相對(duì)誤差來(lái)評(píng)估, 見(jiàn)(4)式; 換算是指用一個(gè)平面的測(cè)量數(shù)據(jù)建模, 利用所建模型換算另一個(gè)深度平面上的磁場(chǎng), 換算精度可以用換算相對(duì)誤差來(lái)評(píng)估, 計(jì)算公式如下:

建模使用的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置: 種群數(shù)目200, 迭代次數(shù)500, 慣性權(quán)重0.49,學(xué)習(xí)因子 c1=c2=2 , 網(wǎng)格數(shù)為20, 外部?jī)?chǔ)備集規(guī)模200.磁偶極子個(gè)數(shù)N的取值設(shè)定為: 2, 4, 6, 8,10, 12, 14; (13)式中小、中、大三種艦船船模的解選擇參數(shù) e0分別為0.03, 0.03, 0.03.

4.2 不同艦船船模實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模

4.2.1 建模有效性分析

按照4.1的試驗(yàn)參數(shù), 利用表1中三種艦船船模Z0深度平面上的三條航跡測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,得到三種艦船建模的可選集分布, 分布結(jié)果如圖5-圖7所示, 圖中不同顏色的解代表不同磁偶極子數(shù)時(shí)的Pareto最優(yōu)解集, 橫坐標(biāo) f2和縱坐標(biāo)f1對(duì)應(yīng)(7)式中的多目標(biāo)函數(shù)值, 分別對(duì)應(yīng)模型系數(shù)矩陣條件數(shù)和建模相對(duì)誤差.

從圖5-圖7可以看出, 隨著磁偶極子個(gè)數(shù)的增多, 對(duì)應(yīng)的Pareto最優(yōu)集的建模擬合相對(duì)誤差f1整體減小, 條件數(shù) f2整體增大, 說(shuō)明混合模型中的磁偶極子數(shù)越多, 建模精度越高, 但與此同時(shí),條件數(shù)會(huì)增大, 模型會(huì)越不穩(wěn)定.因此, 建模精度和模型穩(wěn)定是相互矛盾的, 只能折中選擇.

按照(13)式的選擇規(guī)則, 分別對(duì)圖5-圖7中的結(jié)果進(jìn)行選擇, 選擇的結(jié)果如表2所列, 表2給出了三種艦船的建模選擇結(jié)果, 包括磁偶極子個(gè)數(shù)、對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣條件數(shù)和對(duì)應(yīng)的建模相對(duì)誤差.從表2可知, 小型艦船選擇磁偶極子個(gè)數(shù)為10時(shí), 系數(shù)矩陣條件數(shù)為85.13, 相對(duì)誤差為0.0295;中型艦船選擇磁偶極子個(gè)數(shù)為8時(shí), 系數(shù)矩陣條件數(shù)為76.5, 相對(duì)誤差為0.0290; 大型艦船選擇磁偶極子個(gè)數(shù)為14時(shí), 系數(shù)矩陣條件數(shù)為128.95, 相對(duì)誤差為0.0256.

圖5 小型艦船建模結(jié)果可選集分布Fig.5.Selectable distribution of modeling results for small ships.

圖6 中型艦船建模結(jié)果可選集分布Fig.6.Selectable distribution of modeling results for medium-sized ships.

圖7 大型艦船建模結(jié)果可選集分布Fig.7.Selectable distribution of modeling results for large ships.

表2 Z0深度平面上的三種艦船船模建模結(jié)果Table 2.Modeling results of three kinds of ships on the Z0 depth plane.

圖8-圖10為表2中結(jié)果所對(duì)應(yīng)的磁偶極子分布情況, 從圖8可知, 小型艦船的磁偶極子主要分布于艦船尾部、中間靠后下方和中間靠前上方,與實(shí)際的艦船船模結(jié)構(gòu)分布一致, 艦船尾部磁偶極子對(duì)應(yīng)于艦船尾部的螺旋槳、舵、錨等結(jié)構(gòu), 中間靠后下方的磁偶極子對(duì)應(yīng)的是機(jī)艙部分(發(fā)動(dòng)機(jī))結(jié)構(gòu), 中間靠前上方的磁偶極子分布對(duì)應(yīng)的是艦橋艙室部分.同樣, 對(duì)比圖9和圖10中的磁偶極子分布與相應(yīng)艦船船模結(jié)構(gòu), 發(fā)現(xiàn)所求磁偶極子的分布與船模的實(shí)際結(jié)構(gòu)較為一致, 說(shuō)明利用本文方法建模可以得到更加合理的磁偶極子分布.

圖8 小型艦船船模磁偶極子分布情況Fig.8.Distribution of magnetic dipole of small ship model.

圖9 中型艦船船模磁偶極子分布情況Fig.9.Distribution of magnetic dipole of medium ship model.

圖10 大型艦船船模磁偶極子分布情況Fig.10.Distribution of magnetic dipoles of large ship models.

分別對(duì)表1中三種艦船船模的兩種深度 Z0和Z1進(jìn)行建模和換算, 得到相應(yīng)的建模相對(duì)誤差和換算誤差如表3所列.可以看出, 三種艦船船模的建模相對(duì)誤差都小于3%, 由淺到深的換算誤差低于5%, 由深換算到淺的換算誤差低于6%.

表3 不同深度的建模相對(duì)誤差和換算相對(duì)誤差Table 3.Modeling relative errors and converted relative errors of different depths.

上文對(duì)三種艦船船模的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了建模,從建模結(jié)果可知, 本文方法能夠有效對(duì)三種艦船船模進(jìn)行建模, 建模相對(duì)誤差低于3%, 由淺到深的換算誤差低于5%, 由深換算到淺的換算誤差低于6%, 求解的磁偶極位置能夠較好與真實(shí)艦船的結(jié)構(gòu)相符合, 驗(yàn)證了本文方法能夠有效對(duì)艦船磁場(chǎng)進(jìn)行高精度建模.

4.2.2 不同方法建模結(jié)果對(duì)比

下面分別用本文方法、文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[25]中的方法進(jìn)行建模對(duì)比, 文獻(xiàn)[1]使用磁偶極子均勻分布的混合模型進(jìn)行建模, 文獻(xiàn)[25]對(duì)混合模型建模進(jìn)行了改進(jìn), 為了提高建模穩(wěn)定性, 利用模擬退火算法優(yōu)化系數(shù)矩陣的條件數(shù), 以獲得磁偶極子分布.文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[25]中沒(méi)有給定磁偶極子個(gè)數(shù)的取值, 下面使用這兩種方法建模時(shí), 選擇與本文方法相同的磁偶極子個(gè)數(shù).

利用不同的建模方法對(duì)表1中三種艦船船模的不同深度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和換算, 計(jì)算結(jié)果如表4所列, 表中“→”表示從一個(gè)深度換算到另一個(gè)深度, 從表4可知, 相對(duì)其他兩種方法, 文獻(xiàn)[1]中的磁偶極子均勻分布的混合模型系數(shù)矩陣條件數(shù)是最大的, 其建模相對(duì)誤差和換算相對(duì)誤差, 比文獻(xiàn)[25]小, 比本文方法大; 文獻(xiàn)[25]的方法系數(shù)矩陣條件數(shù)最小, 建模相對(duì)誤差和換算相對(duì)誤差最大, 導(dǎo)致這種結(jié)果原因是其僅僅通過(guò)優(yōu)化系數(shù)矩陣條件數(shù)來(lái)優(yōu)化磁偶極子分布, 雖然可以獲得最小的系數(shù)矩陣條件數(shù), 但忽略了磁偶極子位置與艦船結(jié)構(gòu)的關(guān)系, 使得模型與艦船實(shí)際模型不符, 導(dǎo)致建模相對(duì)誤差和換算誤差最大, 建模性能最差; 本文方法所建模型的系數(shù)矩陣條件數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[1],稍微大于文獻(xiàn)[25], 模型相對(duì)誤差最小, 換算誤差也是最小, 說(shuō)明本文方法建模性能要好于其他兩種方法.

表4 不同方法的建模相對(duì)誤差和換算相對(duì)誤差Table 4.Modeling relative error and conversion relative error of different methods.

4.2.3 建模穩(wěn)定性分析

當(dāng)使用混合模型對(duì)艦船磁場(chǎng)進(jìn)行建模時(shí), 其本質(zhì)是求解一個(gè)病態(tài)超定方程, 病態(tài)超定方程對(duì)輸入極其敏感, 輸入有輕微的變化都會(huì)導(dǎo)致求解結(jié)果偏差很大, 而對(duì)于一個(gè)艦船磁場(chǎng)模型, 其磁矩參數(shù)應(yīng)當(dāng)是穩(wěn)定不變的, 由于測(cè)量誤差的存在, 常常會(huì)導(dǎo)致模型的求解結(jié)果(磁矩參數(shù))不穩(wěn)定.為了驗(yàn)證本文方法建模的穩(wěn)定性, 分別計(jì)算存在測(cè)量干擾下的建模精度和磁矩, 對(duì)比存在和不存在測(cè)量干擾下的建模精度和磁矩變化.

現(xiàn)隨機(jī)選取三種艦船 Z0深度平面上的30個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)增加20%的擾動(dòng), 利用本文方法、文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[25]中的方法進(jìn)行建模, 計(jì)算各種方法的建模相對(duì)誤差, 結(jié)果如表5所列.從表5中的計(jì)算結(jié)果可知, 文本方法在有干擾的情況下, 建模相對(duì)誤差不大于0.04, 相對(duì)于無(wú)干擾時(shí), 相對(duì)誤差波動(dòng)在0.01之內(nèi), 驗(yàn)證了本文方法對(duì)有干擾存在時(shí)的建模有效性; 對(duì)比其他兩種方法, 本文方法無(wú)論在有干擾和無(wú)干擾情況下, 建模相對(duì)誤差都是最小.文獻(xiàn)[25]在有干擾和無(wú)干擾下, 誤差波動(dòng)較小,是由于其通過(guò)優(yōu)化系數(shù)矩陣條件數(shù)提高了建模穩(wěn)定性, 但是, 由于忽略了磁偶極子分布與艦船結(jié)構(gòu)的關(guān)系, 使其建模相對(duì)誤差較大, 與前面4.2.2節(jié)中的不同深度上建模結(jié)果一致.綜上可知, 本文方法在測(cè)量數(shù)據(jù)存在干擾時(shí), 具有較高的建模精度, 能夠有效建模, 且相對(duì)其他兩種方法, 建模性能最好.

表5 干擾下不同方法的建模相對(duì)誤差和換算誤差Table 5.Modeling relative errors and conversion errors of different methods under interference.

圖11-圖13為不同艦船使用不同方法在有干擾和無(wú)干擾時(shí)磁矩求解的絕對(duì)誤差, 絕對(duì)誤差計(jì)算公式為

圖11 干擾下不同方法求解的小型艦船磁矩絕對(duì)誤差 (a) x方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ mx ; (b) y方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ my ; (c) z方向磁矩絕對(duì)誤差 ΔmzFig.11.Absolute errors of magnetic moment of small ships solved by different methods under disturbance: (a) Absolute errors of magnetic moment in x-direction; (b) absolute errors of magnetic moment in y-direction; (c) absolute errors of magnetic moment in z-direction.

圖13 干擾下不同方法求解的大型艦船磁矩絕對(duì)誤差 (a) x方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ mx ; (b) y方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ my ; (c) z方向磁矩絕對(duì)誤差 ΔmzFig.13.Absolute errors of magnetic moment of large ships solved by different methods under disturbance: (a) Absolute errors of magnetic moment in x-direction; (b) absolute errors of magnetic moment in y-direction; (c) absolute errors of magnetic moment in z-direction.

式中, i = 1-N為對(duì)應(yīng)磁偶極子的序號(hào), i = N + 1對(duì)應(yīng)橢球體, j = x, y, z代表不同方向的磁矩,為無(wú)干擾下建模求解的磁矩,為存在干擾下建模求解的磁矩.

圖12 干擾下不同方法求解的中型艦船磁矩絕對(duì)誤差 (a) x方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ mx ; (b) y方向磁矩絕對(duì)誤差 Δ my ; (c) z方向磁矩絕對(duì)誤差 ΔmzFig.12.Absolute error of magnetic moment of medium ship solved by different methods under disturbance: (a) Absolute errors of magnetic moment in x-direction; (b) absolute errors of magnetic moment in y-direction; (c) absolute errors of magnetic moment in z-direction.

從圖11-圖13中的結(jié)果可知, 本文方法在有干擾和無(wú)干擾下, 求解的磁矩絕對(duì)誤差小于 1 02,相對(duì)于艦船磁矩量級(jí)[1]( 1 04-107)來(lái)說(shuō)是很小的,可認(rèn)為求解的磁矩在有無(wú)干擾時(shí)幾乎是一致的, 說(shuō)明本文方法具有較好的穩(wěn)定性, 即本文方法能夠?qū)ε灤艌?chǎng)進(jìn)行穩(wěn)定建模.同時(shí), 對(duì)比圖11-圖13中三種方法所求磁矩在有干擾和無(wú)干擾時(shí)的磁矩絕對(duì)誤差可知, 文獻(xiàn)[1]中的方法求解磁矩相差最大, 文獻(xiàn)[25]中的方法次之, 本文方法相差最小,驗(yàn)證了在三種方法中, 本文方法建模具有最好的穩(wěn)定性.

上文對(duì)三種艦船船模在有干擾和無(wú)干擾下進(jìn)行了建模, 對(duì)比了三種方法的建模相對(duì)誤差和磁矩絕對(duì)誤差, 驗(yàn)證了本文方法具有良好的穩(wěn)定性, 且相對(duì)其他兩種方法, 穩(wěn)定性是最好的.

4.3 真實(shí)海況實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文建模方法的現(xiàn)實(shí)有效性,利用實(shí)測(cè)的某型艦船通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模.實(shí)際測(cè)量是在消磁站中進(jìn)行的, 在海底13和22.3 m兩種深度平面上布置了5個(gè)三軸磁傳感器, 艦船的航行方向與傳感器列陣垂直, 分別采集了不同航向上的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù), 測(cè)量系統(tǒng)為該消磁站自主研制的艦船水下磁測(cè)系統(tǒng), 能夠較為精確的測(cè)量艦船的磁場(chǎng), 并且能夠給出測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于艦船坐標(biāo)系下的位置.如圖為測(cè)量場(chǎng)景示意圖14.

圖14 測(cè)量場(chǎng)景示意圖Fig.14.The schematic diagram of measurement scene.

利用本文方法進(jìn)行了建模, 計(jì)算不同深度平面上的不同航向的建模相對(duì)誤差和換算誤差(13 m → 22.3 m), 計(jì)算結(jié)果如表6所列.可以看出, 本文方法在現(xiàn)實(shí)艦船磁場(chǎng)建模中, 相對(duì)誤差小于0.03, 換算誤差小于0.07, 說(shuō)明本文方法能夠有效在實(shí)際工程中應(yīng)用.

表6 真實(shí)艦船測(cè)量數(shù)據(jù)建模結(jié)果Table 6.Modeling results of real ship measurement data.

5 結(jié) 論

本文圍繞如何對(duì)艦船磁場(chǎng)高精度穩(wěn)定建模進(jìn)行了研究, 在艦船磁場(chǎng)混合模型建模方法的基礎(chǔ)上, 充分考慮了建模系數(shù)矩陣條件數(shù)和建模精度,構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化建模求解問(wèn)題, 間接將模型求解轉(zhuǎn)換為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解, 提出了艦船磁場(chǎng)高精度穩(wěn)定模型建模方法.實(shí)測(cè)船模數(shù)據(jù)建模試驗(yàn)結(jié)果表明, 本文方法能夠有效進(jìn)行建模, 建模相對(duì)誤差小于0.03, 換算誤差小于0.06, 和原有的建模方法相比具有較高的精度和較好的磁場(chǎng)換算性能; 通過(guò)分析有無(wú)干擾條件下的建模結(jié)果, 驗(yàn)證了本文建模方法受干擾影響小, 具有很好的建模穩(wěn)定性.利用本文方法對(duì)海上實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模進(jìn)行建模, 建模結(jié)果表明本文方法具有較高的建模精度和換算精度,能夠有效地在實(shí)際工程中應(yīng)用.