基于自相關(guān)函數(shù)的SRSF信號感知矩陣優(yōu)化方法

呂明久 許鵬程 陳文鋒 楊軍 趙欣

（空軍預(yù)警學(xué)院，武漢 430019）

引 言

基于壓縮感知(compressed sensing，CS) 理論[1]的隨機(jī)步進(jìn)頻率(random stepped-frequency, RSF)信號高分辨成像技術(shù)通過對目標(biāo)固有稀疏特性的利用，可以實(shí)現(xiàn)在較少發(fā)射子脈沖條件下的高概率目標(biāo)重構(gòu)，適用于現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)多工作模式以及干擾條件下的高精度成像. 其中，性能優(yōu)越的量測矩陣是提升稀疏重構(gòu)性能的重要保證，因此通過對量測矩陣進(jìn)行優(yōu)化來減少觀測數(shù)據(jù)與提升稀疏重構(gòu)性能已成為學(xué)者專注的熱點(diǎn)領(lǐng)域[2-3].

當(dāng)前，已經(jīng)提出多種量測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.其中，減小感知矩陣(量測矩陣與稀疏基)的互相關(guān)性是較為常見、有效的優(yōu)化手段，主要采用包括高斯[4]、亞高斯[5]以及Chaotic[6]等隨機(jī)性較強(qiáng)的量測矩陣來保證感知矩陣的互相關(guān)性要求[7-9]. 這類矩陣在實(shí)際運(yùn)用中具有產(chǎn)生困難、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)難度大的問題. 此外，這一類的感知矩陣優(yōu)化通常是基于一個(gè)選定初始矩陣的迭代優(yōu)化過程，因此并沒有考慮通過對發(fā)射波形參數(shù)的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)重構(gòu)性能的提升. 而對于稀疏RSF(sparse RSF，SRSF)信號，其隨機(jī)稀疏發(fā)射過程與CS的隨機(jī)量測過程相一致，即量測矩陣為隨機(jī)部分單位陣，因此可以避免引入新的量測矩陣，而是直接將感知矩陣設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為對SRSF信號的波形設(shè)計(jì)問題[10]. 文獻(xiàn)[11-12]中以感知矩陣互相關(guān)性為目標(biāo)，自適應(yīng)地構(gòu)造發(fā)射波形和測量矩陣，達(dá)到了提升重構(gòu)性能的目的. 這也是目前基于波形優(yōu)化的感知矩陣設(shè)計(jì)常用的手段之一. 實(shí)際上，傳統(tǒng)波形優(yōu)化設(shè)計(jì)問題大都從信號匹配處理的角度出發(fā)研究如何設(shè)計(jì)和產(chǎn)生模糊函數(shù)(ambiguity function,AF)最優(yōu)的發(fā)射信號，這類方法具有理論體系完善、物理意義明確以及實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)[13]. 從表面上看，感知矩陣性能優(yōu)化與傳統(tǒng)基于AF的波形設(shè)計(jì)方法具有明顯的差別. 前者是一種基于凸優(yōu)化理論的優(yōu)化，其性能主要由感知矩陣的互相關(guān)性決定. 而后者是一種基于匹配濾波理論的波形設(shè)計(jì)方法，波形的分辨性能和測量精度與模糊圖的主峰尖銳程度以及旁瓣高低有關(guān). 文獻(xiàn)[14]從AF的角度分析了不同波形的稀疏重構(gòu)，文獻(xiàn)[15]指出選擇具有較低旁瓣AF的波形可以提高M(jìn)IMO雷達(dá)的成像質(zhì)量，文獻(xiàn)[16]中也對上述問題進(jìn)行了初步研究，可以看出，AF同樣會(huì)影響信號的稀疏重構(gòu)性能. 但從目前來看，對這兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系分析還并不深入，值得進(jìn)行進(jìn)一步的研究與探索.

針對上述問題，本文基于感知矩陣優(yōu)化理論并結(jié)合步進(jìn)頻率波形特征，提出了一種基于自相關(guān)函數(shù)(AF的零多普勒切面)的RSF信號感知矩陣優(yōu)化方法. 首先，在構(gòu)建稀疏重構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，分析了SRSF信號波形參數(shù)與感知矩陣構(gòu)造方式的內(nèi)在聯(lián)系，得出了感知矩陣互相關(guān)系數(shù)矩陣為對稱Toeplitz矩陣的結(jié)論. 然后，證明了互相關(guān)系數(shù)矩陣與信號AF矩陣的關(guān)系，得出在特定條件下，兩者等價(jià)的結(jié)論. 因此，將SRSF信號重構(gòu)的二維感知矩陣優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于一維自相關(guān)函數(shù)的波形優(yōu)化設(shè)計(jì)問題. 最后，為驗(yàn)證上述結(jié)論，給出了一種基于自相關(guān)函數(shù)最大旁瓣與均值旁瓣聯(lián)合約束的稀疏波形設(shè)計(jì)方法. 本文的研究揭示了感知矩陣優(yōu)化理論與傳統(tǒng)AF波形優(yōu)化理論的內(nèi)在關(guān)系，進(jìn)一步豐富了稀疏波形設(shè)計(jì)方法. 此外，由于將二維矩陣優(yōu)化轉(zhuǎn)換為一維向量設(shè)計(jì)問題，因此，給出的稀疏波形設(shè)計(jì)方法具有物理意義明確、計(jì)算量小、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn). 理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性.

1 基于SRSF信號的稀疏重構(gòu)模型

SRSF信號可以視為傳統(tǒng)步進(jìn)頻率信號的隨機(jī)抽取樣式，文獻(xiàn)[17]中給出了步進(jìn)頻率信號的回波采樣形式，假設(shè)目標(biāo)已經(jīng)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償，此時(shí)第n脈組內(nèi)的回波采樣信號可以寫成

式中：σk為散射點(diǎn)強(qiáng)度；K為散射點(diǎn)個(gè)數(shù)；Rk為第k個(gè)散射點(diǎn)與雷達(dá)的初始距離；wn為噪聲；載頻步進(jìn)fn表達(dá)式為

式中：fc為載頻；Δf為步進(jìn)頻率間隔；N為子脈沖個(gè)數(shù). 將目標(biāo)在距離域劃分為[R1,R2,···,RP]個(gè)網(wǎng)格，可得到一個(gè)P×1維的目標(biāo)距離像矩陣. 此時(shí)，式(1)可以表示為

式中，

式(3)寫成矩陣形式可表示為

式中：x=[R1,R2,···,RP]T∈RP×1為距離像；W′為噪聲向量；Ψ為N×P(N≤P)維稀疏基矩陣，構(gòu)造方式為

對于SRSF信號，假設(shè)用矩陣Φ表示信號隨機(jī)稀疏發(fā)射的規(guī)律，則發(fā)射規(guī)律?？梢员硎緸?/p>

式中：Π=[1,2,···,N]T為傳統(tǒng)步進(jìn)頻率信號子脈沖發(fā)射規(guī)律；Γ=[Γ0,Γ1,···,ΓM?1],Γi∈[1，N]且|Γ|=M，M≤N，|·|表示集合的勢，即包含的非零元素個(gè)數(shù)；矩陣ΦM×N=[?i,i′]的構(gòu)造方式可以寫成如式(8)所示的隨機(jī)部分單位陣形式.

此時(shí)依據(jù)式(5)，SRSF信號的稀疏表示形式可以寫成

從上述分析可知，量測矩陣Φ可以視為對傳統(tǒng)步進(jìn)頻率信號的隨機(jī)量測，因此不需要再設(shè)計(jì)新的量測矩陣. 另外，Φ是根據(jù)SRSF信號的隨機(jī)稀疏情況進(jìn)行設(shè)置，與信號的隨機(jī)發(fā)射規(guī)律、發(fā)射子脈沖個(gè)數(shù)等相關(guān)，因此通過對SRSF信號進(jìn)行波形設(shè)計(jì)可以改變量測矩陣Φ的構(gòu)造方式，進(jìn)而影響信號的稀疏重構(gòu)性能. 下面基于上述稀疏重構(gòu)模型，研究基于波形設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)SRSF信號稀疏重構(gòu)性能的提升.

2 基于波形設(shè)計(jì)的感知矩陣優(yōu)化

2.1 感知矩陣互相關(guān)性與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

為定量化描述基于CS理論的稀疏重構(gòu)性能，Donoho[18]提出了感知矩陣Θ的非相關(guān)性約束條件.其中，最大互相關(guān)系數(shù)μmax以及平均互相關(guān)系數(shù)μκ_ave能夠較為全面、客觀地描述感知矩陣的互相關(guān)性，μmax用于衡量感知矩陣Θ中各列之間的相關(guān)性，而μκ_ave則是衡量感知矩陣Θ平均互相關(guān)性能的重要指標(biāo). μmax和μκ_ave越小，表明Θ的整體相關(guān)性較弱，相應(yīng)的稀疏重構(gòu)性能便越好[19]. μmax和μκ_ave分別定義為:

式中：Θi代表矩陣Θ的第i列；〈·,·〉表示內(nèi)積；μi,j為矩陣Θ第i列與第j列數(shù)據(jù)的互相關(guān)系數(shù)值；κ∈[0,1]，當(dāng)κ=0時(shí)，μκ_ave表示感知矩陣Θ中所有列之間互相關(guān)系數(shù)的均值.

實(shí)際上，感知矩陣Θ的最大互相關(guān)系數(shù)也可表示為感知矩陣所對應(yīng)的Gram矩陣G中非對角線上元素的最大值[19]. 對于SRSF信號的稀疏重構(gòu)模型式(9)，其Gram矩陣G展開形式為

此時(shí)，Gram矩陣G中的元素分別代表感知矩陣Θ的第i列與第j列的互相關(guān)系數(shù)μi,j. SRSF信號載頻步進(jìn)方式可以視為RSF信號載頻隨機(jī)置零形式. 需要注意的是，未發(fā)射脈沖的位置可以視為相應(yīng)位置載頻fn為0. 因此，μi,j可以表示為

式中，ΔR為 距離維離散間隔. 此時(shí)，最大互相關(guān)系數(shù)可以表示為

從式(13)可以看出，在距離離散間隔確定的情況下，μi,j的取值主要由 (i?j)確定. 對于Gram矩陣G每個(gè)對角線上的元素，其 (i?j)的取值是相同的，因此，Gram矩陣G中任何一條對角線上的元素取值相同，由此可知Gram矩陣G為Toeplitz矩陣. 又由于，因而Gram矩陣G為對稱Toeplitz矩陣. 根據(jù)對稱Toeplitz矩陣的定義可知，其第一行元素就可以完全描述整個(gè)矩陣的性能[20]. 此時(shí)，Gram矩陣G中第一行元素可以表示為

而根據(jù)AF理論，SRSF信號的AF可以表示為[13]

Tr為子脈沖周期.

假設(shè)在一個(gè)脈沖周期內(nèi)，距離域、多普勒域的離散采樣點(diǎn)數(shù)分別為P、Q. 此時(shí)式(15)可以轉(zhuǎn)化為

式中，Δτ與Δζ分別為時(shí)延、多普勒域離散采樣間隔.根據(jù)時(shí)延、多普勒域與距離、速度域的對應(yīng)關(guān)系，式(16)可以化為

式中，Δr與Δυ分別為距離、速度域離散采樣間隔. 當(dāng)p=q=0時(shí)，χ(τp,ζq)取最大值，也即AF的峰值位置；當(dāng)p、q不等于0時(shí)，χ(τp,ζq)表示AF的旁瓣.

依據(jù)式(17)，當(dāng)速度為零時(shí)，信號的互相關(guān)函數(shù)(AF的零多普勒切面)可以表示為

對比式(14)與式(18)可知：在距離離散采樣間隔相等的情況下，感知矩陣的互相關(guān)系數(shù)與信號的自相關(guān)函數(shù)具有相同的表達(dá)形式，兩者是等價(jià)的. 此時(shí)感知矩陣Θ的最大互相關(guān)系數(shù)μmax可以用自相關(guān)函數(shù)表示為

從式(19)可以看出，感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)μmax即對應(yīng)著自相關(guān)函數(shù)最高旁瓣的絕對值.

根據(jù)式(11)，平均互相關(guān)系數(shù)μκ_ave也可以用信號自相關(guān)函數(shù)表示為

此時(shí)，感知矩陣Θ的平均互相關(guān)系數(shù)μκ_ave等價(jià)于信號自相關(guān)函數(shù)旁瓣的均值.

從以上分析可知SRSF信號的自相關(guān)函數(shù)與感知矩陣的互相關(guān)系數(shù)具有等價(jià)關(guān)系. 因此，這也為SRSF信號的感知矩陣優(yōu)化提供了一種新的設(shè)計(jì)思路，即可以將感知矩陣優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于自相關(guān)函數(shù)的SRSF信號波形優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，通過對SRSF信號自相關(guān)函數(shù)旁瓣水平進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，不僅能夠避免引入新的量測矩陣，而且可以優(yōu)化感知矩陣，達(dá)到提高信號稀疏重構(gòu)性能的目的. 基于上述分析，下面提出一種基于波形設(shè)計(jì)的SRSF信號感知矩陣優(yōu)化方法.

2.2 基于自相關(guān)函數(shù)最大旁瓣與均值旁瓣聯(lián)合約束的遺傳尋優(yōu)方法

由上一節(jié)分析可知，對Gram矩陣G的優(yōu)化問題可等效為對稀疏信號自相關(guān)函數(shù)的優(yōu)化. 此時(shí)感知矩陣優(yōu)化目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為使得稀疏信號自相關(guān)函數(shù)峰值為1，旁瓣最低. 基于此，本節(jié)給出一種基于自相關(guān)函數(shù)最大旁瓣與均值旁瓣聯(lián)合約束的感知矩陣優(yōu)化方法.

對SRSF信號進(jìn)行波形設(shè)計(jì)主要包括子脈沖步進(jìn)方式以及子脈沖稀疏的位置等兩個(gè)參數(shù). 從式(18)可以看出，SRSF信號的自相關(guān)函數(shù)為求和形式，子脈沖的跳變順序并不會(huì)影響最終的結(jié)果，因此在進(jìn)行SRSF信號波形設(shè)計(jì)時(shí)，主要考慮在確定發(fā)射子脈沖個(gè)數(shù)M(M

圖1 SRSF信號波形設(shè)計(jì)示意圖Fig. 1 Waveform design diagram of SRSF signal

目前，用于衡量信號自相關(guān)函數(shù)旁瓣水平的指標(biāo)主要有積分旁瓣比、均值旁瓣比，這兩種指標(biāo)分別基于自相關(guān)函數(shù)的最大旁瓣以及均值旁瓣，其對應(yīng)的計(jì)算方法可以表示為：

當(dāng)PSLR、ISLR值越小時(shí)，說明旁瓣水平越低.為提高信號自相關(guān)函數(shù)設(shè)計(jì)的魯棒性與有效性，此處給出一種峰值旁瓣以及均值旁瓣聯(lián)合約束條件下的波形優(yōu)化方法，對應(yīng)的載頻步進(jìn)序列優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為

式中：λ∈[0,1]表示權(quán)重系數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際情況實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)各優(yōu)化因素的權(quán)重；N為子脈沖個(gè)數(shù)；表示需要優(yōu)化的M個(gè)發(fā)射子脈沖序列；O(ΓM) 表示ΓM中元素的個(gè)數(shù).

對于式(23)所示的優(yōu)化問題，目前有多種求解算法，如梯度下降法、蟻群算法以及遺傳算法等. 由于上述問題非凸，其中遺傳算法能以最大概率搜索到全局的最優(yōu)解，因此本文利用遺傳算法對上述優(yōu)化問題進(jìn)行尋優(yōu). 算法實(shí)現(xiàn)主要流程可表示為[21]：

1) 初始化. 首先根據(jù)子脈沖個(gè)數(shù)M，在集合[1,···,N]中隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，即產(chǎn)生L組隨機(jī)編碼序列，記

2) 評價(jià). 以自相關(guān)函數(shù)的最大旁瓣以及均值旁瓣水平為適應(yīng)度函數(shù)，對種群進(jìn)行適應(yīng)度評價(jià). 此時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)可以表示為

由于自相關(guān)函數(shù)最大旁瓣以及均值旁瓣值較小，且隨著優(yōu)化過程會(huì)變得更小，為提高優(yōu)化的效率，此處通過設(shè)置懲罰函數(shù) γ(0<γ<1)以及倒數(shù)形式為新的自適應(yīng)函數(shù)，可以表示為

此時(shí)，第l個(gè)序列對應(yīng)的選擇概率可以表示為

3) 選擇. 按照選擇概率對種群進(jìn)行選擇操作，選擇適應(yīng)性強(qiáng)的編碼序列并保存.

4) 交叉與變異. 采用單點(diǎn)交叉以及均勻多點(diǎn)變異方式對種群進(jìn)行交叉與變異操作，并設(shè)置交叉概率和變異概率(本文中設(shè)置交叉概率為0.6，變異概率為0.5).

5) 對上述步驟2～4進(jìn)行循環(huán)操作，當(dāng)最大旁瓣以及均值旁瓣達(dá)到設(shè)計(jì)要求或者循環(huán)達(dá)到最大遺傳代數(shù)時(shí)輸出最終結(jié)果.

通過上述遺傳尋優(yōu)方法，可以得到自相關(guān)函數(shù)旁瓣電平優(yōu)化后的SRSF信號，根據(jù)信號自相關(guān)函數(shù)與感知矩陣的關(guān)系，也即得到性能更優(yōu)的感知矩陣，從而提升SRSF信號的稀疏重構(gòu)性能.

3 仿真分析與驗(yàn)證

本節(jié)主要對SRSF信號自相關(guān)函數(shù)與感知矩陣之間的關(guān)系進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并對提出的優(yōu)化方法進(jìn)行仿真. 首先給出信號采樣率計(jì)算方式為α=M/N，即發(fā)射子脈沖信號越多，信號采樣率越高. 估計(jì)誤差計(jì)算方式為，其中x、x? 分別為參數(shù)的真實(shí)值與估計(jì)值，‖·‖F(xiàn)表示范德蒙范數(shù). 仿真中采用正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法進(jìn)行稀疏重構(gòu).

3.1 自相關(guān)函數(shù)與感知矩陣互相關(guān)系數(shù)關(guān)系驗(yàn)證

假設(shè)SRSF信號載頻f0=10 GHz ，子脈沖脈寬T為1 μs，子脈沖重復(fù)頻率PRF=2 000 Hz. 在合成帶寬為250 MHz不變的條件下，設(shè)置子脈沖N為50，信號距離維離散點(diǎn)數(shù)P=1.2N. 此時(shí)構(gòu)建相應(yīng)的感知矩陣Θ并依據(jù)式(10)可以得到感知矩陣Θ的最大互相關(guān)系數(shù)值μmax，其結(jié)果如表1所示. 圖2給出了隨機(jī)發(fā)射部分子脈沖個(gè)數(shù)條件下相應(yīng)的SRSF信號自相關(guān)函數(shù)結(jié)果，圖中標(biāo)示出了最大旁瓣的位置與幅值.

表1 SRSF信號最大互相關(guān)系數(shù)Tab. 1 The max mutual coherence of SRSF signal

對比表1以及圖2的結(jié)果可以看出：在不同的發(fā)射子脈沖個(gè)數(shù)條件下，通過感知矩陣計(jì)算出的最大互相關(guān)系數(shù)值μmax與自相關(guān)函數(shù)的旁瓣最大值均相同. 因此，仿真驗(yàn)證了感知矩陣互相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)函數(shù)旁瓣之間的關(guān)系.

圖2 隨機(jī)發(fā)射部分子脈沖個(gè)數(shù)條件下的自相關(guān)函數(shù)Fig. 2 The autocorrelation function of different transmitting subpulses

3.2 基于波形優(yōu)化的稀疏重構(gòu)性能仿真

下面對所提的SRSF信號自相關(guān)函數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn). 信號參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)相同，設(shè)置權(quán)重系數(shù)λ=0.3，初始種群個(gè)數(shù)L設(shè)置為50. 表2為優(yōu)化前后感知矩陣最大互相關(guān)系數(shù)以及均值旁瓣值互相關(guān)系數(shù)(κ=0)的比較.

表2 優(yōu)化前后的互相關(guān)系數(shù)變化Tab. 2 Variation of mutual coherence before and after optimization

從表2的結(jié)果可以看出：在不同的稀疏條件下，通過本文所提方法對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后的旁瓣水平均得到顯著降低. 當(dāng)M=20時(shí)，優(yōu)化前最大旁瓣峰值為0.371 5，通過優(yōu)化后的旁瓣峰值降低至0.270 9.因此本文所提基于自相關(guān)函數(shù)的SRSF信號波形設(shè)計(jì)方法可以顯著優(yōu)化自相關(guān)函數(shù)的旁瓣水平.

其他條件保持不變，采樣率α=0.4，信噪比為20 dB，圖3給出了有10個(gè)非零散射點(diǎn)條件下優(yōu)化前后的SRSF信號稀疏重構(gòu)結(jié)果對比. 為顯示所提方法的有效性，設(shè)置同等維度的降維隨機(jī)矩陣(M×N)，采用文獻(xiàn)[18-19]以及文獻(xiàn)[22]中所提的方法進(jìn)行感知矩陣優(yōu)化(下文稱之為Elad方法以及Saprio方法)，利用優(yōu)化后的隨機(jī)矩陣進(jìn)行稀疏重構(gòu). 圖中目標(biāo)散射點(diǎn)的位置與幅度值均為隨機(jī)產(chǎn)生.

從仿真結(jié)果可以看出，在相同的稀疏度條件下，優(yōu)化前稀疏信號的重構(gòu)結(jié)果存在較多的虛假重構(gòu)點(diǎn)，且在目標(biāo)位置的幅度重構(gòu)也存在較大的誤差. 雖然通過Elad方法以及Saprio方法設(shè)計(jì)的隨機(jī)量測矩陣進(jìn)行稀疏重構(gòu)時(shí)，重構(gòu)結(jié)果的虛假重構(gòu)得到一定程度的抑制，且重構(gòu)幅度誤差也進(jìn)一步下降，但利用本文信號自相關(guān)函數(shù)的優(yōu)化，SRSF信號重構(gòu)結(jié)果的虛假點(diǎn)明顯少于優(yōu)化前的信號，真實(shí)位置的幅度重構(gòu)誤差也得到了顯著減小，計(jì)算得到的誤差分別為0.254 5、0.141 1、0.111 0以及0.041 2. 另外，Elad方法以及Saprio方法并沒有通過對稀疏波形進(jìn)行優(yōu)化而提升重構(gòu)性能，相比較而言本文方法利用波形稀疏信息進(jìn)行感知矩陣設(shè)計(jì)，不僅提升了重構(gòu)性能，且更適合于實(shí)際裝備用于優(yōu)化資源調(diào)度，從而顯示了所提方法的優(yōu)越性.

為進(jìn)一步驗(yàn)證自相關(guān)函數(shù)優(yōu)化后的SRSF信號稀疏重構(gòu)性能，圖3(e)給出了目標(biāo)稀疏度K為10時(shí)，在不同信噪比條件下優(yōu)化前后重構(gòu)誤差對比，蒙特卡洛次數(shù)設(shè)置為500. 從圖3(e)的仿真結(jié)果可以看出，通過對不同稀疏度條件下的SRSF信號自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，稀疏重構(gòu)誤差均得到了有效減小. 且隨著稀疏度的降低，優(yōu)化后的稀疏信號稀疏重構(gòu)誤差改善的幅度明顯變大，這是由于通過波形設(shè)計(jì)減小了感知矩陣互相關(guān)系數(shù)(自相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值)，從而能夠精確重構(gòu)稀疏度更大的信號，這也驗(yàn)證了所提優(yōu)化方法的正確性.

圖3 不同方法稀疏重構(gòu)結(jié)果對比Fig. 3 Comparison of reconstruction results via different methods

4 結(jié)束語

本文對SRSF信號自相關(guān)函數(shù)與SRSF信號稀疏重構(gòu)所需感知矩陣互相關(guān)系數(shù)矩陣之間的關(guān)系進(jìn)行分析，得出兩者具有等價(jià)關(guān)系的結(jié)論，并基于此給出了一種基于自相關(guān)函數(shù)最大旁瓣以及均值旁瓣聯(lián)合約束下的SRSF信號波形設(shè)計(jì)方法，驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性. 本文的研究結(jié)論將基于凸優(yōu)化理論的系數(shù)重構(gòu)性能優(yōu)化方法與基于傳統(tǒng)AF的波形設(shè)計(jì)方法相統(tǒng)一，拓展了稀疏波形設(shè)計(jì)方法范疇. 同傳統(tǒng)基于凸優(yōu)化的波形設(shè)計(jì)方法相比，本文所提方法具有物理意義明確、計(jì)算量小、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn). 此外，基于互相關(guān)函數(shù)與信號稀疏重構(gòu)性能的關(guān)系，可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)AF旁瓣水平更低的優(yōu)化算法，提升稀疏波形的優(yōu)化性能，這也是下一步需要重點(diǎn)研究的方向.