多維視角解三角形高考試題

葉玉蘭

解三角形作為近幾年高考的熱點題型，通?？疾閷W(xué)生運用正弦定理，余弦定理求解三角形的邊，角，周長，面積和最值問題。本文以一道高考題為例，多視角剖析解三角形的求解策略，提出解后思考促進(jìn)教與學(xué)的工作。

一、真題呈現(xiàn)

（2021·全國高考真題）記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b²=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、總體分析

這道題滿分12分，廣東省平均分約為4.8分，約有85%的同學(xué)沒能從（2）問得分。這道題（1）問是證明，考查正弦定理的邊角互化的功能，體現(xiàn)等量代換的數(shù)學(xué)思想。（2）問是在斜三角形的背景下求角的問題，可以從常規(guī)視角運用正弦定理，余弦定理的工具，建立邊或者角的方程求解;可以聯(lián)系初中平面幾何的相似三角形進(jìn)行求解;可以從向量的角度分析求解;也可以從坐標(biāo)法出發(fā)分析求解;部分學(xué)生還使用施特瓦爾特定理進(jìn)行求解，這里不作詳細(xì)介紹。由此可見，這個題入手低，思路多是高三復(fù)習(xí)的一道經(jīng)典好題。

三、解法探究

下面第（2）問從多個視角體會設(shè)計者的獨到匠心。

視角1：常規(guī)視角

在多個三角形背景下求解cos∠ABC，可以直接求出a，b，c的值或者找到a，b，c的兩個等量關(guān)系進(jìn)行消元進(jìn)行求解，題目的條件b²=ac可得一等量關(guān)系式而另外一個等量關(guān)系式如何尋找？可以通過多個三角形的角度互補，互余或者相等關(guān)系運用正弦定理或余弦定理建立。

評注：構(gòu)造相似三角形，通過角度關(guān)系得到余弦定理的等量關(guān)系符合學(xué)生學(xué)習(xí)的就近發(fā)展區(qū)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。

四、解后反思

高三的備考，時間緊，任務(wù)重，所以用好高考題，挖掘其育人價值，體會高考命題立意是高考備考的捷徑。本文從多個視角對一道高考題進(jìn)行分析，既能讓學(xué)生從常規(guī)視角掌握通性通法也能從不常規(guī)視角拓寬學(xué)生的視野，溝通解三角形和向量，平面幾何，解析幾何等知識的聯(lián)系，培養(yǎng)其轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形幾何，方程的數(shù)學(xué)思想，落實學(xué)生數(shù)學(xué)運算，邏輯推理，直觀想象等核心素養(yǎng)。