基于并行變可信度置信下界算法的航行體天線罩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

程吉，魏海鵬，林毅，劉華坪，舒樂時，周奇，蔣平*

1 華中科技大學(xué) 機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

2 華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，湖北 武漢 430074

3 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076

4 華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室，湖北 武漢 430074

0 引 言

為了提高復(fù)雜工程產(chǎn)品（例如飛機、輪船、汽車等）的設(shè)計質(zhì)量及設(shè)計效率，代理模型（又稱近似模型或元模型）已被廣泛用于基于實驗或數(shù)值仿真的設(shè)計優(yōu)化中，以替代昂貴的實驗或仿真模型來降低計算成本[1]。在基于代理模型的設(shè)計優(yōu)化中，分析模型的精度對優(yōu)化設(shè)計過程及結(jié)果至關(guān)重要。采用高精度分析模型進行優(yōu)化設(shè)計時，構(gòu)建滿足精度要求的代理模型需要大量計算昂貴的高精度樣本點，導(dǎo)致優(yōu)化過程所需的計算時間過長；而采用低精度分析模型進行優(yōu)化設(shè)計時，雖能夠顯著降低建模成本[2]，但可能會導(dǎo)致最后得到失效的優(yōu)化解。

為解決優(yōu)化設(shè)計中高/低精度分析模型之間的矛盾問題，變可信度代理模型應(yīng)運而生。變可信度代理模型通過低精度樣本點降低設(shè)計成本，同時采用少量的高精度樣本點來矯正相對高精度模型間的偏差，使其能夠在減少計算成本的同時保證模型的精度[3]。將變可信度代理模型與高效全局優(yōu)化（efficient global optimization, EGO）方法結(jié)合用于設(shè)計優(yōu)化時，在優(yōu)化過程中需要同時確定序貫更新樣本點的位置和模型精度層級。為此，Huang 等[4]提出了一種Co-Kriging 模型輔助的EGO 方法，通過采用增強期望改善（augmented expected improvement, AEI）準(zhǔn)則來同時確定更新樣本的位置和精度層級。Zhang等[5]基于層次Kriging 模型提出一種變可信度期望改善（VF-EI）準(zhǔn)則，通過分析高/低精度樣本對變可信度模型不確定性的影響來自適應(yīng)地選擇模型精度層級，有效避免了經(jīng)驗參數(shù)對優(yōu)化方法的影響。Jiang 等[6]考慮低精度樣本的成本及其對變可信度代理模型的影響，提出了一種變可信度置信下界（lower confidence bound, LCB）準(zhǔn)則，以此確定更新樣本的模型精度層級。張守慧等[7]將仿真分析模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別作為高/低精度模型，對KCS 集裝箱船艏部型線進行優(yōu)化，得到了興波阻力下降的船型。然而，目前基于變可信度EGO 方法的船舶優(yōu)化設(shè)計均是在每次迭代過程中選取單個樣本進行仿真計算，設(shè)計仍需要大量的計算時間。

隨著計算機軟硬件的快速發(fā)展，計算機的性能得到大幅提升，設(shè)計者們更加青睞于使用并行計算結(jié)構(gòu)（即多臺計算機或同一計算機多個處理器同時進行計算的結(jié)構(gòu)）進行設(shè)計，以此來縮短優(yōu)化設(shè)計所需的時間。若想將傳統(tǒng)的EGO 方法拓展至并行計算，則需要開發(fā)相應(yīng)的并行更新準(zhǔn)則，使得算法能夠在每次迭代過程中選取多個更新點。為此，Ginsbourger 等[8]提出了一種q-EI 準(zhǔn)則（q為計算資源數(shù)），該準(zhǔn)則能夠計算q=2時的目標(biāo)改善期望值，以此選擇貢獻更大的2 個樣本點，并使用蒙特卡洛方法來近似計算q＞2時的EI 函數(shù)值，然而該方法在高維時計算十分困難。為解決該問題，Ginsbourger 團隊同時提出了KB（Kriging beliver）和CL（constant liar）方法，避免了q-EI 準(zhǔn)則在選取樣本點時的大量運算[8]。Zhan 等[9]根據(jù)Kriging 模型中的相關(guān)性函數(shù)提出一種偽EI（PEI）準(zhǔn)則，使其能高效、準(zhǔn)確地選取多個更新樣本，并應(yīng)用于甲板板架、船底板架、縱橫加筋圓錐殼、環(huán)向加筋圓錐殼[10]的船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中。另外，夏志等[11]基于4 種常用的代理模型對水下結(jié)構(gòu)物基座的阻抗特性進行快速預(yù)報分析。雖然上述并行EGO 方法均可加速優(yōu)化過程以節(jié)省優(yōu)化設(shè)計所需時間，但是現(xiàn)有的并行EGO 方法均是針對單精度分析模型而言，適用于變可信度的并行EGO 方法仍待完善。

綜上，為縮短復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計時間并提高設(shè)計效率，本文將提出一種適用于并行計算結(jié)構(gòu)的變可信度LCB 優(yōu)化方法。該方法可通過變可信度LCB 函數(shù)在高/低精度間分配計算資源，并經(jīng)影響函數(shù)選取多個可能的最優(yōu)樣本點，且與常用約束處理策略相結(jié)合以對約束問題進行優(yōu)化。最后，將該方法應(yīng)用于水下發(fā)射的航行體天線罩結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，對天線罩的結(jié)構(gòu)尺寸進行優(yōu)化。

1 Kriging 模型與變可信度代理模型

1.1 Kriging 模型

Kriging 模型[12]是一種插值回歸模型，又稱為高斯過程模型，因其能夠在預(yù)測響應(yīng)值的同時給出預(yù)估均方誤差而被廣泛使用。Kriging 模型可以表示為

1.2 變可信度代理模型

變可信度代理模型通過整合來自高精度及低精度分析模型的樣本信息來近似模擬原系統(tǒng)，通常假設(shè)高/低精度模型間存在一定的差異，但響應(yīng)的整體趨勢大致相似[13]?，F(xiàn)有的變可信度代理模型構(gòu)建方法主要包括3 種：基于標(biāo)度函數(shù)的變可信度代理模型、基于空間映射的變可信度代理模型和Co-Kriging 類變可信度代理模型。其中，基于標(biāo)度函數(shù)的變可信度代理模型應(yīng)用最為普遍，主要有3 種標(biāo)度函數(shù)被用于構(gòu)建變可信度代理模型：加法標(biāo)度函數(shù)、乘法標(biāo)度函數(shù)及混合標(biāo)度函數(shù)。其中，加法標(biāo)度函數(shù)因其原理簡單、構(gòu)建迅速而被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化問題中，本文選用加法標(biāo)度函數(shù)法構(gòu)建變可信度代理模型。

在低精度及差異函數(shù)的Kriging 模型構(gòu)建完后，變可信度代理模型在未觀測點處的高精度預(yù)測值及預(yù)測誤差可以表示為：

2 并行變可信度LCB 方法

為充分利用變可信度代理模型及并行計算結(jié)構(gòu)各自的優(yōu)勢，本文提出了基于變可信度LCB 的并行優(yōu)化方法（PVF-LCB）。PVF-LCB 方法選取并行更新樣本點的主要思想為：首先，并行計算樣本點處的響應(yīng)值，以及根據(jù)加法標(biāo)度函數(shù)構(gòu)建變可信度代理模型；然后，利用變可信度LCB 函數(shù)（VF-LCB）選取合適的樣本點位置及精度層級；最后，通過選取的高/低精度樣本點構(gòu)建影響函數(shù)（IF），經(jīng)IF計算，對不同精度上其他未觀測點處的Kriging模型預(yù)估誤差值，并基于計算的預(yù)估誤差及VFLCB 函數(shù)選取下一個樣本。PVF-LCB 方法流程如圖1 所示，該方法的要點在于并行VF-LCB 準(zhǔn)則選取了多個樣本點，主要包括3 個部分：VF-LCB選取樣本點及精度層級、并行選點策略和約束處理策略。

圖1 并行變可信度LCB 方法流程圖Fig. 1 Flowchart of the proposed PVF-LCB method

2.1 變可信度LCB 函數(shù)

VF-LCB 函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)單精度LCB 函數(shù)的拓展，它能夠同時確定更新樣本的位置和精度層級。VF-LCB 函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)LCB 函數(shù)相似，其同樣是代理模型預(yù)測值和預(yù)估誤差的線性組合，公式如下：

在VF-LCB 函數(shù)中，前一項為高精度的預(yù)測值，與模型精度層級無關(guān)，即無論搜索高精度樣本還是低精度樣本，VF-LCB 函數(shù)均關(guān)注高精度預(yù)測值的最小值附近區(qū)域。后一項為預(yù)估誤差項，用于考慮變可信度代理模型的預(yù)估不確定性對預(yù)測函數(shù)值帶來的影響。 ω1和 ω2根據(jù)高精度預(yù)測值及預(yù)估誤差的分布離散程度來計算，能夠在優(yōu)化的過程中根據(jù)模型自身的特性客觀地調(diào)整兩項之間的權(quán)重參數(shù)。而CR(t)用于調(diào)整不同精度層級仿真成本帶來的影響，模型層級越低且成本系數(shù)越大，CR(t)對更新樣本點的位置與層級帶來的影響則越大；而由于t=1時CR(1)＞1， 故CR(t)使得VF-LCB 函數(shù)更加傾向于選取廉價的低精度樣本作為更新樣本。

2.2 并行選點策略

在VF-LCB 函數(shù)中，高/低精度樣本點位置的選取主要由高/低精度的預(yù)估誤差項來確定。據(jù)此，本文使用影響函數(shù)來計算新的未觀測樣本點處的預(yù)估誤差值，使得提出的方法能夠在每次迭代過程中選取多個對模型改善大且不重復(fù)的樣本點。對高/低精度模型，影響函數(shù)的公式分別為：

式中：x(i)為目前已選取但未進行仿真計算的更新樣 本 點；RC(·)和Rlf(·)分 別 為 差 異 函 數(shù) 及 低 精度Kriging 模型中的相關(guān)性函數(shù)，通過式（3）計算得到。圖2 為某一維函數(shù)的影響函數(shù)示意圖，影響函數(shù)值在已選取的待更新樣本點處為0，且隨著與待更新樣本點的距離增大逐漸增加至1。因此，鑒于影響函數(shù)的關(guān)系，預(yù)估誤差值在待更新樣本點處為0，且隨著與待更新樣本的距離增大而增加，從而避免了選取重復(fù)的樣本點。

圖2 影響函數(shù)示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the influence function

在確定一個或多個更新樣本點后，使用影響函數(shù)來計算變可信度代理模型的預(yù)估誤差：

圖3 并行VF-LCB 準(zhǔn)則流程圖Fig. 3 Flowchart of the proposed PVF-LCB criterion

2.3 約束處理策略

前文的PVF-LCB 并行優(yōu)化方法均針對無約束優(yōu)化問題，為了拓展其至約束優(yōu)化方法，本文選取了3 種常用的約束處理方法（包括懲罰函數(shù)法、約束搜索法和可行概率法）與所提出的并行優(yōu)化方法相結(jié)合。

2.3.1 懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是最為常用的一種約束處理方法，該方法在原目標(biāo)函數(shù)上加上懲罰項，使得約束問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題。

2.3.2 約束搜索法

約束搜索法即在滿足約束要求的條件下對目標(biāo)函數(shù)進行搜索，需要與相應(yīng)的約束優(yōu)化方法進行結(jié)合。約束搜索法與懲罰函數(shù)法的區(qū)別在于：懲罰函數(shù)法是通過無約束優(yōu)化方法進行搜尋，由于缺乏對約束的考慮，可能會造成無法搜索到可行解或者未搜索到最優(yōu)可行解；而約束搜索法則是根據(jù)已有的約束優(yōu)化方法進行搜尋，能夠搜索到更優(yōu)的可行解。

使用約束搜索法對VF-LCB 函數(shù)進行搜索時的優(yōu)化問題可以描述為：

2.3.3 可行概率法

可行概率法是通過計算在未觀測點處滿足所有約束的概率，亦稱為可行性概率（PoF），并將該概率值與目標(biāo)函數(shù)相結(jié)合，使原約束問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題。PoF 函數(shù)的表達式為

2.4 數(shù)值算例驗證

為測試該方法的有效性，以及優(yōu)化計算的效率及魯棒性，本文選取了3 個典型的數(shù)值算例[5]進行計算及對比，包括2 個無約束算例及1 個約束算例[6]。在該測試中，考慮5 臺計算機并行計算（q=5）的情況，并假定一個高精度計算的成本為低精度計算成本的5 倍（即CR(1)=5）。選取變可信度期望改善方法[5]及偽EI 方法（PEI）[9]作為對比方法進行測試，并保證相應(yīng)測試參數(shù)一致。對每個測試函數(shù)計算10 次，用以評估方法的魯棒性，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示，表中加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示每組對比中的最優(yōu)結(jié)果。

表1 本文方法的數(shù)值優(yōu)化問題測試結(jié)果Table 1 Optimization results of the proposed approach and comparable methods

由表1 可知：對于無約束優(yōu)化問題（Hartman 3和Ackley 5），本文所提方法找到了最優(yōu)優(yōu)化解，且所需迭代次數(shù)最少。與VF-EI 方法對比，本文所提PVF-LCB 方法由于每次迭代多個樣本點的選取，大大減少了優(yōu)化所需要的時間；與PEI 方法相比，由于變可信度代理模型的使用，本文方法減少了約50%的計算成本。另外，從等價高精度樣本數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可見，本文方法在面對不同初始樣本點等因素的影響時，穩(wěn)定性最好。

對于約束問題（Gano 2），通過3 種約束處理方法與本文所提出的并行變可信度LCB 方法相結(jié)合，分別表示為：PVF-LCB1，PVF-LCB2，PVFLCB3?？梢?，在優(yōu)化該問題時，與約束搜索法結(jié)合的方法得到了最為精確的優(yōu)化解，而PVFLCB1得到滿足精度解時所需要的迭代次數(shù)最少，即優(yōu)化時間最少。而從所提方法的魯棒性看，PVF-LCB1和PVF-LCB2方法在處理該問題時魯棒性較好，而PCEI 和PVF-LCB3方法魯棒性最差。

3 航行體天線罩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

采用適配器發(fā)射是一項先進的航行體水下發(fā)射技術(shù)，它不僅結(jié)構(gòu)簡單，而且裝填方便[14]。航行體未發(fā)射時，適配器在發(fā)射筒內(nèi)起到了固定、支撐航行體的作用；發(fā)射時在發(fā)射筒內(nèi)與航行體一起運動，對航行體起到定位和導(dǎo)向的作用。適配器方案下存在航行體出筒后分離多余物的問題，而分離的適配器可能會與天線罩發(fā)生碰撞，因此對天線罩的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計具有重大意義。

天線罩作為航行體的一部分，其主要用途是保護航行體上的天線能夠在航行體飛行途中正常工作，若將天線比作航行體的“眼睛”，天線罩則好比航行體的“護目鏡”。而天線罩設(shè)計得過大會造成航行體質(zhì)量不均衡且受到的氣動阻力變大，因此，本文考慮在保證一定結(jié)構(gòu)強度的要求下對天線罩結(jié)構(gòu)進行輕量化設(shè)計。

航行體天線罩和適配器的結(jié)構(gòu)位置如圖4 所示，航行體以一定的初速度運動，使天線罩與呈一定角度的適配器發(fā)生碰撞。適配器為環(huán)形空心結(jié)構(gòu)，材料采用的是廣泛使用的聚氨酯泡沫和聚氨酯彈性體。適配器結(jié)構(gòu)分為3 層，其三維模型如圖5 所示。

圖4 航行體天線罩與適配器位置示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the location between the deep-submerged body's protective cover and the adapter

圖5 適配器三維模型Fig. 5 3D model of the adapter

在設(shè)計天線罩時，有3 個設(shè)計變量：天線罩沿航行體縱向的長度L，天線罩在環(huán)向的長度H和天線罩的厚度D，如圖6 所示。該設(shè)計問題的數(shù)學(xué)描述可以表示為

圖6 天線罩設(shè)計變量示意圖Fig. 6 Schematic diagram of the design variables

式中：V(·)為 天線罩的體積；F(·)為天線罩受到的最 大沖擊力； εz(·)為 適 配 器 在z軸方向上的最大應(yīng)變值；設(shè)計變量取值范圍：150 mm ≤L≤250 mm;140 mm ≤H≤200 mm; 25 mm ≤D≤50 mm。

在仿真計算時，首先，采用ANSYS2020 軟件對航行體、天線罩及適配器進行前處理，航行體殼體與天線罩建模時使用ANSYS 有限元工具中的剛體材料模型RIGID 對其建模，對適配器采用Mooney-Rivlin 模型進行本構(gòu)建模。然后，再使用LS-DYNA 軟件進行有限元仿真計算。最后，使用LS-PREPOST 進行后處理提取所需響應(yīng)值。

選取不同數(shù)量網(wǎng)格的仿真模型作為高/低精度模型，低精度仿真模型網(wǎng)格數(shù)約為22 000，高精度仿真模型網(wǎng)格數(shù)約為120 000，高/低精度模型網(wǎng)格圖如圖7 所示。因每次高精度及低精度仿真時間分別約為1 h 和10 min，故設(shè)置提出方法中的成本系數(shù)CR(1)=6。對某一個樣本點，測試其高/低精度仿真響應(yīng)，得到的最大沖擊力及適配器最大應(yīng)變?nèi)鐖D8 所示。由圖可見，高/低精度的最大沖擊力存在一定的差異，但出現(xiàn)最大沖擊力的時刻點幾乎相同，且時程曲線具有相似的趨勢。高/低精度模型的適配器最大應(yīng)變值同樣具有一定的差異，但其值卻出現(xiàn)在不同的時刻點。

圖7 高/低精度仿真模型網(wǎng)格示意圖Fig. 7 Schematic diagram of meshing for the high and low-fidelity simulation model

圖8 高/低精度響應(yīng)值對比Fig. 8 Response comparison of the high and low-fidelity model

采用提出的變可信度LCB 并行優(yōu)化方法對航行體天線罩結(jié)構(gòu)尺寸進行優(yōu)化設(shè)計，對2 臺（q=2） 、3 臺（q=3 ） 及6 臺（q=6）計算機并行計算的情況進行測試。同時，選取2 組已有的基于代理模型的EGO 優(yōu)化方法和本文所提方法對求解該工程問題進行對比。第1 組選取廣泛使用的基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法，即AEI 方法[4]和VF-EI 方法[5]，用于驗證在使用變可信度代理模型情況下采取并行計算結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程所節(jié)省的時間成本。第2 組選取已有的基于單精度代理模型的并行優(yōu)化設(shè)計方法，包括KB-CEI 方法[8]和偽CEI 方法（PCEI）[9,10]。對基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法，當(dāng)?shù)葍r高精度樣本數(shù)達到30 時停止，等價高精度樣本數(shù)計算方法為nhf+nlf/CR(1) ， 其中nlf和nhf為添加的低精度、高精度樣本數(shù)；而對于本文所提方法及基于單精度代理模型的并行優(yōu)化設(shè)計方法，在q=2及q=3時進行10 次優(yōu)化迭代過程，在q=6時進行5 次優(yōu)化迭代過程后停止。測試所提方法與3 種約束處理策略相結(jié)合時的優(yōu)化結(jié)果，分別表示為：PVF-LCB1，PVFLCB2和PVF-LCB3。在優(yōu)化過程中，由拉丁超立方實驗設(shè)計方法選取9 個高精度樣本點及18 個低精度樣本點作為本文方法及變可信度串行優(yōu)化方法的初始樣本點，相同的9 個高精度樣本點作為單精度并行優(yōu)化方法的初始樣本點。表2 所示為本文方法與2 組對比方法的比較結(jié)果，表中粗體表示對比項的最優(yōu)值。

圖9 為3 種并行情況下的優(yōu)化過程迭代曲線圖。由圖可以看到，在q=3 及q=6時，本文所提方法在第1 次迭代過程即找到了滿足約束要求的可行解，其中PVF-LCB3方法在第1 次迭代找到了較優(yōu)的解。對于KB-CEI 方法，其在q=3及q=6時未能在預(yù)設(shè)的計算成本內(nèi)找到滿足約束要求的優(yōu)化設(shè)計解，而在q=2時經(jīng)過8 次迭代過程才找到。對于PCEI 方法，分別在第7 次、第5 次和第2 次迭代時才搜尋到滿足約束的解。因此，通過變可信度LCB 函數(shù)自適應(yīng)分配資源以及變可信度代理模型的使用，本文方法能夠更高效地搜索滿足約束條件的優(yōu)化解。另外，隨著并行計算資源的增加，本文方法得到相同優(yōu)化解所需的迭代次數(shù)（即設(shè)計時間）減少，但仿真計算所需總次數(shù)增多。

圖9 并行優(yōu)化方法迭代曲線Fig. 9 Iterative curves of the parallel optimization methods

綜上所述，本文提出的并行變可信度LCB 方法能夠有效地對航行體天線罩的結(jié)構(gòu)尺寸進行優(yōu)化設(shè)計，能夠滿足航行體天線罩與適配器碰撞要求。該方法與可行概率法相結(jié)合時，對求解工程優(yōu)化問題的設(shè)計效率最高。與已有的變可信度優(yōu)化設(shè)計方法相比，因使用了并行計算結(jié)構(gòu)，極大地縮短了優(yōu)化設(shè)計所需的計算時間，且得到的優(yōu)化解更優(yōu)，天線罩質(zhì)量減少了約50%。另外，本文方法與已有的基于單精度代理模型的并行優(yōu)化方法相比，通過變可信度LCB 函數(shù)自適應(yīng)分配高/低精度資源，提高了優(yōu)化求解效率，且減少了約30%的天線罩質(zhì)量。

4 結(jié) 論

在基于代理模型的復(fù)雜工程產(chǎn)品設(shè)計問題中，為縮短所需的時間并提高求解效率，本文基于變可信度代理模型優(yōu)化算法的自適應(yīng)機制與并行計算框架相結(jié)合，提出了一種并行變可信度LCB算法。該算法能夠通過提出的VF-LCB 函數(shù)自適應(yīng)地在高/低精度模型間分配計算資源，以及通過低精度與差異函數(shù)的Kriging 模型建立影響函數(shù)，用于在優(yōu)化求解過程中選取多個對變可信度代理模型改善較大的更新樣本點。為了將所提方法適用于約束優(yōu)化問題，選取了基于代理模型優(yōu)化方法中常用的3 種約束處理方法與并行變可信度LCB算法相結(jié)合，并應(yīng)用于水下航行體發(fā)射時天線罩與適配器碰撞的優(yōu)化問題。對航行體天線罩結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的結(jié)果表明：1）所提方法與可行概率法相結(jié)合對上述工程問題的優(yōu)化求解最為高效；2）與已有的基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法相比，本文方法減少了天線罩質(zhì)量約50%，縮短了設(shè)計優(yōu)化所需的時間；而且，與已有基于單精度代理模型的并行優(yōu)化方法相比，天線罩質(zhì)量也減少了約30%，優(yōu)化求解的效率得到了提高。

由于本文所采用的約束處理方法僅考慮了模型的高精度預(yù)測值，未考慮約束條件下高/低精度的預(yù)估誤差及其他信息，因此，未來將從昂貴的約束優(yōu)化方向進一步開展工作，找到適用于變可信度的昂貴約束優(yōu)化方法，并可以拓展至并行計算結(jié)構(gòu)。