從屬于指數(shù)函數(shù)的星像函數(shù)子類的四階 Hankel 行列式

張海燕, 湯 獲, 馬麗娜

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 赤峰 024000)

(1)

的函數(shù)族.

1992年,MA和MINDA[1]引入某類星像函數(shù)類S*(φ):

另一方面,對(duì)于不同解析函數(shù)類的Hankel行列式研究一直是熱點(diǎn)問(wèn)題之一. 1966年,POMMERENKE[5]定義了解析函數(shù)f的q階Hankel行列式Hq(n). 很明顯,當(dāng)q=2,n=1時(shí),|H2(1)|即是Fekete-Szeg?泛函[6-11]. 近年來(lái),許多學(xué)者對(duì)各類解析函數(shù)的二、三階 Hankel 行列式做了大量研究[12-24]. 如:研究了與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的星像函數(shù)類的二、三階 Hangkel 行列式[12-14];研究了有界轉(zhuǎn)動(dòng)、星像和凸像函數(shù)類的三階Hankel 行列式[15];研究了近于凸函數(shù)類的三階Hankel 行列式[17].

但是,目前對(duì)于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)類的 Hankel 行列式的研究都僅基于二階和三階的情形,而對(duì)四階 Hankel 行列式的研究還不多見(jiàn). 基于以上啟發(fā),本文主要研究了與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的星像函數(shù)類的四階 Hankel 行列式H4(1), 得到其上界估計(jì).

1 預(yù)備知識(shí)

(2)

其中,a1=1,n≥1,q≥1.特別地,有

下面給出本文所需用的引理.

及

及|cn|≤2(n=1,2,…).

|cn+k-μcnck|<2,

2 主要結(jié)果

下面給出本文的主要定理.

(3)

3a2a4)z6+….

(4)

令

(5)

由式(5)知,

(6)

分別比較式(4)、(6)兩邊關(guān)于z、z2、z3、z4、z5、z6的系數(shù),可得

(7)

由引理2,易證 |a2|=|c1/2|≤1.而由引理1,可得

故F(c,t)在[0,1]關(guān)于t是單調(diào)遞增函數(shù). 因此,F(c,t)在t=1取得最大值,即

易證G(c)在c=2處取得最大值,即|a3|≤G(2)=3/4.

又

類似地,因?yàn)?/p>

又

令

則

因此,c=0 是方程F′(c)=0 的根. 又因?yàn)镕″(0)<0,所以,F(c)在c=0處取得最大值,即|a6|≤F(0)=17/60.

又

令

進(jìn)而可得F′(c)≥0.因此,F(c)在c=2處取得最大值,即|a7|≤F(2)=59/80.證畢.

(8)

證明通過(guò)式(7)可得

由引理1可知

因此,F(c,t)在[0,1]關(guān)于t是單調(diào)遞增函數(shù). 故F(c,t)在t=1處取得最大值,即

同理易證G(c)在c=0處取得最大值,即

證畢.

(9)

證明由式(7)可得

由引理2和引理3可得

證畢.

(10)

證明由式(7)可得

由引理1可得

令

因此,F(c,t)在[0,1]上關(guān)于t是單調(diào)遞增函數(shù),從而可得F(c,t)在t=1處取得最大值,即

設(shè)

則

(11)

令

因此,F(c)關(guān)于c單調(diào)遞增,故F(c)在c=2處取得最大值,即

證畢.

(12)

證畢.

(13)

令

因此,F(c)關(guān)于c單調(diào)遞增,故F(c)在c=2處取得最大值,即

證畢.

(14)

證明因?yàn)?/p>

所以,由三角不等式可得

|a4||a5||a2a5-a3a4|+|a4||a6||a4-a2a3|.

(15)

將式(3)、(8)～(13)代入到式(15),即得式(14). 證畢.