基于近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法研究

孫遠韜，陳凱歌，章增增，張 氫，秦仙蓉

（同濟大學機械與能源工程學院，上海201804）

近年來，板料成形技術憑借其高效、高利用率等特點，在汽車、航空、航天等領域得到了極大的推廣［1］。板料成形過程中，如果幾何參數(shù)、成形工藝等選擇不合理將會導致成形件發(fā)生破裂、起皺和回彈等缺陷，因此，成形過程中，有必要對設計及工藝方案進行優(yōu)化。目前，針對板料成形的確定性優(yōu)化技術已經(jīng)取得了較為成熟的結(jié)果［2-4］。然而，工程實際中存在著諸如材料性能、沖壓工藝等不確定性因素，最終影響著成形質(zhì)量［10］。Sun等［5］針對汽車薄壁結(jié)構(gòu)材料性能、沖壓工藝等的不確定性，提出了一種多目標可靠性優(yōu)化設計方法，提高了薄壁結(jié)構(gòu)的成形質(zhì)量。Ledoux等［6］將不確定性設計參數(shù)考慮為隨機分布，對U型件的成型過程進行了可靠性分析和優(yōu)化設計，并獲得了較為滿意的結(jié)果。研究結(jié)果表明，考慮不確定性的板料成形優(yōu)化設計更能反映實際情況。

為進一步控制成形質(zhì)量對不確定性因素的敏感程度，Aharon等［7］指出可采用穩(wěn)健性優(yōu)化設計方法。Li等［8］研究了成形參數(shù)偏差對響應方差的影響，解決了疊層鋼板成形過程中工藝不確定性和材料性能變化導致的成型質(zhì)量問題。Li等［9］針對沖杯過程提出了6σ的穩(wěn)健設計方法，顯著提高了成型質(zhì)量的穩(wěn)健性。Wiebenga等［10］將最大主應變作為目標函數(shù)，對杯沖進行3σ穩(wěn)健性優(yōu)化，提高了產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)健性。孫光永等［11］以破裂和起皺程度為目標函數(shù)，對汽車前地板角支撐板進行了穩(wěn)健性優(yōu)化。研究結(jié)果表明，采用穩(wěn)健優(yōu)化設計方法可以顯著提高成形質(zhì)量，避免成形質(zhì)量的波動。

由于計算機輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）技術具有靈活、有效等優(yōu)點，各國學者將其引入到板料成形中以預測響應［12-14］。然而，在采用CAE方法對板料成形進行優(yōu)化設計時，存在優(yōu)化效率低、成本大等問題。為了克服上述困難，近似模型與最優(yōu)化技術結(jié)合的方法得到應用［15-16］。Naceur等［17］采用移動最小二乘法擬合了板料成形響應的近似模型，最終找到了較為滿意的優(yōu)化結(jié)果。卿啟湘等［18］以行李箱蓋成形為例，對比分析了Kriging模型與完全二次多項式響應面兩種近似模型，并采用遺傳算法優(yōu)化得到了成形最佳工藝參數(shù)。對比分析可知，Kriging近似模型具有更高的建模效率、計算精度以及優(yōu)化效率，并且更適用于大規(guī)模樣本的擬合。

由上述分析可知，基于近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法，提高了計算效率，同時保證了計算的精確度，且可以保證板料成形的缺陷最小、質(zhì)量穩(wěn)定可靠，本文基于Kriging近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法如圖1所示。

圖1 基于Kriging近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法Fig.1 Robust optimization method for sheet metal forming based on Kriging approximation model

1 基于替代模型的分析方法

近似模型是在實驗設計的條件下，對輸出響應的擬合。影響板料成形質(zhì)量的設計變量通常較多，為了保證近似模型精度，同時提高計算效率，需要對各參數(shù)進行靈敏度分析以選出主要參數(shù)。

1.1 靈敏度分析

板料成形過程中，溫度、摩擦系數(shù)、沖壓速度和壓邊力等因素影響著成形質(zhì)量，全面考慮所有參數(shù)并進行優(yōu)化設計將導致優(yōu)化效率低等問題。采用靈敏度分析法，可以優(yōu)選出對板料成形質(zhì)量影響較大的參數(shù)。

在進行靈敏度分析時，單個設計變量xi對設計響應yj的靈敏度Vij可以表示為

1.2 Box-Behnken設計

BBD（Box-Behnken Design）試驗設計方法是由單純二水平因子與不完全區(qū)塊設計共同組成的，如圖2所示。每個區(qū)塊中，一定數(shù)量的因子通過所有的組合進行因子設計，其他因子保持中心值。圖2為三因子BBD，其中包括3個區(qū)塊，每個區(qū)塊中2個因子作高低水平的4個可能組合，剩下的1個因子放在中心點。當因子數(shù)k等于3時，中心點通常需要重復3次，因此，最終試驗總次數(shù)為4×3+3=15。

圖2 三因子Box-Behnken設計布點示意圖Fig.2 Layout of three factor box Behnken design

1.3 Kriging模型理論

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型。該模型由回歸模型f(x)和隨機過程Z(x)組成，對于設計變量x與設計響應y(x)的一般數(shù)學表達式如下：

式中：f(x)=fT(x)β為多項式回歸模型；f(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fk(x)]T表示回歸模型的基函數(shù)；β=[β1，β2，…，βk]T為 基 函 數(shù) 的 待 定 參 數(shù)；Z(x)為平穩(wěn)的隨機函數(shù)，用于修正模型的局部偏差。

記n個 樣 本 點x1，x2，…，xn，其 響 應 為Y=[y1，y2，…，yn]T，在未知點x處，基于Kriging模型的響應預測估計值y?(x)為

式中：R為對稱矩陣；R(xi，xj)為任意兩個樣本點xi和xj的互相關函數(shù)，常采用高斯互相關函數(shù)。

基函數(shù)的未知系數(shù)β?根據(jù)加權最小二乘法得到

Kriging模型的最終表達式為

為了保證近似模型的精度，需要進行精度檢驗。常用的模型精度檢驗通常采用樣本范圍內(nèi)的決定系數(shù)R2和相對均方根誤差（RMSE）兩種標準，其表達式為

式中：ERMS為均方根誤差；為有限元計算值；為近似模型計算值；為有限元計算的平均值。當RMSE的值接近0，R2的值接近1時，表明近似模型的誤差很小。

2 板料成形回彈穩(wěn)健性優(yōu)化建模

穩(wěn)健性設計的基本思路是通過最小化響應方差保證成形質(zhì)量?；貜検前辶铣尚蔚闹饕毕葜?，一方面，回彈量越小，產(chǎn)品的成形質(zhì)量就越高；此外，不確定性因素引起的回彈指標產(chǎn)生波動的減小有利于減少廢品的數(shù)目。本文分別選取回彈量S的均值與標準差作為目標函數(shù)：

式中：S=y1(x)為設計變量與回彈量之間的Kriging近似模型。

工程中的不確定性因素大多可以用隨機因素進行描述，采用隨機模型描述穩(wěn)健性優(yōu)化的邊界條件，需要使設計變量的約束邊界滿足一定的質(zhì)量水平：

式中：、分別為設計變量的上下限；m由穩(wěn)健性要求而定。

若xi服從隨機正態(tài)分布，且當m=3時，則設計解的可靠度概率值約為99.7%。本文以回彈均值與方差作為優(yōu)化目標，最終建立穩(wěn)健性優(yōu)化數(shù)學模型：

3 算例分析

板料的沖壓成形條件不合理，會出現(xiàn)回彈、破裂和起皺等缺陷，分別用回彈量、最大減薄率和最大起皺高度進行衡量。包容式節(jié)點由板料在壓力機上鍛壓成形，有利于提高桁架結(jié)構(gòu)的極限承載能力并減少腹桿與弦桿的應力集中?？紤]到上述3種成形缺陷，結(jié)合本文所提方法對包容式節(jié)點的成形缺陷進行分析并對回彈缺陷進行穩(wěn)健優(yōu)化設計。

3.1 靈敏度分析

根據(jù)工程實際，初選包容式節(jié)點成形參數(shù)如表1所示。

表1 包容式節(jié)點成形待選設計變量初值Tab.1 Initial value of design variables to be selected for the forming of bulge formed joint

對上述參數(shù)初值進行10%攝動，利用有限元分析求解變異后的響應結(jié)果，如表2所示。

表2 參數(shù)變異后包容式節(jié)點成形響應指標結(jié)果Tab.2 Results of forming response index of bulge formed joints after parameter variation

根據(jù)式（1），求解包容式節(jié)點成形參數(shù)對設計響應的靈敏度。為了綜合考慮參數(shù)3種設計響應的影響，將同一參數(shù)對所有響應的靈敏度絕對值進行求和，如圖3所示。最終得出靈敏度較大的4個設計參數(shù)，即為沖壓速度、摩擦系數(shù)、板料初始溫度和模具圓角。

圖3 包容式節(jié)點成形設計參數(shù)對各響應的靈敏度值絕對值之和Fig.3 The sum of the absolute value of the sensitivity values of each response of the bulge formed joint design parameters

3.2 Box-Behnken設計

基于靈敏度分析，利用BBD可得如表3所示結(jié)果，考慮到各參數(shù)量綱不同，將各設計變量歸一化處理，其中，x1，x2，x3，x4分別為沖壓速度、模具圓角、摩擦系數(shù)和板料初始溫度。

表3 BBD試驗設計表Tab.3 BBD trial design table

在上述BBD設計表下進行有限元仿真，得到包容式節(jié)點的回彈量、最大減薄率（%）以及最大起皺高度（mm），分別用y1、y2和y3表示，如圖4所示。

圖4 BBD實驗設計響應Fig.4 Response of BBD trial design

3.3 模型擬合與檢驗

基于試驗樣本數(shù)據(jù)，利用Matlab、對包容式節(jié)點成形響應進行Kriging近似擬合，并根據(jù)式（6）和式（7），檢驗其精度，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，包容式節(jié)點成形各響應的Kriging近似模型的RMSE的值均逼近0，R2的值逼近1，具有較高的精度，可以可靠替代有限元模型進行后續(xù)優(yōu)化設計。

圖5 包容式節(jié)點成形近似模型精度評估圖Fig.5 Accuracy evaluation chart of approximate forming model of bulge formed joint

3.4 穩(wěn)健性優(yōu)化

根據(jù)包容式節(jié)點成形工藝實際情況，并結(jié)合3σ穩(wěn)健優(yōu)化理論，建立包容式節(jié)點回彈控制的穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學模型如下：

式中：x=[x1，x2，x3，x4]T為設計變量，各設計變量分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，設計變量xi的上下邊界則是根據(jù)3σ原則進行約束的。

根據(jù)最小距離法，對包容式節(jié)點回彈多目標優(yōu)化問題進行求解。構(gòu)造單目標函數(shù)（d=2）：

式中：μminS、σminS為單目標最優(yōu)序列求解結(jié)果。

利用遺傳算法進行求解，解得最小距離D為0.026 9，圖6為優(yōu)化迭代曲線。

圖6 優(yōu)化迭代曲線圖Fig.6 Optimization iteration curve

為了驗證穩(wěn)健優(yōu)化的優(yōu)越性，同時求解并給出了確定性優(yōu)化設計方案，并對比兩種方案的優(yōu)劣。不同優(yōu)化方法得到的回彈概率密度函數(shù)如圖7所示。根據(jù)圖7及實際經(jīng)驗可知，常規(guī)優(yōu)化設計的優(yōu)化目標更小的主要原因是，該方案最小化優(yōu)化目標的方法是盡可能地用盡各設計變量的許用裕度，這將導致該設計方案的設計變量通?？拷蚵湓谠O計邊界上，這將降低設計方案可行性。反之，穩(wěn)健優(yōu)化設計以回彈的均值與標準差為優(yōu)化目標，在降低回彈量的同時，提高了回彈對外界的波動的抗干擾能力。

圖7 回彈概率密度函數(shù)Fig.7 Probability density function of springback

4 結(jié)語

本文以包容式節(jié)點為對象，基于Kriging模型對其回彈量進行穩(wěn)健優(yōu)化。采用有限元法與Kriging模型擬合板料成形的近似模型?？紤]工程實際中的不確定性，建立了板料成形穩(wěn)健優(yōu)化模型，對包容式節(jié)點進行穩(wěn)健優(yōu)化。所采用的BBD實驗方法可以減少試驗次數(shù)，節(jié)約實驗成本，有利于提高計算效率。所構(gòu)建Kriging近似模型擬合精度較高，可以有效地代替有限元分析。與確定性優(yōu)化方案對比可知，穩(wěn)健優(yōu)化雖然略微犧牲優(yōu)化目標，但減少了回彈缺陷，同時提高了回彈缺陷對外界的波動的抗干擾能力。本文所提方法為板料成形穩(wěn)健優(yōu)化設計與生產(chǎn)實際提供了理論參考。