基于一元二次函數(shù)的層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體細(xì)觀結(jié)構(gòu)表征

任麗冰， 陳 利， 焦 偉

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 紡織科學(xué)與工程學(xué)院， 天津 300387； 2. 天津工業(yè)大學(xué)先進(jìn)紡織復(fù)合材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387)

紡織復(fù)合材料具有質(zhì)量輕、比強(qiáng)度高、力學(xué)性能可設(shè)計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、高端民用等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。采用各種紡織預(yù)制體增強(qiáng)的紡織復(fù)合材料具有復(fù)雜多樣的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，合理建立紡織預(yù)制體結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，表征其細(xì)觀結(jié)構(gòu)，是高性能復(fù)合材料設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題。

層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體是高性能復(fù)合材料的理想增強(qiáng)材料之一，其獨(dú)特的層間纖維彎曲連接的細(xì)觀結(jié)構(gòu)顯著提高了復(fù)合材料的層間性能，同時(shí)滿足了復(fù)合材料的可加工要求，近年來(lái)得到迅速發(fā)展。層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體具有復(fù)雜的三維整體細(xì)觀結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)之間相互影響給復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)分析帶來(lái)巨大困難。影響層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體細(xì)觀結(jié)構(gòu)的因素主要包括組織結(jié)構(gòu)、經(jīng)緯紗密度、紗線線密度、紗線層密、紗線橫截面形態(tài)、纖維體積含量等，其中合理的紗線橫截面假設(shè)是建立結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵[2-4]。

前期研究建立的紗線橫截面假設(shè)是以圓曲線凸透鏡形為主，是以2個(gè)相同半徑的圓弧曲線圍成的一個(gè)凸透鏡。表征凸透鏡橫截面形狀的關(guān)鍵參數(shù)包括圓弧半徑、厚度和長(zhǎng)短徑比。凸透鏡長(zhǎng)短徑比又稱為紗線截面變異系數(shù)λ。基于圓曲線凸透鏡假設(shè)的紗線橫截面在織物細(xì)觀結(jié)構(gòu)中存在著幾何參數(shù)的不確定性，即紗線截面變異系數(shù)λ不能直接計(jì)算獲得。楊彩云等[5]通過(guò)擬合三維機(jī)織預(yù)制體結(jié)構(gòu)參數(shù)與預(yù)制體厚度之間的關(guān)系, 提出了凸透鏡截面變異系數(shù)λ計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式[6]；鄭君等[7]和Dong等[8]通過(guò)已知的預(yù)制體厚度，由迭代計(jì)算方法獲得λ。更多的學(xué)者是通過(guò)實(shí)際觀測(cè)紗線截面的寬度和厚度來(lái)確定二者的比值λ[9-10]，獲得的紗線橫截面變異系數(shù)僅適用于既定樣品。本文提出基于一元二次函數(shù)的經(jīng)紗拋物線路徑和緯紗拋物線凸透鏡橫截面等假設(shè)，構(gòu)建了明確的微觀幾何關(guān)系，獲得了紗線橫截面變異系數(shù)，進(jìn)而建立層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的細(xì)觀結(jié)構(gòu)幾何模型，通過(guò)對(duì)預(yù)制體厚度和纖維體積含量的計(jì)算，驗(yàn)證模型的有效性和合理性。

1 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體組織結(jié)構(gòu)

層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體由多層經(jīng)紗和緯紗交織而成。經(jīng)紗沿織物成型方向呈現(xiàn)波浪彎曲形狀，將相鄰的2層緯紗聯(lián)接在一起，緯紗垂直于織物成型方向呈現(xiàn)伸直狀態(tài)，結(jié)構(gòu)如圖1所示[11]。

圖1 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體示意圖Fig.1 Illustration of multi-layer interlocked woven preform

層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的基本組織結(jié)構(gòu)為多層平紋層間聯(lián)鎖結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)中經(jīng)紗分別按照平紋一上一下的交織規(guī)律與相鄰的2層緯紗交織。圖2示出層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體表面經(jīng)緯紗交織結(jié)構(gòu)和層間經(jīng)紗路徑。

圖2 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure of multi-layer interlocked woven preform. (a) Surface structure; (b) Warp yarn paths in perform

采用Micro-CT掃描方法表征層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的紗線交織形貌，如圖3所示。

圖3 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體中紗線交織形貌Fig.3 Mixed morphology path in multi-layer interlocked woven preform. (a) Micro-CT image of preform; (b) Warp weave cross-section; (c) Weft weave cross-section

由圖3可知：經(jīng)紗路徑為波浪彎曲形態(tài)，貫穿相鄰2層緯紗；沿緯紗長(zhǎng)度方向的緯向截面中緯紗路徑輕微彎曲，近似為直線形狀。

圖4示出層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體中紗線的截面形貌。可知，截面中預(yù)制體內(nèi)部的緯紗受到內(nèi)部經(jīng)紗的環(huán)繞擠壓作用，其橫截面呈現(xiàn)凸透鏡形狀，而預(yù)制體上下表層的緯紗在表層經(jīng)紗環(huán)繞擠壓下，其橫截面近似為拱形。在2列緯紗之間剖取3個(gè)不同位置的緯向截面，觀察其中經(jīng)紗截面形狀變化可知：1-1截面位于緯紗軸線位置，截面為經(jīng)紗的橫截面，近似為倒梯形；2-2截面位于2列緯紗之間，截面為經(jīng)紗的斜截面，近似為矩形；3-3截面位于緯紗軸線位置，截面為經(jīng)紗的橫截面，近似為正梯形。

圖4 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體中紗線截面形狀Fig.4 Yarn sectional shapes in multi-layer interlocked woven preform. (a) Weft cross-section; (b) Warp section

2 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體微觀幾何建模

2.1 紗線橫截面假設(shè)

2.1.1 經(jīng)紗橫截面

由圖4(b)可知，沿經(jīng)紗長(zhǎng)度方向不同位置的經(jīng)紗截面形狀不同，從倒梯形到矩形再到正梯形逐漸變化。在1-1和3-3截面中，同層相鄰經(jīng)紗沿織物寬度方向擠緊，正梯形截面與倒梯形截面間隔排列，且在厚度方向上經(jīng)紗與緯紗相互擠緊。而在2-2截面中，同層矩形截面的經(jīng)紗沿寬度方向相互緊密排列，但在厚度方向上經(jīng)紗間存在少許間隙。從圖中還可以看出：1-1和3-3截面中經(jīng)紗梯形截面的中位線的寬度近似相等，且等于2-2截面中經(jīng)紗矩形截面的寬度；而1-1和3-3截面中經(jīng)紗梯形截面的厚度小于2-2截面中經(jīng)紗矩形截面的厚度，這主要是由于1-1和3-3截面中的經(jīng)紗截面為其橫截面，而2-2截面中的經(jīng)紗截面為其斜截面。為便于建模，忽略經(jīng)紗橫截面沿長(zhǎng)度方向的擠壓變形，假設(shè)經(jīng)紗橫截面沿長(zhǎng)度方向保持不變，形狀簡(jiǎn)化為矩形，其寬度近似為梯形橫截面的中位線寬度，如圖5所示。

圖5 經(jīng)紗橫截面形狀Fig.5 Warp cross-sectional pattern

同層經(jīng)紗相互擠緊，則經(jīng)紗橫截面寬度U(mm)和厚度W(mm)分別為

(1)

(2)

式中：Pj為經(jīng)紗密度，根/cm；S1為經(jīng)紗橫截面面積，mm2。

則經(jīng)紗橫截面變異系數(shù)μ為

(3)

2.1.2 內(nèi)部緯紗橫截面

根據(jù)圖4(a)，假設(shè)層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體內(nèi)部緯紗的橫截面形狀為拋物線凸透鏡形，如圖6所示。其由2個(gè)一元二次函數(shù)曲線Z1和曲線Z2圍成。

圖6 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體內(nèi)部緯紗橫截面形狀Fig.6 Interior weft cross-sectional pattern of muti-layer interlocked woven perform

設(shè)內(nèi)部緯紗橫截面的厚度為D(mm)，寬度為M(mm)，曲線Z1表示為

(4)

內(nèi)部緯紗橫截面的面積為

(5)

則內(nèi)部緯紗橫截面變異系數(shù)λ為

(6)

2.1.3 表層緯紗橫截面

根據(jù)圖4(a)假設(shè)層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體表層緯紗的橫截面形狀為拋物線拱形，如圖7所示。其由3個(gè)一元二次函數(shù)曲線Z1、Z4和Z5圍成，曲線Z5為曲線Z4的偏移曲線。

圖7 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體表層緯紗橫截面形狀Fig.7 Surface weft cross-sectional pattern of muti-layer interlocked woven perform

設(shè)表層緯紗拱形橫截面厚度為d(mm)，橫截面的內(nèi)拱高為h(mm)，內(nèi)拱寬度為m(mm)，則表面緯紗橫截面面積近似為

(7)

設(shè)拱形橫截面的內(nèi)拱弧長(zhǎng)為l3(mm)，則表層緯紗橫截面變異系數(shù)τ為

(8)

2.2 緯紗橫截面變異系數(shù)

根據(jù)圖4(a)，層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體緯紗與經(jīng)紗相互交織規(guī)律，建立預(yù)制體細(xì)觀結(jié)構(gòu)分析模型如圖8所示。緯紗與相鄰的經(jīng)紗相互擠緊交織。

圖8 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體結(jié)構(gòu)幾何模型Fig.8 Geometrical model of multi-layer interlocked woven preform

2.2.1 內(nèi)部緯紗橫截面變異系數(shù)

由圖8可知，內(nèi)部經(jīng)紗的中心路徑Z3可由拋物線方程表示為

(9)

式中，a為層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的緯紗間距，mm。

點(diǎn)H2到曲線Z3的距離為W/2，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為

(10)

(11)

內(nèi)部緯紗橫截面的下邊界拋物線Z2表示為

(12)

曲線Z2經(jīng)過(guò)點(diǎn)H2，將式(10)和(11)代入式(12)得到

(13)

根據(jù)式(5)和(13)，用數(shù)值方法獲得內(nèi)部緯紗橫截面厚度D，由式(6)得緯紗橫截面變異系數(shù)λ。

2.2.2 表層緯紗橫截面變異系數(shù)

表層經(jīng)紗的中心路徑由拋物線Z6表示為

表面緯紗的內(nèi)拱拋物線Z4過(guò)點(diǎn)H4，可表示為

(15)

式中：

XH4和ZH4為H4的坐標(biāo)值，該點(diǎn)到曲線Z3的距離為W/2。曲線Z4與Z1的交點(diǎn)為E4和G4，E4與G4關(guān)于x軸對(duì)稱，G4的坐標(biāo)為

則表面緯紗拱形橫截面的內(nèi)拱弧E4G4的寬度m和高度h分別為

(16)

(17)

將式(16)、(17)代入式(7)得到表層緯紗橫截面的厚度d。

表層緯紗拱形橫截面的內(nèi)拱弧E4G4的長(zhǎng)度為

(18)

代入式(8)可得到表層緯紗橫截面的變異系數(shù)τ。

2.3 預(yù)制體厚度

根據(jù)上述獲得的微觀幾何關(guān)系建立層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的全厚度單胞模型，如圖9所示。

圖9 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體全厚度單胞模型Fig.9 Through-thickness cell model of multi-layerinterlocked woven preform

所建立的幾何實(shí)體模型內(nèi)經(jīng)紗和緯紗相互擠緊交織且無(wú)紗線相互嵌入現(xiàn)象。設(shè)層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的緯紗層數(shù)為N，其表層緯紗為2層，單層厚度為d；內(nèi)部緯紗為N-2層，單層厚度為D；表層經(jīng)紗為2層、內(nèi)部經(jīng)紗為N-3層，表層經(jīng)紗和內(nèi)部經(jīng)紗橫截面相同，單層厚度均為W。層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的厚度T為

T=(N-2)D+2d+(N+1)W

(19)

2.4 預(yù)制體纖維體積含量

預(yù)制體的纖維體積含量為纖維體積占整體預(yù)制體體積的百分?jǐn)?shù)，計(jì)算公式為

(20)

式中：Vf為纖維體積含量,%；Vj為經(jīng)紗纖維所占體積；Vw為緯紗纖維所占體積,mm3；V為預(yù)制體體積,mm3。

由圖8可知，一個(gè)緯紗間距內(nèi)，內(nèi)部經(jīng)紗Z3由F3H3和H3I3曲線段組成，且2個(gè)曲線段的長(zhǎng)度相等均為l：

(21)

內(nèi)部經(jīng)紗Z6由F6H6和H6I6曲線段組成，2個(gè)曲線段的長(zhǎng)度為l1和l2，分別為

(22)

(23)

根據(jù)圖9所示的預(yù)制體全厚度單胞模型，層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的纖維體積含量為

Vf=

(24)

3 實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

3.1 紗線的橫截面變異系數(shù)

本文設(shè)計(jì)了J8W2.50、J8W3.00和J8W3.15 3種結(jié)構(gòu)層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體，結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。3種預(yù)制體在天津工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料研究院自主研發(fā)的立體機(jī)織設(shè)備上制備。采用Micro-CT掃描技術(shù)，獲得了3種預(yù)制體的不同截面圖如圖10所示。采用Dragonfly圖像處理軟件測(cè)量了預(yù)制體紗線橫截面的寬度、厚度及其面積。通過(guò)對(duì)比紗線的理論橫截面面積，由測(cè)量的經(jīng)紗橫截面面積S1、內(nèi)部緯紗橫截面面積S2和表層緯紗橫截面面積S3可以計(jì)算得到紗線填充因子ε1、ε2和ε3，如表2所示?？梢钥闯?，擠緊狀態(tài)下層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體內(nèi)3種紗線的填充因子近似相等，因此，可假設(shè)預(yù)制體內(nèi)不同紗線的填充因子均為ε。

表1 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of multi-layer interlocked woven preforms

圖10 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體內(nèi)部紗線橫截面尺寸測(cè)量過(guò)程Fig.10 Measured yarn cross-sectional size of multi-layer interlocked woven preform. (a) Warp cross-sectional sizes; (b) Interior weft cross-sectional sizes; (c) Surface weft cross-sectional sizes

表2 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體紗線填充因子Tab.2 Yarn packing factors of multi-layer interlocked woven preforms

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，3種結(jié)構(gòu)預(yù)制體的紗線填充因子分別取為0.75、0.85和0.825，計(jì)算獲得3種預(yù)制體內(nèi)經(jīng)緯紗橫截面的厚度和變異系數(shù)，如表3～5所示。

表3 經(jīng)紗橫截面的厚度和變異系數(shù)Tab.3 Thickness and variation coefficient of warp yarn cross sections

與實(shí)測(cè)值對(duì)比表明，理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值具有很好的一致性。同時(shí)，對(duì)比文獻(xiàn)[6]方法獲得的紗線橫截面厚度和紗線橫截面變異系數(shù)，本文模型獲得的理論值更加接近實(shí)測(cè)值。

表4 內(nèi)部緯紗橫截面的厚度和變異系數(shù)Tab.4 Thickness and variation coefficient ofinterior weft yarn cross sections

表5 表層緯紗橫截面的厚度和變異系數(shù)Tab.5 Thickness and variation coefficient ofsurface weft yarn cross sections

3.2 預(yù)制體的厚度和纖維體積含量

由式(19)和(24)計(jì)算獲得3種結(jié)構(gòu)層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的厚度和纖維體積含量如表6所示。通過(guò)與實(shí)測(cè)值對(duì)比表明，本文模型理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值具有很好的一致性。通過(guò)與文獻(xiàn)[6]的理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比顯示，本文模型理論計(jì)算值具有更高的精度。

表6 層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的厚度和纖維體積含量Tab.6 Thickness and fiber volume faction of multi-layer interlocked woven preforms

表7示出紗線填充因子與層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體厚度和纖維體積含量之間的關(guān)系，表中J8W2.50和J8W3.00預(yù)制體具有相同的經(jīng)緯紗層數(shù)?？梢钥闯?，隨著紗線填充因子的增大，預(yù)制體的厚度減小，纖維體積含量增大。當(dāng)2種預(yù)制體紗線填充因子分別為0.750和0.850時(shí)，其厚度和纖維體積含量理論值分別與實(shí)測(cè)值最為接近。

表7 不同填充因子下的層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體厚度和纖維體積含量Tab.7 Thickness and fiber volume fraction of multi-layer interlocked woven preforms with different yarn packing factors

經(jīng)密和緯密的變化會(huì)改變層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的紗線填充因子和纖維體積含量，結(jié)果如圖11所示。可知，隨著經(jīng)密或緯密的增大，預(yù)制體紗線填充因子和纖維體積含量隨之增大。通常情況下，層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體纖維體積含量的取值區(qū)間為50%～60%，對(duì)應(yīng)的紗線填充因子取值區(qū)間為0.73～0.87。

圖11 紗線填充因子和纖維體積含量隨紗線經(jīng)緯密的變化Fig.11 Variations of yarn packing factor and fiber volume fraction with yarn warp density (a) andweft density (b)

4 結(jié) 論

本文在經(jīng)紗拋物線路徑和緯紗拋物線凸透鏡橫截面假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立了層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的細(xì)觀結(jié)構(gòu)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到以下主要結(jié)論。

1)基于一元二次函數(shù)定義的拋物線凸透鏡內(nèi)部緯紗橫截面、拋物線拱形表層緯紗橫截面以及拋物線形經(jīng)紗路徑，所建立的層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)聯(lián)關(guān)系是確定的、可求解的，可獲得紗線橫截面變異系數(shù)的確定解。

2)表層緯紗和內(nèi)部緯紗具有不同的橫截面形狀，通過(guò)建立預(yù)制體的全厚度單胞模型，可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)預(yù)制體的厚度和纖維體積含量。

3)隨著經(jīng)緯密的增加，層聯(lián)機(jī)織預(yù)制體的紗線填充因子和纖維體積含量隨之增加，當(dāng)纖維體積含量為50%～60%時(shí)，紗線填充因子的取值區(qū)間為0.73～0.87。