高速列車非線性系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階有限時間控制器設(shè)計

戈萌 宋琦 胡鑫睿

列車自動運(yùn)行系統(tǒng)(Automatic train operation,ATO)能否產(chǎn)生可靠的牽引與制動控制信號是高速列車安全可靠運(yùn)行的關(guān)鍵問題之一,即需要針對ATO 系統(tǒng),建立可靠的牽引與制動控制算法[1].而高速列車運(yùn)行過程中的運(yùn)行阻力,未知的車間力,不可預(yù)測的執(zhí)行器故障以及復(fù)雜的運(yùn)行環(huán)境[2],使得高速列車系統(tǒng)具有高度的不確定性和非線性.因此,開展高速列車牽引與制動控制算法的研究變得更加重要且更具挑戰(zhàn)性.

目前已有學(xué)者針對高速列車上述部分特性建立了牽引與制動控制算法(如:H∞控制[3]、反步控制[4]等)以實現(xiàn)穩(wěn)定的位移與速度跟蹤控制,但很大部分研究成果多將研究重點放在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能上,即證明高速列車速度與位移跟蹤控制系統(tǒng)是Lyapunov漸進(jìn)穩(wěn)定的,這意味著該閉環(huán)系統(tǒng)最快的收斂速度是無限時間內(nèi)的指數(shù)收斂,從而限制了系統(tǒng)獲得更好的收斂性能[5].為適應(yīng)實際應(yīng)用的需要,有限時間穩(wěn)定性(Finite-time stability,FTS)應(yīng)運(yùn)而生.有限時間穩(wěn)定性指在某一個固定的時間區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡不會超過預(yù)先設(shè)定的界限,即著重于固定時間間隔內(nèi)系統(tǒng)的性能指標(biāo)和狀態(tài)軌跡,并強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)行為[6].近年來,針對大多數(shù)實際系統(tǒng),基于Lyapunov 的有限時間控制算法因其可處理外界擾動和穩(wěn)定時間可調(diào)等優(yōu)點而得到廣泛應(yīng)用.例如,文獻(xiàn)[7] 提出了一種快速終端滑模(Fast terminal sliding mode,FTSM)控制算法,利用切換函數(shù)消除了奇異性問題并實現(xiàn)了飛行器姿態(tài)的有限時間跟蹤控制,但該控制器限制了控制參數(shù)的選取.文獻(xiàn)[8]在考慮系統(tǒng)不確定性以及外界干擾的情況下,提出了一種非奇異快速滑?？刂扑惴ㄒ詫崿F(xiàn)不確定動態(tài)系統(tǒng)的軌跡跟蹤,同時該控制器擴(kuò)展了控制參數(shù)的選取范圍.分?jǐn)?shù)階微積分(Fractional calculus,FC)將積分和微分?jǐn)U展到非整數(shù)階算子,即其包含所有整數(shù)階的理論,并在傳統(tǒng)整數(shù)階的基礎(chǔ)上增加了一維(自由度)[9].對于相同的控制對象,基于已有的研究成果,文獻(xiàn)[10]指出分?jǐn)?shù)階控制器會表現(xiàn)出比整數(shù)階控制器更好的控制性能.分?jǐn)?shù)階控制器的優(yōu)越性得益于分?jǐn)?shù)階積分的遺傳衰減特性,從能量傳遞的角度來看,該性質(zhì)能使得能量緩慢釋放,從而抑制抖振現(xiàn)象以提高跟蹤控制精度[11].目前,針對分?jǐn)?shù)階控制器的研究已有些成果.例如:針對旋轉(zhuǎn)柔性關(guān)節(jié)軌跡跟蹤系統(tǒng),文獻(xiàn)[12]設(shè)計了一種分?jǐn)?shù)階積分控制器并實現(xiàn)了更高的控制精度.在文獻(xiàn)[13]中通過設(shè)計分?jǐn)?shù)階PID控制器抑制了并聯(lián)機(jī)器人跟蹤任務(wù)中的外部干擾.目前,基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性原理的分?jǐn)?shù)階有限時間控制器也已有部分研究成果,比如:為實現(xiàn)一類分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的有限時間控制,文獻(xiàn)[14]設(shè)計了一種新穎的快速終端滑模控制器.文獻(xiàn)[15]設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器以實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階正切換系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定.

事實上,事關(guān)生命財產(chǎn)安全的高速列車牽引與制動控制系統(tǒng)是一個需要較快反應(yīng)速度的系統(tǒng),通常的Lyapunov 穩(wěn)定往往不能達(dá)到預(yù)期的控制效果,甚至可能會因為多種擾動與不確定因素導(dǎo)致超調(diào)量過大,反應(yīng)緩慢等影響列車運(yùn)行安全的現(xiàn)象發(fā)生.同時,隨著列車速度的提高,其對跟蹤精度的要求也越來越高[16].因此,有必要為其設(shè)計具有高魯棒性和抗干擾能力的控制器以提高跟蹤控制系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.受有限時間控制理論和分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性原理以及現(xiàn)有研究成果的啟發(fā),本文設(shè)計了一種分?jǐn)?shù)階有限時間控制器以實現(xiàn)高速列車位移與速度有限時間內(nèi)更高精度的跟蹤控制.該控制器具有以下優(yōu)點:1)可同時改善系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能;2)獨(dú)立于模型,僅需已知列車位移與速度即可,易于應(yīng)用且成本不高;3)可實時且有效地補(bǔ)償執(zhí)行器故障,實現(xiàn)“故障后被動處理”到“故障前主動預(yù)防”的根本轉(zhuǎn)變;4)在系統(tǒng)運(yùn)行工況變化的情況下,無需重新設(shè)計或規(guī)劃控制參數(shù),便于應(yīng)用.穩(wěn)定性分析和仿真研究均可證明該控制器的有效性;相比于傳統(tǒng)PID 控制器的仿真結(jié)果,驗證了該控制器的優(yōu)越性.

1 高速列車動態(tài)模型

根據(jù)牛頓第二定律,高速列車的縱向動力學(xué)模型為[2]:(I+R)MΛF u ?F d+(T ?I)F in,其中Rdiag{r i}是旋轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)構(gòu)成的矩陣;Mdiag{m i}是每節(jié)車廂質(zhì)量構(gòu)成的矩陣;Λdiag{λi}是效能分配常數(shù)構(gòu)成的牽引/制動分配矩陣,用來確定每節(jié)車廂貢獻(xiàn)的牽引/制動力;F d[f d1,f d2,···,f dn]T是阻力向量;T[01×(n?1),1;I(n?1)×(n?1),0(n?1)×1]表示各車輛間相互作用力系數(shù)的矩陣,其中I代表單位矩陣.Fin[fin1,f in2,···,f inn]T是車間力向量;X是位移向量;是速度向量;是加速度向量;Fuh(?F+?(F))+Υ 是考慮了輸入非線性和執(zhí)行器故障的實際牽引力,其中hdiag{h i}表示每節(jié)車廂的執(zhí)行器健康參數(shù)構(gòu)成的矩陣,?diag{?i}是斜率矩陣,F表示需要設(shè)計的牽引/制動力,?(F)[ε1(f1),ε2(f2),···,εn(f n)]T是截距向量,||?(F)||≤ε0,其中ε0代表未知的正常數(shù),Υ[ν1,ν2,···,νn]T表示由執(zhí)行器故障引起的不確定部分,且νi ≤<∞,存在‖Υ‖≤ν0<∞.在上述描述中i1,2,···,n是高速列車包含的車廂數(shù)量.令(I+R)M,則有

本文的控制目標(biāo)為:設(shè)計控制力F[f1,f2,···,f n]T以保證實際的位移X和速度分別以較高的精度跟蹤期望的位移Xd和速度,并確保位移和速度的跟蹤誤差EX ?X d和有限時間內(nèi)一致最終有界.X[x1,x2,···,x n]T和分別表示位移和速度向量;和Xd是期望的速度和位移向量,假設(shè)其光滑且有界.

2 分?jǐn)?shù)階有限時間控制器設(shè)計

首先,為設(shè)計分?jǐn)?shù)階有限時間控制器,定義濾波變量S0為

其中γ1diag{γ1i},γ2diag{γ2i},γ1>0,γ2>0以及 0<ν <1均由設(shè)計者選取;?為設(shè)計者選取的小正常數(shù);sigν(·) 被定義為sigν(E)[|e1|νsign(e1),|e2|νsign(e2),···,|e n|νsign(e n)]T.

定理1.S0如式(2)中定義,若S0是有限時間內(nèi)一致最終有界的,則位移和速度跟蹤誤差E和也是有限時間內(nèi)一致最終有界的.

證明.由于S0是一致最終有界的,則可假設(shè)其滿足||S0||≤?,結(jié)合式(2),有S0?,其中,||?||≤?,?[?1,?2,···,?n]T表示位于S0的收斂域中的某個點.

下述證明以標(biāo)量形式開展以便于理解,包括以下兩種情況:

情況1.考慮|e i|≥?成立,且|S0i||?i|≤?(i1,2,···,n),則結(jié)合式(2)有

整理上式可得

選取Lyapunov 候選函數(shù)

根據(jù)式(4),V1對時間的導(dǎo)數(shù)可表示為

若θ1i >0和θ2i >0 成立,則有

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中定義1,若θ1i >0和θ2i >0 成立,則位移跟蹤誤差e i是一致最終有界穩(wěn)定的,且穩(wěn)定時間滿足

其中,ei(0) 為位移跟蹤誤差初值,min(θ2i).由>0和可得|e i|>?/2γ1i,|e i|>(?/2γ2i)1/ν.結(jié)合|e i|≥?,可知位移跟蹤誤差e i可在有限時間內(nèi)收斂到?e:max(?,?/ 2γ1i,(?/2γ2i)1/ν),根據(jù)式(3),速度跟蹤誤差可在有限時間內(nèi)收斂到≤|?i|+

情況2.考慮|e i|

綜合以上兩種情況,可知若S0是有限時間內(nèi)一致最終有界的,則位移跟蹤誤差E將會在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)域?E:max{?,?/2||γ1||,(?/2||γ2||)1/ν}中,同時,速度跟蹤誤差E˙ 也是有限時間內(nèi)一致最終有界的.□

其次,為引入分?jǐn)?shù)階積分算子以提高控制器的控制精度,定義濾波變量S為

其中,γ3diag{γ3i},γ4diag{γ4i}(i1,2,···,n),γ3>0,γ4>0以及0<ν <1 均由設(shè)計者選取.

根據(jù)定理1,為確保位移和速度誤差E和有限時間內(nèi)一致最終有界,需證明S0的有限時間穩(wěn)定性.因此,結(jié)合S的定義提出以下定理.

定理2.S如式(8)中定義,若S有限時間內(nèi)一致最終有界,則當(dāng)t>T2時,S0一致最終有界.

證明.若S是一致最終有界的,則可假設(shè)其收斂于 ?1,即||S||≤?1成立,有Sψ,其中||ψ||≤?1且ψ[ψ1,ψ2,···,ψn]T代表位于S的收斂域中的某個點.

根據(jù)分?jǐn)?shù)階性質(zhì):若存在兩個常數(shù)滿足α1>α2>0,則成立.根據(jù)式(8)兩邊同取r階導(dǎo)數(shù)得

其中,r滿足0

相似地,下述證明仍以標(biāo)量形式展開:

情況1.考慮s0i滿足|s0i|≥ε,其中ε>0 是一個小正常數(shù),且成立,則有

選取Lyapunov 候選函數(shù)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階性質(zhì):當(dāng) 0

因此,若γ4i >0和>0 成立,則基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov 穩(wěn)定性理論,s0i將會漸近地收斂到區(qū)域 ?s0i:max{ε,?2/γ3i}.

情況2.考慮s0i滿足|s0i|≤ε.顯然,s0i已在區(qū)域中.

至此,可證明出當(dāng)t →∞時,s0i是一致最終有界的.為證明s0i的有限時間穩(wěn)定性,開展以下分析.

基于文獻(xiàn)[18]定理3 以及α>0,β >1,有

根據(jù)分?jǐn)?shù)階性質(zhì):若 0

基于Riemann_Liouville 分?jǐn)?shù)階積分的定義,上述不等式可重寫為

因此,S0有限時間內(nèi)一致最終有界.□

至此,結(jié)合定理1 和定理2,為確保位移和速度跟蹤誤差E和有限時間內(nèi)一致最終有界,需設(shè)計合適的控制器以確保S在有限時間內(nèi)一致最終有界.為設(shè)計分?jǐn)?shù)階有限時間控制器,結(jié)合S和S0的定義和系統(tǒng)模型(1),可得

其中,

令G(·)Λhδ(F)+ΛΥ+[(T ?I)F in?F d]+L(·),則系統(tǒng)可描述為

G(·)是一個矢量非線性函數(shù).若利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接逼近,則可能會陷入代數(shù)循環(huán).因此,標(biāo)量化處理G(·):‖G(·)‖≤||Λh||ε0+||Λ||ν0+‖L(·)‖+‖(T ?I)×F in ?F d‖σ(·),進(jìn)而,可轉(zhuǎn)化為逼近標(biāo)量函數(shù)σ(·).徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial basis function neural network,RBFNN)因其簡單、快速學(xué)習(xí)和可廣泛逼近的特性而廣受歡迎[19].所以,利用RBFNN 逼近σ(·),即σ(·)WTΦ(Z)+δ(Z),其中,Φ(Z)[?1(Z),?2(Z),···,?N(Z)]T∈RN是關(guān)于Z[X,X d]T的基函數(shù),且W ∈RN是最優(yōu)的常數(shù)向量.?k(·),其中,k1,···,N,Z[z1,···,z q]是RBFNN 的輸入向量.C kj[c k1,···,c kq],Bkj[b k1,···,b kq] 分別是與輸入向量每個元素均相關(guān)的高斯分布函數(shù)的中心狀態(tài)和標(biāo)準(zhǔn)偏差,其中,j1,2,···,q,q是第k層的神經(jīng)元數(shù)量,N代表隱藏層的數(shù)量.根據(jù)通用的逼近理論,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)誤差可合理的假設(shè)為||δ(Z)||≤δmax<∞.

為分析分?jǐn)?shù)階有限時間控制器的穩(wěn)定性,σ的上界可表示為

其中,ρmax{‖WT‖,δmax}是一個非負(fù)常數(shù)且Φ||Φ(Z)||(下同).

定理3.基于式(1)中描述的列車系統(tǒng),若建立下列控制律

其中,S如式(8)中所定義,c1>0 ,c2>0 ,c3>0,0<ν <1以及ηdiag{η1,η2,···,ηn}(ηi >0) 均由設(shè)計者選取.是ρ的估計.則當(dāng)t>T3時,S是一致最終有界的,進(jìn)而可保證位移和速度跟蹤誤差E和也是有限時間一致最終有界的.

證明.選取Lyapunov 候選函數(shù)

依據(jù)式(17)以及上述控制律,V3對于時間的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù) Λh?ΛT中各量的定義可知,Λh?ΛT是一個n維方陣,則其最小特征值可假設(shè)為λmin.利用0<λ<λmin(Λh?ΛT),可得

其中,ST(Λh?ΛT)sigν(S)>>0 .

基于(1+Φ)||S||≤c2(1+Φ)2||S||2+1/(4c2),化簡上式得

其中,ι1min{2c1λ/,c3}>0,ι2(c3ρ2)/(2λ)+ρ/(4c2)<∞.

從上式可得,若S在區(qū)域?1{||S||≤外,則≤?c1λ||S||2+ι2<0 成立.基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論,S會漸近地收斂到區(qū)域 ?1中,即S一致最終有界.此外,求解式(27)易得V3≤e?ι1t V3(0)+ι2/ι1∈?∞.結(jié)合式(22),可知也是一致最終有界的.因此,可合理假設(shè)存在一個小正常數(shù)ζ滿足 (ρ ?≤ζ.

至此,可證明當(dāng)t →∞時,S一致最終有界.為證明S的有限時間穩(wěn)定性,選擇新的Lyapunov 候選函數(shù)為

應(yīng)用與式(23)～(25)相似的處理,V4對時間的導(dǎo)數(shù)為

其中,0

基于假設(shè) (ρ ?)≤ζ,上式可改寫為

根據(jù)文獻(xiàn)[17] 中定義1,若ι3>0和ι4>0 成立,則S是有限時間穩(wěn)定的.即,若c1>c2ζ(1+Φ)2成立,則當(dāng)t>T3時,S將會收斂到?2{||S||≤1/(ν+1)},且穩(wěn)定時間T3滿足T3≤2/(ι3(1?ν))ln((ι3(S(0))+ι4)/ι4).

綜上所述,當(dāng)t>T3時,S將會收斂到區(qū)域?Smax{?1,?2}.結(jié)合定理1 和定理2,可確保位移和速度跟蹤誤差E和E˙ 有限時間一致最終有界.□

3 仿真研究

為驗證所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性,選取具有5 節(jié)動車3 節(jié)拖車的CRH-5A 型列車進(jìn)行仿真驗證.每節(jié)車廂的相關(guān)參數(shù)如表1 所示.需要說明的是這些參數(shù)僅用于仿真模型的建立,而在所提出的控制器中是不需要的,即選擇其他合理的參數(shù)值同樣可行.列車運(yùn)行工況包括兩個牽引加速階段,四個巡航階段以及三個減速制動階段.最后,為驗證所設(shè)計控制器的容錯性能,車輛2,車輛5和車輛6 的執(zhí)行器設(shè)置為部分故障,并以執(zhí)行器健康參數(shù)h2,h5和h6的取值來表征.本仿真研究的控制目標(biāo)是讓實際的速度和位移X在有限時間內(nèi)跟蹤上期望的速度和位移Xd.

表1 列車相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters of the vehicles

為驗證所設(shè)計控制器的優(yōu)越性,選取傳統(tǒng)的PID 控制器作為比較對象,兩控制器的控制參數(shù)選擇如下:

1)所設(shè)計控制器的控制參數(shù):r4/9 ,ν0.8,c12×105,c210 ,c30.01 ,ηi2×105,ηdiag{ηi},γ1i0.1,γ1γ2diag{γ1i},γ2i1,γ3γ4diag{γ2i}.

2)傳統(tǒng)PID 控制器的控制參數(shù):kP2×105,k D2×105,kI2×106.

3)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)于Z[X,X d]T的基本函數(shù) Φ(Z) 可通過中心狀態(tài)C1[0,0.1,√0.2,0.3,0.4,0.5?0.1,?0.2,?0.3,?0.4]和偏差×ones(10,1)以及實際的速度和位移X和期望的速度和位移Xd計算獲得;q10 代表隱藏層神經(jīng)元數(shù)量,N1 代表隱藏層數(shù)量;ρ的估計可有自適應(yīng)更新算法(21)獲得,而不需要“試錯”過程,且滿足0 .

4)所設(shè)計的控制器的控制參數(shù)是以讓跟蹤誤差收斂到可接受的誤差范圍內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)選取的,位移和速度的初始跟蹤誤差值選擇了 0.005 以便于更明顯地描述穩(wěn)定時間.

從圖1 易知,基于分?jǐn)?shù)階有限時間控制器的高速列車位移和速度可穩(wěn)定的跟蹤期望的位移和速度;且相比于傳統(tǒng)的PID 控制器,分?jǐn)?shù)階有限時間控制器可減小高速列車位移和速度跟蹤控制誤差,尤其是在列車運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換時.為更詳細(xì)的描述在所設(shè)計控制器下的位移與速度跟蹤誤差的穩(wěn)定時間,對t ∈(0,200) 階段進(jìn)行了單獨(dú)仿真,如圖2 所示,位移和速度的跟蹤誤差可在 10 s 內(nèi)收斂到可接受的誤差范圍內(nèi).在此仿真中可接受的位移和速度的誤差范圍分別是±0.012m 和±0.0025 m/s.

圖1 基于分?jǐn)?shù)階與傳統(tǒng)PID 控制器的跟蹤過程和誤差Fig.1 The tracking process and errors of the fractional-order or PID controller

圖2 分?jǐn)?shù)階控制器在 t ∈(0,200) 的跟蹤過程和誤差Fig.2 The tracking process and errors of the designed controller in t ∈(0,200)

因此,相比于傳統(tǒng)的PID 控制器,分?jǐn)?shù)階有限時間控制器不僅具有更高的跟蹤精度(穩(wěn)態(tài)性能),而且可實現(xiàn)有限時間內(nèi)的收斂(暫態(tài)性能).同時,該控制器具有更強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力.

4 結(jié)論

本文針對具有高度不確定性和非線性特征的高速列車非線性系統(tǒng),結(jié)合有限時間控制理論和分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性原理,設(shè)計了一種分?jǐn)?shù)階有限時間控制器以實現(xiàn)高速列車位移與速度的更高精度且更快速的跟蹤控制.該控制器不僅可利用分?jǐn)?shù)階積分的遺傳衰減特性提高穩(wěn)態(tài)性能,而且可利用含有的分?jǐn)?shù)冪項使控制器具有更強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力.同時,該控制器因具有有限時間穩(wěn)定性而使系統(tǒng)能夠具有更好的暫態(tài)性能.此外,該控制器不需要系統(tǒng)參數(shù)的詳細(xì)信息,只需已知期望的速度和位移以及當(dāng)前實際的位移和速度即可,因此其易于實現(xiàn)且應(yīng)用成本不高.而且,該控制器能夠?qū)崟r有效補(bǔ)償執(zhí)行器故障,并實現(xiàn)了“故障后被動處理”到“故障前主動預(yù)防”的根本轉(zhuǎn)變.特別地,該控制器的穩(wěn)定時間可通過選取不同的控制參數(shù)以實現(xiàn)一定程度上的調(diào)整和估計.最后,仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性.