CPFS結(jié)構(gòu)理論指導下的概念教學
——以“二次函數(shù)”概念教學為例

■姜鴻雁

CPFS結(jié)構(gòu) 數(shù)學概念 整體性 數(shù)學抽象 探究能力

CPFS結(jié)構(gòu)是2003年喻平教授在數(shù)學知識分類、數(shù)學知識表征的基礎上提出的原創(chuàng)性理論。筆者在學習該理論及相關系列成果之后，結(jié)合自身的思考，大膽實踐，現(xiàn)以一節(jié)“二次函數(shù)”概念課為例，將備課時的思考、教學設計、課后反思及學生的反饋與同仁分享，期待批評指正。

一、CPFS結(jié)構(gòu)理論及理論指導下的備課思考

1.CPFS結(jié)構(gòu)的含義。

概念域（concept field）、概念系（concept sys?tem）、命題域（proposition field）、命題系（proposi?tion system）構(gòu)成的結(jié)構(gòu)被稱為CPFS結(jié)構(gòu)。CPFS結(jié)構(gòu)的含義包含：（1）個體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學知識網(wǎng)絡，各知識點（概念、命題）在這個網(wǎng)絡中處于一定的位置，知識點之間具有等值抽象關系，或強抽象關系，或弱抽象關系，或廣義抽象關系；（2）正是由于網(wǎng)絡中知識點之間具有某種抽象關系，而這些抽象關系本身就蘊藏著思維方法，因而網(wǎng)絡中各知識點之間的聯(lián)結(jié)包含著數(shù)學方法，即“連線集”為一個“方法系統(tǒng)”；（3）數(shù)學學習中特有的認知結(jié)構(gòu)，是個體頭腦中內(nèi)化的、合乎數(shù)學邏輯特征的知識結(jié)構(gòu)。

在《數(shù)學學習心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論》一文中，喻平教授以“等差數(shù)列”和“距離”兩個概念為例，說明了數(shù)學概念的3個特征：（1）對同一個概念，可以從不同的側(cè)面或選擇不同的角度去刻畫，即可以采用彼此等價的一組定義去描述同一個概念；（2）概念具有發(fā)展性，在不同背景下可以賦予一個概念新的意義；（3）數(shù)學概念不是孤立的，定義一個新概念往往要用到諸多的舊概念，概念之間存在弱抽象、強抽象或廣義抽象的關系。

2.理論指導下的備課思考。

筆者認為，二次函數(shù)概念是由函數(shù)概念經(jīng)過強抽象而來。其概念的定義方式是形式化定義的表述方法，也就是“形式+條件”的范式，這與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次方程等概念的定義表述方法一樣；其抽象形成概念的過程的學法也與一次函數(shù)等概念一樣，即在大量的生活情境中抽象出數(shù)量關系，再對數(shù)量關系進行二次抽象，形成形式化的定義形式。本節(jié)內(nèi)容是“二次函數(shù)”全章的章首課，對全章的學習起著統(tǒng)領作用，學習的路徑與一次函數(shù)等知識的學法一樣，所以本節(jié)課的教學要為“概念的發(fā)展性”埋下伏筆，在研究方法上要體現(xiàn)CPFS結(jié)構(gòu)中的“連線集”的“方法系統(tǒng)”。

基于以上分析，考慮到學生已經(jīng)具備了“一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系”的學習經(jīng)驗，且對一元二次方程的相關知識非常熟悉，所以在情境引入時，既要有生活情境，又要有數(shù)學情境，還要體現(xiàn)新知學習的自然性。最終，筆者思考形成了二次函數(shù)概念教學的知識、方法的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖（如圖1），教學的設計流程也是根據(jù)這個結(jié)構(gòu)圖進行，期待通過本節(jié)課的教學活動，學生能在頭腦中形成類似的結(jié)構(gòu)圖，從而實現(xiàn)培育學生的CPFS結(jié)構(gòu)的目標。

二、教學設計主要流程及意圖

1.概念的源起。

問題1看到3x+2=0，你想到什么？你能結(jié)合一次函數(shù)y=3x+2，從不同的角度解釋方程解的意義嗎？

【設計意圖】問題起點很低。預設學生會說“3x+2=0”是一元一次方程，并很容易解出方程的解；追問的目的在于通過一元一次方程與一次函數(shù)之間的關系，讓學生分別從“數(shù)”和“形”的角度“解讀”一元一次方程的解，為下面研究一元二次方程與二次函數(shù)之間的關系做好方法上的喚醒。

問題2看到x2-2x-3=0，你能類比前面一元一次方程與一次函數(shù)之間的關系，猜想它的解的“幾何意義”嗎？

【設計意圖】一元二次方程的定義及解法都是學生熟悉的知識。通過類比，學生大膽猜想x2-2x-3=0與y=x2-2x-3的關系，從而引出新事物：y=x2-2x-3是函數(shù)嗎？為什么？是一次函數(shù)嗎？是什么呢？在生活中有類似的數(shù)量關系嗎？……一系列的相關概念在問題的驅(qū)動之下“浮出水面”。

2.概念的素材。

問題3小明的媽媽想用50m長的護欄圍成一個矩形花圃，她要思考哪些問題呢？

【設計意圖】預設學生容易想到“媽媽想要花圃面積最大，應該怎么圍？”。在“想要面積最大”這一愿景之下，學生可以將學習一元二次方程那一章時學到的內(nèi)容、積累的方法進行遷移。因為問題開放，所以為生成多種多樣的圍花圃的方案提供了可能。比如最一般的圍法、一面靠墻圍、兩邊靠墻圍、留一道1米寬的門、中間隔一道分界線把花圃隔成兩部分……這是本節(jié)課的第一次抽象思維的落實，將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。每一種圍法，都可以出現(xiàn)一個與之相應的數(shù)量關系式，這些都是進一步抽象生成二次函數(shù)概念的形式化定義素材。

圖1

3.概念的生成。

問題4仔細觀察同學們列出來的這些數(shù)量關系式和剛開始的y=x2-2x-3，你有沒有發(fā)現(xiàn)它們的共性？你能描述這種共性嗎？

【設計意圖】透過現(xiàn)象看本質(zhì)，提煉并表示規(guī)律是數(shù)學學科的特色。學生在觀察共性的過程中去除研究對象中非本質(zhì)的因子，在表達共性的過程中將抽象的思維過程“物化”，形成新概念的形式化定義，數(shù)學抽象這一關鍵能力得以落實。

4.概念的辨析。

例1下列函數(shù)：S=πr2，y=6-3x2，y=+2x-3，y=（a2+1）x2+bx（a、b為常數(shù)），變量之間是不是二次函數(shù)關系？如果是，分別說出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的值；如果不是，說明理由。

小游戲：你說出一個函數(shù)關系，讓同伴判斷是不是二次函數(shù)。

例2已知在y=（m-3）xm2-3m+2+mx+1中，變量y是變量x的二次函數(shù)，求常數(shù)m的值。

【設計意圖】在師生互動、生生互動的數(shù)學活動中辨析概念，加深對概念的內(nèi)涵、外延的理解。

5.概念的展望。

問題5以函數(shù)關系y=-x2+25x為例，媽媽的愿望怎么實現(xiàn)呢？用哪些數(shù)學方法可以解決呢？

問題6回顧x2-2x-3=0與y=x2-2x-3的關系，結(jié)合一次函數(shù)的學習經(jīng)驗，你期待進一步學習什么內(nèi)容？

【設計意圖】問題5既是對生活情境中的問題——“媽媽的心愿”的回應，預設學生能用配方法解決問題，在追問有沒有其他方法的過程中，與問題6相結(jié)合，對二次函數(shù)圖像的學習、二次函數(shù)的應用提出展望，以實現(xiàn)單元整體的概貌，為進一步學習后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆。

三、教學感悟

1.促進個體表達CPFS結(jié)構(gòu)的教學愿景，有利于整體認識概念。

“數(shù)學概念是數(shù)學思維的最小單位，是組成數(shù)學判斷和數(shù)學推理的基本單元，是進一步認識事物的邏輯基礎。”羅增儒教授的這句話說明了數(shù)學概念學習的重要性。數(shù)學概念不是孤立存在的，每一個概念的生成都有它的前世、今生與未來。從CPFS結(jié)構(gòu)視角審視一個概念，有利于從整體角度認識它，理清該概念在概念域、概念系中的位置，從宏觀的角度把握，避免“盲人摸象”。

從“概念域”角度看，二次函數(shù)的概念除了本節(jié)課的形式化定義外，還有開口向上或向下的拋物線，兩者分別是從“數(shù)”和“形”的角度刻畫二次函數(shù)。隨著學習的深入，學生在進入高中后，還可以從到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡等角度再次刻畫拋物線（二次函數(shù)），有些地區(qū)的中考題還曾經(jīng)考查過。帶著這些認識，筆者以“媽媽的心愿如何實現(xiàn)”為抓手，兼顧學生已有的認知→配方法解決問題和未來的學習走向→二次函數(shù)圖像，從整體的角度設計二次函數(shù)概念的教學。

從“概念系”角度看，與二次函數(shù)有關的概念有函數(shù)、一次函數(shù)、一元一次方程、一元二次方程，筆者通過“看到3x+2=0，你想到什么？”引入，在入口很低的問題中把學生逐步帶進新知的學習殿堂，不僅體現(xiàn)了概念之間的關聯(lián)，而且實現(xiàn)了“方法系統(tǒng)“的遷移，體現(xiàn)一脈相承、一以貫之的學法整體概貌，有利于學生在頭腦中內(nèi)化合乎數(shù)學邏輯特征的知識結(jié)構(gòu)，減輕學生的學習負擔，提高學習效率。

2.助力個體設計CPFS結(jié)構(gòu)的教學過程，有利于落實數(shù)學抽象。

數(shù)學概念是人們對事物本質(zhì)的認識，它注定了是一個形式化、符號化的抽象物。概念的學習必然伴隨著數(shù)學抽象的思維過程。

從“概念系”角度看，二次函數(shù)概念是函數(shù)概念強抽象的產(chǎn)物，學習二次函數(shù)的過程有利于加深對函數(shù)概念的認識。另外，二次函數(shù)概念的形成過程及學習方法與一次函數(shù)高度一致，即從大量的生活情境中抽象出數(shù)量關系（這是從生活到數(shù)學的抽象過程），再從眾多的數(shù)量關系中進一步抽象，從而形成y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）這一形式化的定義（這是數(shù)學內(nèi)部的抽象過程），不同的是，二次函數(shù)的最終形式化結(jié)果是y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），而且理解概念的內(nèi)涵與外延也是高度一致。因此，二次函數(shù)概念教學的過程，完全可以通過一個適當?shù)膯栴}情境，讓學生與學習一次函數(shù)概念一樣，經(jīng)歷兩次抽象的過程，讓數(shù)學抽象這一關鍵能力落到實處。

在課堂上，學生將解決一元二次方程的問題背景成功遷移到“媽媽圍花圃”的問題情境中。在開放的問題情境下，學生思維活躍，精彩的生成讓人興奮。方案一：“最一般地圍”，設一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-x2+25x；方案二：如果一邊靠墻圍，設垂直于墻的一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-2x2+50x（在此筆者追加了墻的長度，為后面的自變量取值范圍做好鋪墊）；方案三：如果一邊靠墻圍，且平行于墻的一邊留一道1m寬的門，設垂直于墻的一邊長為xm，花圃面積為ym2，則有y=-2x2+51x；若兩邊靠墻圍；若中間加一道隔離，將花圃分成兩部分……這是一個將學習一元二次方程的經(jīng)驗遷移并梳理的過程，這是從生活情境到數(shù)學內(nèi)部抽象的過程，也是為進一步抽象生成二次函數(shù)概念提供素材的過程。有一次函數(shù)概念學習的經(jīng)驗，結(jié)合開場白的數(shù)學情境——一元一次方程與一次函數(shù)關系的喚醒及一元二次方程與二次函數(shù)的暢想，生成二次函數(shù)概念的形式化定義也就水到渠成。

3.落實個體建構(gòu)CPFS結(jié)構(gòu)的教學目的，有利于提升探究能力。

在數(shù)學學習中，學生對問題的探究包括：（1）提出問題，即根據(jù)一定的線索提出問題（提出問題可分定向提出和非定向提出）；（2）探究性質(zhì)，即根據(jù)自己或他人提出的問題去探究問題的性質(zhì)。個體探究問題的能力包括提出問題的能力和探究問題的能力。《個體CPFS結(jié)構(gòu)與探究問題能力的關系研究》一文的研究結(jié)果表明，學生的CPFS結(jié)構(gòu)與提出問題和邏輯探究問題的能力聯(lián)系緊密。學生的CPFS結(jié)構(gòu)中，聯(lián)結(jié)各知識點的連線揭示了知識之間的關系，本身蘊含著數(shù)學方法的信息，這有助于學生去探究問題。學生能在CPFS結(jié)構(gòu)中受到“方法系統(tǒng)”的啟示，并將其遷移到新問題的提出和解決之中。

正如前面從“概念系”角度分析二次函數(shù)概念，它與一次函數(shù)、一元二次方程等概念關系緊密，所以在“概念辨析”環(huán)節(jié)，例1交流結(jié)束后，筆者安排了一個“生生互動”的小游戲：你說出一個函數(shù)關系，讓同伴判斷是不是二次函數(shù)。來自學生的函數(shù)關系有（x-1）（x+2）+x2……具有一定的干擾性和挑戰(zhàn)性。更值得一提的是，在學生完成例2后，筆者設計了提出問題的環(huán)節(jié)：根據(jù)學過的函數(shù)概念知識，請你對本題作適當改編，提出一個與函數(shù)概念有關的問題，看誰提的問題思維含量高。從學生眾多的問題中，筆者挑選兩個與同仁分享。1.已知在y=（m-3）x|m2-3m+2|+mx+1中，變量y是變量x的二次函數(shù)，求常數(shù)m的值。2.已知在y=（m-3）xm2-3m+2+mx+1中，變量y是變量x的一次函數(shù)，求常數(shù)m的值。問題1中絕對值符號的引入，加深了對一元二次方程解法的認識；對于問題2，猶如一石激起千層浪，學生在解決問題的過程中，眾說紛紜，精彩紛呈，在激烈的思維碰撞中，理清分類標準，最終解決問題，同時概念域中的相關概念比如一次函數(shù)，甚至“相距有點遠”的概念——零指數(shù)冪，也得到了鞏固與加深。

教師從知識網(wǎng)絡角度設計教學內(nèi)容，則自然地將一個概念放在了宏觀的數(shù)學概念體系中，這種理念必然影響著教學設計的走向，有助于學生建構(gòu)自己的CPFS結(jié)構(gòu)，提升探究問題的能力；反過來，學生在探究問題的過程中，能夠提升CPFS結(jié)構(gòu)自我建構(gòu)的能力，從而達到建構(gòu)CPFS結(jié)構(gòu)與探究問題的能力相輔相成、相得益彰的目的。從本節(jié)課筆者設計的讓學生提出兩個定向性問題并解決問題的教學環(huán)節(jié)可以窺見一斑。

四、學生的反饋

課后，在筆者布置的每周一次數(shù)學小論文作業(yè)中，有一部分學生能夠較好地勾勒出二次函數(shù)全章知識結(jié)構(gòu)圖。下面選擇其中一名學生的“成果”與同仁分享（如圖2）。

該學生的“成果”雖然不算完美，比如在數(shù)學內(nèi)部的應用部分，他沒有考慮到如下一些內(nèi)容：與二次函數(shù)有關的圖形面積計算、建立二次函數(shù)模型求與幾何圖形有關的最值問題等。但通過這幅“知識結(jié)構(gòu)圖”，我們可以看到他能夠較好地將學習一次函數(shù)概念的方法、策略遷移到二次函數(shù)概念學習中，能夠自主地內(nèi)化外部的知識結(jié)構(gòu)，將其貯存在自己的頭腦中，建構(gòu)比較“豐滿”的CPFS結(jié)構(gòu)。透過這一CPFS結(jié)構(gòu)，可以彰顯該學生的思維具有一定的靈活性和深刻性。

用科學的理論支撐課堂教學、反思課堂教學，是減輕學生學習負擔，提高學生學習效率的保障。筆者將在CPFS結(jié)構(gòu)理論的引領之下，繼續(xù)大膽實踐，提高自身的教學能力，更好地服務學生。

圖2