數(shù)值模擬軟件在振動力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用1)

馮文杰 李海艷

(石家莊鐵道大學(xué)工程力學(xué)系，石家莊050043)

振動力學(xué)是力學(xué)專業(yè)本科生的主干課程之一，也是一門與機(jī)械、航空航天、土木等工程密切聯(lián)系的基礎(chǔ)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識自然和工程中的振動現(xiàn)象，掌握工程結(jié)構(gòu)的振動規(guī)律，提高分析問題、解決問題的能力；有助于培養(yǎng)辯證唯物主義的世界觀和方法論，為解決工程振動問題和從事科學(xué)研究工作打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)[1]。

數(shù)值模擬借助有限元、邊界元等數(shù)值方法，依靠計(jì)算機(jī)，通過數(shù)值計(jì)算和圖像顯示，達(dá)到認(rèn)識和解決實(shí)際問題的目的。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到精確解，而數(shù)值方法不僅能滿足計(jì)算精度要求，且能夠適應(yīng)各種復(fù)雜形狀問題的求解，已成為一種應(yīng)用廣泛、十分高效的工程分析手段，也成為高校工科畢業(yè)生必須掌握的一種技術(shù)[2]。

本文基于ANSYS數(shù)值分析軟件，將數(shù)值模擬手段引入到振動力學(xué)教學(xué)中，將教學(xué)過程中難以理解的概念、現(xiàn)象等采用數(shù)值分析手段直觀地模擬出來，在加深學(xué)生對知識理解的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和運(yùn)用數(shù)值手段分析、解決實(shí)際問題的能力，為豐富振動力學(xué)課程教學(xué)手段進(jìn)行初步探索[3]。

1 振動力學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀

“力學(xué)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)”建議振動力學(xué)課程理論學(xué)時(shí)數(shù)為48學(xué)時(shí)。國內(nèi)力學(xué)類專業(yè)振動力學(xué)課程學(xué)時(shí)數(shù)主要有兩類，一類是64學(xué)時(shí)，另一類是48學(xué)時(shí)，總體上力學(xué)類專業(yè)該課程理論學(xué)時(shí)多數(shù)在48學(xué)時(shí)以上[4]。我校工程力學(xué)本科專業(yè)振動力學(xué)課程理論授課學(xué)時(shí)為48學(xué)時(shí)，主要授課內(nèi)容包括單自由度系統(tǒng)的振動、多自由度系統(tǒng)的振動、振動問題的實(shí)用近似解法、連續(xù)系統(tǒng)的振動。單自由度體系的振動是多自由度體系振動和連續(xù)系統(tǒng)振動的基礎(chǔ)，多自由度體系振動的核心內(nèi)容是振型的概念以及振型疊加法，連續(xù)系統(tǒng)的振動是多自由度系統(tǒng)振動的延伸。工程中多數(shù)振動問題可采用線性振動理論解決，本科階段對振動力學(xué)知識的掌握對學(xué)生未來解決工程振動問題或從事科學(xué)研究意義重大[5]。

振動力學(xué)理論抽象，公式推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，要求學(xué)生具有很好的數(shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的教學(xué)方法過于偏重理論知識的傳授，普遍存在以下幾方面的問題：(1)教學(xué)模式單一，枯燥的理論學(xué)習(xí)難以活躍課堂氣氛；(2)學(xué)生對于振動力學(xué)中大量的物理概念缺乏直觀、形象的認(rèn)識，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；(3)理論與工程實(shí)踐聯(lián)系不夠緊密，學(xué)習(xí)過程中理論計(jì)算與數(shù)值模擬的對比分析不夠。針對以上問題，借助于數(shù)值模擬軟件將數(shù)值分析結(jié)果引入到振動力學(xué)課程教學(xué)中，可以將晦澀難懂的振動力學(xué)概念、現(xiàn)象等通過數(shù)值手段直觀模擬展示出來，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)值手段解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力的高素質(zhì)創(chuàng)新型力學(xué)人才[6-7]。

2 基于數(shù)值模擬的振動力學(xué)教學(xué)實(shí)例

我校工程力學(xué)專業(yè)本科生開設(shè)了數(shù)值分析軟件ANSYS必修課程。振動力學(xué)課程教學(xué)中，將一些知識點(diǎn)提取出來，讓學(xué)生用ANSYS軟件進(jìn)行模擬，并與可能的理論結(jié)果進(jìn)行對比，不僅可以加深學(xué)生對知識點(diǎn)的領(lǐng)悟，同時(shí)對學(xué)生實(shí)際操作能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也大有裨益。下面列舉一些實(shí)際教學(xué)中利用數(shù)值軟件模擬振動力學(xué)問題的典型實(shí)例。

2.1 單自由度系統(tǒng)分析(固有頻率求解)

單自由度系統(tǒng)是最簡單的振動系統(tǒng)，但其分析方法和結(jié)論對多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的分析具有重要的指導(dǎo)意義。單自由度系統(tǒng)固有頻率是系統(tǒng)的固有參數(shù)。由公式可知，固有頻率ω0與系統(tǒng)的等效剛度k成正比，與等效質(zhì)量m成反比。為了說明此問題引入如下例題。

如圖1(a)所示，簡支梁的抗彎剛度EI=3.66×105N·m2，跨中重物固定質(zhì)量m=30 kg，不計(jì)梁自重，試用ANSYS建模計(jì)算其自由振動的固有頻率，并試算單獨(dú)增大質(zhì)量或剛度時(shí)，系統(tǒng)固有頻率的變化。

本題理論計(jì)算等效剛度為k=48EI/43=274.5 kN/m，固有頻率為ω=15.244 Hz。數(shù)值建模時(shí)需將簡支梁密度設(shè)置為零，以實(shí)現(xiàn)梁零自重。本題無論建模還是計(jì)算都比較簡單，學(xué)生容易上手，圖1(b)～圖1(d)為數(shù)值模擬結(jié)果。從計(jì)算結(jié)果可知，本題自由振動固有頻率模擬結(jié)果為15.244 Hz，與理論解一致；當(dāng)僅質(zhì)量增大4倍時(shí)，固有頻率由15.244 Hz降低到7.622 Hz，正好減小了一倍；當(dāng)僅剛度增大4倍時(shí)，固有頻率由15.244 Hz提高到30.489 Hz，正好增大了1倍，與固有頻率求解公式結(jié)果一致。因此，對一些等效質(zhì)量和等效剛度不明顯的單自由度系統(tǒng)，采用數(shù)值模擬手段確定其固有頻率非常有效。

圖1 單自由度系統(tǒng)固有頻率求解

2.2 有阻尼受迫振動分析(幅頻與相頻曲線)

無阻尼振動是一種理想情況，實(shí)際振動系統(tǒng)總是有阻尼的。單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的受迫振動是動力學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典內(nèi)容。下面以質(zhì)量?彈簧?阻尼系統(tǒng)為例，說明有阻尼單自由度系統(tǒng)受迫振動情況。

如圖2(a)所示，質(zhì)量?彈簧?阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵力F=F0sinωt作用，其中M=1 kg，k=10 kN/m，F(xiàn)0=2 kN，ω為激勵力頻率，c為阻尼系數(shù)，試?yán)L制不同阻尼比下系統(tǒng)的幅頻特性曲線與相頻特性曲線。

幅頻特性曲線以幅值為縱坐標(biāo)、激勵力頻率為橫坐標(biāo)；相頻特性曲線以相位角為縱坐標(biāo)、激勵力頻率為橫坐標(biāo)。本題選用ANSYS中的combin14單元進(jìn)行建模，將不同阻尼比下對應(yīng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線繪制在同一張圖內(nèi)，如圖2(b)和圖2(c)所示。從圖中可以確定系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率，清晰看出幅值與相位隨激勵力頻率和阻尼比的變化規(guī)律。本例題在培養(yǎng)學(xué)生稍復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值建模思想的同時(shí)，借助計(jì)算軟件的強(qiáng)大功能，可使得學(xué)生更深入理解有阻尼受迫振動現(xiàn)象。

圖2 有阻尼受迫振動分析

2.3 多自由度系統(tǒng)自由振動分析(鞭梢效應(yīng))

在振動力學(xué)中，若將系統(tǒng)的分布質(zhì)量及分布彈簧和阻尼簡化為有限個(gè)集中質(zhì)量及有限個(gè)無質(zhì)量的彈簧和阻尼，該系統(tǒng)即可看作多自由度系統(tǒng)。線性多自由度系統(tǒng)存在與自由度數(shù)目相等的多個(gè)固有頻率，每個(gè)固有頻率對應(yīng)于系統(tǒng)的一種特定振型。多自由度系統(tǒng)固有頻率和振型的求解是振動力學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容。

“鞭梢效應(yīng)”是指結(jié)構(gòu)受地震作用時(shí)，其頂部質(zhì)量和剛度突變部分，在每一個(gè)來回的轉(zhuǎn)折瞬間，形成較大速度、產(chǎn)生較大位移的現(xiàn)象。就像農(nóng)村趕車的鞭子，之所以能夠甩響，很重要的一個(gè)原因是鞭子端部有一段很細(xì)的尾巴(鞭梢)，當(dāng)揮動鞭子的時(shí)候，由于鞭梢質(zhì)量突然減小，使得鞭梢的振幅與速度突然加快，從而引發(fā)空氣劇烈振動，產(chǎn)生清脆的響聲。

對二層樓房進(jìn)行固有頻率和振型分析時(shí)，可采用如圖3(a)所示簡化模型，假設(shè)立柱抗彎剛度EI=1.43×107N·m2，其上等距分布的兩個(gè)集中質(zhì)量m1=m2=100 kg。不計(jì)立柱質(zhì)量，試通過ANSYS軟件計(jì)算該系統(tǒng)自由振動的固有頻率和振型。若二層樓房的頂層為小閣樓時(shí)，即m2和k2突然減小，假設(shè)m2和k2均減小為原來的1/90時(shí)，進(jìn)一步分析系統(tǒng)振型的變化情況。

本題建模時(shí)需注意將質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量施加在垂直于桿軸的水平方向，即只讓質(zhì)點(diǎn)沿水平方向振動，限定其他兩個(gè)方向的振動。由圖3(b)可知，上下層質(zhì)量、剛度均相等時(shí)，一、二階固有頻率分別為f1=58.471 Hz，f2=153.08 Hz。由圖3(c)和圖3(d)知，將m1處水平位移轉(zhuǎn)換為1，該模型的一階振型為ξ1={1.618,1}T、二階振型為ξ2={?0.618,1}T。可見，上下層質(zhì)量和剛度相同時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)處位移相差不大。

圖3 多自由度系統(tǒng)自由振動求解(續(xù))

圖3 多自由度系統(tǒng)自由振動求解

圖4為上層m2和k2均減小為原來的1/90時(shí)，固有頻率與振型的數(shù)值求解結(jié)果。從圖中可以看出，此時(shí)一、二階固有頻率分別為f1=89.754 Hz，f2=99.726 Hz，一階振型為ξ1={10,1}T、二階振型為ξ2={?9,1}T。因此當(dāng)頂端質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂端水平側(cè)移很大。建筑結(jié)構(gòu)中，因頂端質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨大反應(yīng)的鞭梢效應(yīng)現(xiàn)象實(shí)際應(yīng)用很多。如：屋頂消防水池、上人屋面設(shè)計(jì)的樓電梯間、女兒墻或等屋頂建筑物。本題介紹了工程中的“鞭梢效應(yīng)”現(xiàn)象，與工程實(shí)際結(jié)合緊密，可有效激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

圖4 鞭梢效應(yīng)

2.4 多自由度系統(tǒng)受迫振動(三層剛架)

受迫振動是指系統(tǒng)在振動過程中不斷受到由外界控制的激勵作用。工程中受迫振動的例子很多，比如振動篩、打夯機(jī)、醫(yī)用振蕩床等，下面以三層剛架受簡諧激勵力作用的受迫振動為例進(jìn)行說明。

如圖5(a)所示三層剪切型剛架系統(tǒng)，橫梁的彎曲剛度為無窮大，剛架的全部質(zhì)量都等效集中到橫梁上，分別為m1=m2=m=100 kg，m3=0.2m=20 kg。各層間側(cè)移剛度為k1=k2=k=3.093×104kN/m，k3=0.2k=0.618×104kN/m。在第一層橫梁處作用有水平簡諧載荷F(t)=F0sinθt，其中F0=100 kN，θ=556.1 rad。試用ANSYS建模計(jì)算該系統(tǒng)自由振動的固有頻率和振型，并求各層梁受迫振動的振幅。

由圖5(b)可知該題前三階固有頻率分別為f1=49.658 Hz，f2=95.748 Hz，f3=145.85 Hz，其所對應(yīng)的前三階振型由圖5(c)～圖5(e)所示。該題理論求解時(shí)需要寫出剛度矩陣、質(zhì)量矩陣，并求解三元一次方程，求解過程比較繁瑣；采用數(shù)值模擬手段可快速求得結(jié)果，并將振型圖直觀顯示出來，更便于學(xué)生對知識點(diǎn)的理解。

圖5(f)為受迫振動的振幅圖，由圖可知m1，m2，m3處的位移比值為1:0:?5，因此當(dāng)穩(wěn)態(tài)振動時(shí)，頂層橫梁的振幅為底層橫梁振幅的5倍，與前面多自由度系統(tǒng)自由振動問題中的理論結(jié)果一致。由于頂層質(zhì)量和剛度發(fā)生了突變，產(chǎn)生了“鞭梢效應(yīng)”，導(dǎo)致頂層產(chǎn)生較大的位移和內(nèi)力，因此在建筑抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免質(zhì)量和剛度發(fā)生突變。另一方面，剛架在第二層橫梁處振幅基本為0，處于靜止?fàn)顟B(tài)，即頂層對二層橫梁有消振作用，工程中可利用。

圖5 剛架受迫振動求解

本例題更接近工程實(shí)際，學(xué)生表現(xiàn)出了極大的興趣。本題的練習(xí)不僅加深了學(xué)生對多自由度系統(tǒng)固有頻率、振型和受迫振動的理解，還讓學(xué)生明白利用所學(xué)知識可以切實(shí)解決現(xiàn)實(shí)工程中的問題，達(dá)到了學(xué)以致用的效果。

2.5 連續(xù)系統(tǒng)自由振動分析(簡支梁)

離散系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)趨于無窮多時(shí)就是連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)的很多概念可以從多自由度系統(tǒng)延伸而來。與多自由度系統(tǒng)相比，連續(xù)系統(tǒng)自由振動的固有頻率從有限個(gè)變?yōu)闊o限個(gè)，主振型也由原來的向量表示演變?yōu)楹瘮?shù)表示。采用數(shù)值模擬手段對連續(xù)系統(tǒng)的振動進(jìn)行分析，可更加凸顯該方法的優(yōu)越性。

以簡支梁固有頻率和模態(tài)計(jì)算為例。某簡支鋼梁計(jì)算跨度l=8 m，截面為工字型，截面面積A=8.337×10?3m2，截面慣性矩I=2.278×10?4m4。要求學(xué)生用振動力學(xué)知識計(jì)算該簡支梁的固有頻率和模態(tài)，同時(shí)采用ANSYS軟件進(jìn)行建模計(jì)算，并將理論計(jì)算結(jié)果與軟件模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析。

本題理論求解結(jié)果為：固有頻率表達(dá)式ωi=模態(tài)函數(shù)φi(x)=xsin(iπ/l)，其中，階數(shù)i=1，2，···，E為鋼的彈性模量，ρ為鋼材密度。采用ANSYS建模計(jì)算所得前四階固有頻率與理論結(jié)果對比見表1，有限元模擬前四階模態(tài)見圖6。

表1 簡支梁固有頻率計(jì)算結(jié)果對比(單位：Hz)

本題理論求解時(shí)需要學(xué)生掌握無限自由度體系自由振動方程的求解方法，會寫邊界條件，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行方程的推導(dǎo)。由表1對比分析發(fā)現(xiàn)，低階頻率誤差較小，高階頻率誤差較大?？梢?，對于低階頻率，數(shù)值分析完全可以滿足精度的要求。同時(shí)通過圖6可以更直觀地了解簡支梁前四階模態(tài)形式。

圖6 簡支梁模態(tài)

課堂教學(xué)中，學(xué)生對本題的參與度和積極性非常高，課程結(jié)束后基本都能掌握有關(guān)簡支梁自由振動的知識點(diǎn)，且在建模過程中加深、拓展了學(xué)生對所學(xué)軟件的應(yīng)用能力。

3 應(yīng)用效果分析

將數(shù)值模擬應(yīng)用到振動力學(xué)課程教學(xué)中，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生可通過理論學(xué)習(xí)，利用數(shù)值模擬軟件實(shí)現(xiàn)對振動力學(xué)規(guī)律的探索。教師在教學(xué)過程中可著重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律、提煉結(jié)論，由單向知識傳授轉(zhuǎn)變?yōu)榛诮鉀Q問題的互動式教學(xué)，學(xué)生可由被動繼承知識為主的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷ξ粗挛锏闹鲃忧笏?，從“知識本位”上升到“能力本位”。

振動力學(xué)課程教學(xué)結(jié)合數(shù)值模擬在力17011-2班共56名學(xué)生中進(jìn)行了實(shí)踐，得到了學(xué)生的認(rèn)可。問卷調(diào)查顯示：學(xué)生總體較滿意的比率占到了約90%；學(xué)生認(rèn)為自己理論聯(lián)系實(shí)踐能力得到提高的比率為65.5%，分析解決問題能力得到提高的比率為77.6%，自主學(xué)習(xí)能力得到提高的比率為72.8%，團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力得到提高的比率為69.3%。將應(yīng)用前后的2016級與2017級學(xué)生成績分析對比列于表2。由表2可知，2017級學(xué)生成績總體優(yōu)秀率提高了1%，良好率提高了21.83%，中等率提高了2.18%，及格率下降了14.28%，不及格率下降了10.72%，學(xué)生總體成績明顯提高。

表2 2016級與2017級學(xué)生成績對比分析

可見，將數(shù)值模擬手段應(yīng)用到振動力學(xué)課程教學(xué)中，充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，增加了教師和學(xué)生間、學(xué)生和學(xué)生間的互動性，有效促進(jìn)了學(xué)生發(fā)散思維能力和協(xié)作交流能力的培養(yǎng)，提高了教學(xué)質(zhì)量，取得了良好的教學(xué)效果。通過本課程的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，可進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和利用數(shù)值模擬手段解決復(fù)雜振動問題的能力。

4 結(jié)語

教學(xué)方法的革新是一個(gè)長期而艱巨的任務(wù)，一門課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的完善需要通過教學(xué)實(shí)踐不斷錘煉、不斷增補(bǔ)。本文探索了數(shù)值模擬手段在我校工程力學(xué)專業(yè)振動力學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用。振動力學(xué)課程教學(xué)中結(jié)合數(shù)值模擬，可有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，并充分踐行“以學(xué)生為中心”的教育理念，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。