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    九連環(huán)中的數(shù)學(xué)原理

    2021-09-02 10:49:30捌元
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)原理九連環(huán)寧寧

    捌元

    今天,寧寧放學(xué)回到家時(shí),發(fā)現(xiàn)客廳的茶幾上放著一個(gè)奇怪的玩具。為什么說(shuō)是奇怪的玩具呢?因?yàn)檫@個(gè)玩具由九個(gè)相互連接的圓環(huán)組成,套裝在一個(gè)中空的長(zhǎng)形柄中。圓環(huán)與圓環(huán)之間,圓環(huán)與環(huán)柄之間彼此相套,交錯(cuò)相連。

    正當(dāng)寧寧拿著這個(gè)奇怪的玩具翻來(lái)覆去地把玩時(shí),門(mén)口傳來(lái)了爺爺中氣十足的吟詩(shī)的聲音:“兩環(huán)互相貫為一,得其關(guān)捩解之為二,又合而為一。今有此器,謂之九連環(huán)?!睂帉幰豢匆?jiàn)爺爺,就連忙湊上前去問(wèn)道:“爺爺,您怎么來(lái)了?這玩具是您帶來(lái)的?”爺爺笑呵呵地拿過(guò)寧寧手中的玩具,一邊把玩一邊說(shuō):“這可不是普通的小玩具,它是中國(guó)杰出的益智玩具——九連環(huán)?!?/p>

    你會(huì)玩九連環(huán)嗎?

    “九連環(huán)?那這個(gè)玩具應(yīng)該怎么玩呢?”寧寧撓撓頭,疑惑地問(wèn)道。

    “很簡(jiǎn)單,只要把九個(gè)圓環(huán)從這個(gè)長(zhǎng)柄上解下來(lái)就可以了?!睜敔斶呎f(shuō)邊給寧寧演示九連環(huán)的拆解方法,“第一個(gè)環(huán),在任何情況都能夠自由上下。如果某一個(gè)環(huán)在上面的環(huán)柄上,而它前面所有的環(huán)都在下面的環(huán)桿上,那么這個(gè)環(huán)的后一個(gè)就可以放到上面,也可以放到下面。也就是說(shuō),如果我們想把第九個(gè)環(huán)卸下,那么就要把第八個(gè)環(huán)留在上面的環(huán)柄上,而把前面七個(gè)環(huán)放到下面,進(jìn)而把拆解‘九連環(huán)轉(zhuǎn)變?yōu)椴鸾狻哌B環(huán)。”

    爺爺繼續(xù)慢條斯理地總結(jié)道:“因此,要想裝上或者拆下第n個(gè)環(huán)(第一個(gè)環(huán)除外),必須滿足兩個(gè)條件,一是第(n-1)個(gè)環(huán)在環(huán)柄上,二是第(n-1)個(gè)環(huán)前面的所有環(huán)全部不在環(huán)柄上?!?/p>

    爺爺?shù)脑捄鸵贿B串的展示動(dòng)作讓寧寧的思緒和眼睛都亂了,寧寧連忙打斷了爺爺:“爺爺,這個(gè)九連環(huán)的拆解太復(fù)雜了?!睜敔斆嗣帉幍念^,笑著說(shuō):“其實(shí)并不難,你只要記住口訣就行。上倆下一個(gè),再動(dòng)后一個(gè);上一個(gè)下倆,再動(dòng)后一個(gè)。”

    聽(tīng)了爺爺?shù)脑?,寧寧思考了一?huì)兒,說(shuō)道:“我好像明白了?!闭f(shuō)罷,寧寧便拿過(guò)九連環(huán),坐在沙發(fā)上認(rèn)真地拆解起來(lái)。

    可沒(méi)一會(huì)兒,寧寧就拿著拆解了一半的九連環(huán)過(guò)來(lái)向爺爺訴苦:“爺爺,九連環(huán)的拆解好麻煩啊。我要是想完全拆解下來(lái),需要多少步???”爺爺摸著臉上的胡子,故作神秘地說(shuō):“其實(shí)這個(gè)九連環(huán)的拆解步數(shù)涉及到一個(gè)數(shù)學(xué)原理,把這個(gè)數(shù)學(xué)原理弄懂了,你就能算出解開(kāi)九連環(huán)所需的步數(shù)?!?/p>

    聽(tīng)了爺爺?shù)脑?,寧寧頓時(shí)來(lái)了興趣,忙問(wèn):“爺爺,是什么樣的數(shù)學(xué)原理?”

    來(lái),一起揭曉原理

    爺爺拿來(lái)紙和筆,對(duì)寧寧說(shuō):“你先在紙上畫(huà)一個(gè)表格,然后我們一起將解開(kāi)每個(gè)環(huán)所需的步數(shù)記錄下來(lái)?!?/p>

    接下來(lái),爺爺就帶著寧寧開(kāi)啟了九連環(huán)的探索之旅。

    爺爺說(shuō):“首先,我們假設(shè)環(huán)的數(shù)量為n,解開(kāi)n連環(huán)所需的總步數(shù)是Sn,解下第n個(gè)環(huán)的步數(shù)為an。當(dāng)環(huán)柄上只有一個(gè)環(huán)時(shí),Sn=an=1?!?/p>

    寧寧一邊在表格填上數(shù)字,一邊思考:“環(huán)柄上有兩個(gè)環(huán)的時(shí)候,可以直接將第二個(gè)環(huán)卸下,再卸第一個(gè)環(huán)。因此,當(dāng)n=2時(shí),an=1,Sn=2?!睜敔斚?qū)帉庁Q起了大拇指,稱贊道:“不錯(cuò),接下來(lái)你可以自己探索了?!?/p>

    寧寧一邊動(dòng)手拆解九連環(huán),一邊嘟囔著:“有三個(gè)環(huán)的時(shí)候,如果要卸下第三個(gè)環(huán),就需要先卸下第一個(gè)環(huán),再把第三個(gè)環(huán)直接卸下。然后為了解下第二個(gè)環(huán),需要把第一個(gè)環(huán)套上,再同時(shí)解下兩個(gè)環(huán)。因此,當(dāng)n=3時(shí),an=2,Sn=5?!?/p>

    “不錯(cuò)不錯(cuò)。以此類推,我們可以知道要卸下第n個(gè)環(huán),就需要先卸下前(n-2)個(gè)環(huán),其總步數(shù)就為Sn-2。這時(shí),我們?cè)傩枰徊骄涂梢园训趎個(gè)環(huán)解下,所以卸下第n個(gè)環(huán)需要an=Sn-2+1步,而為了解下第(n-1)個(gè)環(huán),還需要把前面的(n-2)個(gè)環(huán)套上,套上前(n-2)個(gè)環(huán)就需要Sn-2步(因?yàn)檠b上和卸下的步驟正好相反,所以步數(shù)相同)。最后卸下前面(n-1)個(gè)環(huán)需要Sn-1步,所以卸下n個(gè)環(huán)共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此,解開(kāi)九連環(huán)所需要的步數(shù)就是一道數(shù)列題——已知S1=1,S2=2,an=Sn-2+1,Sn=2Sn-2+ Sn-1+1,求Sn(n≥3)?!睜敔斀又鴮帉幍脑挿治龅?。

    通過(guò)計(jì)算,寧寧求出拆解一個(gè)九連環(huán)需要341步。“這么看來(lái),拆解九連環(huán)并不難。只是在拆解的過(guò)程中,需要不斷地將環(huán)套上套下,玩家就得傾注耐心,記住步驟?!睂帉幐袊@道。

    爺爺忙不迭地補(bǔ)充道: “這就是拆解九連環(huán)的關(guān)鍵。九連環(huán)雖然拆解步驟簡(jiǎn)單,但是它出現(xiàn)后卻可以在民間廣為流傳,盛行不衰,這其中,數(shù)學(xué)的魅力功不可沒(méi)呀?!?/p>

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