工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中的精確時(shí)鐘同步:網(wǎng)絡(luò)化控制理論觀點(diǎn)

2021-08-28 04:56:36徐小權(quán)唐曉銘黃慶卿李永福

自動(dòng)化學(xué)報(bào) 2021年7期

王頲徐小權(quán) 唐曉銘黃慶卿李永福

適合關(guān)鍵業(yè)務(wù)型工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)(Industrial internet of things,IIoT) 應(yīng)用的工業(yè)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(Industrial wirelesssensornetworks,IWSN) 需要部署在典型嚴(yán)酷工業(yè)環(huán)境中,具有關(guān)鍵要求[1].在IIoT 中,數(shù)據(jù)融合、能量管理、傳輸調(diào)度、定位和追蹤協(xié)議要求所有的節(jié)點(diǎn)運(yùn)行在公共的時(shí)間基準(zhǔn)[2].通過使用統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理觀點(diǎn),很多時(shí)鐘同步協(xié)議歸類為參數(shù)估計(jì)問題,已經(jīng)在不同的網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)延遲分布下,評估了一些經(jīng)典協(xié)議的性能[3].由于IWSN中存在許多不可靠的因素,例如包延遲、丟失、節(jié)點(diǎn)失效等,導(dǎo)致這些同步協(xié)議算法的性能大大地降低,甚至算法失敗.特別指出,國內(nèi)學(xué)者針對時(shí)鐘同步問題的前沿理論研究,可參見文獻(xiàn)[4].國際前沿研究中,一致性算法[5?6]在分析中沒有考慮包延遲,因此,在收斂的時(shí)鐘參數(shù)中產(chǎn)生了大的均方誤差.在文獻(xiàn)[7] 中,魯棒平均時(shí)間同步(Robust average time synchronization,RoATS) 提出來相應(yīng)于邊界通信延遲,以魯棒的方法調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘頻率和時(shí)鐘偏移.在文獻(xiàn)[8] 中,提出一組基于2 階一致性的隨機(jī)時(shí)鐘同步協(xié)議.已經(jīng)證明,在這樣的方法下,可以總是調(diào)節(jié)算法參數(shù),且在概率均方意義下達(dá)到時(shí)鐘同步.然而,一致性算法[7?8]不能在分析中量化消息延遲的影響,特別是包延遲.作為耦合狀態(tài)模型的相對時(shí)鐘模型依賴于交互平均以達(dá)到同步補(bǔ)償或協(xié)作控制過程.因此,已經(jīng)存在的協(xié)議和一致性平均方法受限于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模,隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)展,時(shí)鐘同步收斂性能將下降.

IIoT 在規(guī)模網(wǎng)絡(luò)下分布式精確時(shí)鐘同步問題仍然是處于目前的研究熱點(diǎn).作為耦合狀態(tài)模型的相對時(shí)鐘狀態(tài)模型依賴于協(xié)作控制過程.受限于網(wǎng)絡(luò)尺寸的一致性時(shí)鐘同步方法的收斂率研究集中在收斂性(穩(wěn)定性),難以量化和分析收斂率,特別是對于不可靠網(wǎng)絡(luò).

當(dāng)存在消息延遲時(shí)(固定時(shí)延),用于文獻(xiàn)[2] 的卡爾曼濾波(Kalman filtering) 導(dǎo)出了用于時(shí)鐘偏移追蹤的消息傳遞方法(雙向信息交換).事實(shí)上,文獻(xiàn)[2] 的時(shí)鐘模型具有新的不同本質(zhì)(節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘狀態(tài)依賴于狀態(tài)空間模型度量下自身節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的噪聲擾動(dòng)).文獻(xiàn)[2] 的絕對時(shí)鐘模型建模為解耦狀態(tài)模型,但量測模型仍然是絕對狀態(tài)的輔助量測過程.事實(shí)上,存在狀態(tài)耦合關(guān)系.根據(jù)現(xiàn)代控制理論觀點(diǎn),通過分析文獻(xiàn)[2],發(fā)現(xiàn)無法滿足系統(tǒng)的能觀測性(更堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)參見附錄A).因此本文首先針對絕對時(shí)鐘模型的能觀測性的問題.

考慮包丟失(過度的延遲被認(rèn)為是丟失) 和節(jié)點(diǎn)失效作為節(jié)點(diǎn)量測信息丟失,為了量化丟失的量測信息的影響,已經(jīng)廣泛地采用兩類通道模型:1) 獨(dú)立同分布(Independent and identically distributed,i.i.d.) 模型,建模包丟失過程為一個(gè)獨(dú)立同分布過程[9];2)在馬爾科夫模型下,包處理過程描述為二元馬爾科夫鏈[10].

在獨(dú)立同分布(i.i.d.) 模型下,文獻(xiàn)[2] 和文獻(xiàn)[11?13] 集中在間隙卡爾曼濾波的穩(wěn)定性,此時(shí)僅一個(gè)傳感器傳輸它的原始量測,且存在一個(gè)臨界丟包率.在臨界丟包率以上,狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的均值將發(fā)散為無窮[9].在文獻(xiàn)[9] 中,也給出了臨界丟包率的上界和下界.對于一般的向量系統(tǒng),眾所周知難以顯式地表達(dá)臨界丟包率.也是源于處理文獻(xiàn)[9] 的局限性,文獻(xiàn)[13] 中對于一步可觀測系統(tǒng)下界可顯示為“緊”的,包括文獻(xiàn)[12] 中所示的非退化系統(tǒng).然而,文獻(xiàn)[14] 中的一個(gè)反例顯示臨界丟包率嚴(yán)格地位于下界和上界之間.

針對含多傳感器的網(wǎng)絡(luò)化狀態(tài)估計(jì)問題,許多研究者廣泛研究了針對不同傳感器,約束于可能不同的包丟失情形[15?20].在文獻(xiàn)[21]中,開發(fā)了一種新的回歸矩陣技術(shù),用于研究針對于MMSE (Minimum mean square error) 估計(jì)器的必要與充分穩(wěn)定條件,它適用于單一傳感器和多傳感器情形.

在“工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)”的前期研究中,文獻(xiàn)[4] 針對不可靠量測的“相對時(shí)鐘模型”,基于適合在線運(yùn)算的Tubes-MPC (Model predictive control) 控制方法完成“指數(shù)收斂性”量化分析.文獻(xiàn)[1] 已經(jīng)開展的工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)TDMA (Time division multiple access) 確定性調(diào)度算法中,維護(hù)高可靠性的時(shí)間精度具有重要意義.文獻(xiàn)[22] 作為本文重要研究背景的“工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)”精確時(shí)鐘同步的緊時(shí)隙需求,本文提出的MMSE 等價(jià)變換能觀測性觀測模型符合噪聲量測的實(shí)際應(yīng)用模型,對文獻(xiàn)[22] 的理想觀測器進(jìn)行了深度分析擴(kuò)展.

本文的建模與適用性:1) 建模特點(diǎn):文獻(xiàn)[2]的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋪碓从趯?shí)際的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(如工業(yè)無線ISA100、WirelessHart、WIA-PA 中的Mesh 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?,具體的網(wǎng)絡(luò)協(xié)議可參考前期文獻(xiàn)[22?24] 和文獻(xiàn)[25].2) 協(xié)議特點(diǎn):對于本文及文獻(xiàn)[2] 的分布式網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?全分布、短時(shí)延Cyber-Physical 環(huán)境要求),具體應(yīng)用于無線Mesh網(wǎng)絡(luò)(Wirelessmeshnetwork,WMN)[23?24],將在工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)TDMA獨(dú)立時(shí)隙間實(shí)現(xiàn)無沖突的數(shù)據(jù)傳輸,以有效提高資源利用率[25].

為了不依賴于特定的相對參考節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[2] 中絕對狀態(tài)模型建模為絕對狀態(tài)空間模型,狀態(tài)相對于本地時(shí)鐘的理想狀態(tài)(狀態(tài)空間“0”點(diǎn)).本文通過對文獻(xiàn)[2] 的“能觀測性”的分析,建立了MMSE 等價(jià)變換的能觀測性觀測模型,觀測模型的能觀測性是系統(tǒng)狀態(tài)確定性估計(jì)的必要條件.由提出的新的解耦觀測模型,建立了基于文獻(xiàn)[2,15] 的規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的修正的卡爾曼濾波,建立了時(shí)鐘同步的量化分析的收斂條件.

本文的主要貢獻(xiàn)是:

1)基于前期的研究[4,22,26?27],本文基于卡爾曼濾波的精確時(shí)鐘同步研究,從“網(wǎng)絡(luò)化控制理論觀點(diǎn)”準(zhǔn)確定位文獻(xiàn)[2] 的研究實(shí)質(zhì)(參見命題1),分析了雙向信息交換的物理量測模型和在BMU (Basic measurement unit) 下建立的適用于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的“能觀測性”精確量測模型.

2) 通過使用MMSE 等價(jià)能觀測性量測模型,能夠得到確定性的絕對狀態(tài)的估計(jì)值(基于理想狀態(tài)(1,0)).能夠解除節(jié)點(diǎn)間的狀態(tài)耦合與控制耦合.時(shí)鐘同步問題被轉(zhuǎn)化為對于本地時(shí)鐘理想狀態(tài)(1,0) 的分布式卡爾曼濾波精確設(shè)定點(diǎn)狀態(tài)追蹤問題.

3) 通過MMSE 等價(jià)能觀測性的狀態(tài)解耦的量測模型,實(shí)現(xiàn)了對工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)的時(shí)鐘同步精度的量化分析.

注1.本文使用有N個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn){S1,S2,···,SN}的網(wǎng)絡(luò)為研究對象,對于任意節(jié)點(diǎn)Si,i∈{1,2,···,N}.Ni表示Si的鄰居節(jié)點(diǎn)集合,Ni={Ni(j)=mj|m1,···,mj,···,m|Ni|}(mj∈Ni,j∈{1,···,|Ni|});Nj表示Sj的鄰居節(jié)點(diǎn)集合,Nj={Nj(o)=mo|m1,···,mo,···,m|Nj|}(mo∈Nj,o∈{1,···,|Nj|}).N[i]表示包含Si及其鄰居節(jié)點(diǎn)的局部子系統(tǒng),N[i]={Ni,i},元素個(gè)數(shù)|N[i]|=|Ni|+1.(·)M×N表示任意M行N列的矩陣.

注 2.不可靠量測丟包變量定義,參見表1.

表1 不可靠量測丟包變量定義Table 1 Definition of unreliable packet loss variables

1 系統(tǒng)解耦狀態(tài)模型

文獻(xiàn)[2] 中,考慮了傳感器時(shí)鐘偏斜和累積時(shí)鐘偏移的演化模型

為了達(dá)到全網(wǎng)的時(shí)鐘同步,所有節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘讀數(shù)c i(k) 必須被調(diào)節(jié)為公共的值.假定UTC(Universaltimecoordinated)作為準(zhǔn)確的參考時(shí)間,也就是β(k)=1 和?(k)=0,并且基于離散時(shí)鐘讀數(shù)模型ci(k)=k?τ0+?(k ?1)+[β(k?1)?1]?τ0,全網(wǎng)時(shí)鐘同步任務(wù)將對應(yīng)于UTC追蹤時(shí)變的時(shí)鐘偏斜{βi(k)}和累積偏移{?i(k)}.對比于文獻(xiàn)[2],假定節(jié)點(diǎn)S1為具有準(zhǔn)確時(shí)鐘的參考節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)絕對時(shí)鐘量測模型是不合理的(更堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)參見附錄A).方程(1) 中的節(jié)點(diǎn)時(shí)鐘狀態(tài)建模源于自身節(jié)點(diǎn)擾動(dòng)的物理模型(而不依賴于其他節(jié)點(diǎn)),稱方程(1) 為絕對時(shí)鐘狀態(tài)模型.

2 本地能觀測性解耦觀測器

2.1 大規(guī)模系統(tǒng)本地觀測器

現(xiàn)有研究均采用相對時(shí)鐘狀態(tài)模型,及相對時(shí)鐘量測模型以獲取時(shí)鐘狀態(tài)的觀測值.因采用相對時(shí)鐘模型,則收斂性能依賴于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模.本節(jié)將討論我們提出的從文獻(xiàn)[2] 的絕對狀態(tài)空間模型出發(fā),構(gòu)建能觀測性系統(tǒng)量測方程的新方法.

節(jié)點(diǎn)Si和它的鄰居節(jié)點(diǎn)Sj之間的雙向時(shí)間戳交換如圖1.不同于文獻(xiàn)[2],我們在量測關(guān)系上平等地對待Si和Sj,例如式(10),同時(shí)存在和

事實(shí)上,IWSN 有一系列的不可靠的因素,會(huì)對時(shí)間戳丟失產(chǎn)生影響.因此,我們必須考慮時(shí)間戳丟失的影響(全面的丟包假設(shè)參見文獻(xiàn)[21,28];可擴(kuò)展說明參見第3 節(jié)).在一輪雙向信息交換過程中(如圖1 所示),無論哪一部分的時(shí)間戳丟失,它將影響時(shí)間戳交換輪次的成功,只要兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)在有限的時(shí)間內(nèi)沒有接收到相應(yīng)的時(shí)間戳,就認(rèn)為這一輪時(shí)鐘信息交換失敗,也就是說,包發(fā)生了丟失.

圖1 一組時(shí)鐘信息交換過程和互為對稱量測信息) Fig.1 Aset of clock information exchange processesandare symmetrical measurement information each other)

對于時(shí)間戳交換事件僅有兩種情形:交換成功或者失敗[15].使用伯努利隨機(jī)變量描述節(jié)點(diǎn)Si和節(jié)點(diǎn)Sj間第k次信息交換的丟包事件.如果成功,則=1;否則(見表1).假定隨機(jī)變量(k ∈N) 遵守獨(dú)立同分布[15],則=1)=φi,j,0)=1?φi,j,φi,j為節(jié)點(diǎn)Si和節(jié)點(diǎn)Sj間的接收概率;假定隨機(jī)變量和彼此獨(dú)立(l/=i且n/=j或l/=j且n/=i),則

2.1.1 問題的提出

根據(jù)附錄A 的詳細(xì)分析,文獻(xiàn)[2] 利用雙向信息交換機(jī)制建立的系統(tǒng)量測模型,結(jié)合完全解耦的節(jié)點(diǎn)時(shí)鐘狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(1),由此得到的系統(tǒng)時(shí)鐘狀態(tài)空間模型,無法滿足系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測性.

由附錄A,從現(xiàn)代控制理論視點(diǎn),對于子系統(tǒng)的量測模型,不管是一對鄰居節(jié)點(diǎn)的一組量測,還是多對鄰居節(jié)點(diǎn)的多組量測,子系統(tǒng)的量測矩陣C都不可逆,即根據(jù)當(dāng)前步的觀測值不能馬上確定系統(tǒng)當(dāng)前步的狀態(tài),進(jìn)一步得知子系統(tǒng)的能觀測性矩陣Wo的秩不為2|N[i]|(Rank(Wo)=2|N[i]|?2),即無論多少組觀測值都不能確定子系統(tǒng)當(dāng)前步的狀態(tài),換句話說,子系統(tǒng)是不可觀測的.

2.1.2 物理過程分析、策略、M M SE 等價(jià)變換

根據(jù)現(xiàn)代控制理論,通過量測值確定系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài),正確地選擇合適的量測模型是保證系統(tǒng)能觀測性的關(guān)鍵.為此,我們引入BMU,深入研究雙向信息交換的物理過程本質(zhì),希望能夠建立一個(gè)輔助的絕對時(shí)鐘量測模型.

結(jié)合輔助量測模型,通過線性變換,將文獻(xiàn)[2]的相對量測模型轉(zhuǎn)換為一個(gè)具有MMSE 性能等價(jià)的解耦量測模型,從而保證系統(tǒng)的能觀測性.參考這個(gè)等價(jià)變換過程,構(gòu)造一個(gè)修改的卡爾曼濾波觀測器.將其描述為下面的定理1.

定理1.考慮式(8),(10),(11)和式(15),BMU的能觀測性已構(gòu)建MMSE 等價(jià)性能量測的必要條件:建立方程(8)～(16) 為系統(tǒng)能觀測性量測模型的演化線索.在BMU 分析模型下,構(gòu)造符合物理過程的輔助量測模型,通過MMSE 量測性能等價(jià)變換,建立實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)能觀測性的量測模型,實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的能觀測性.

已經(jīng)證明(參見定理2),通過將方程(11) 中的獨(dú)立量測噪聲線性轉(zhuǎn)換為相關(guān)量測噪聲(由文獻(xiàn)[29,6.6 節(jié)] 信號(hào)處理實(shí)例,易獲得量測“相關(guān)噪聲”的理解).運(yùn)用分布式卡爾曼濾波能夠?qū)嵤㎝MSE 量測.

證明.

1) 能觀測性策略.BMUs 能觀測性的清晰證明可以參考附錄B.這一部分是方程(8)～(16) 實(shí)現(xiàn)能觀測性證明的精煉版本,提示我們理解關(guān)鍵點(diǎn).

2) 能觀測性的量測模型–物理過程分析.這一部分將分析雙向信息狀態(tài)量測的物理模型與MMSE等價(jià)線性變換.

對于時(shí)鐘讀數(shù)模型,可以表達(dá)為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間和累積時(shí)鐘偏移形式

當(dāng)節(jié)點(diǎn)Si在第k次同步周期發(fā)送時(shí)鐘信息時(shí),這里k?τ0是參考時(shí)間,而dij是節(jié)點(diǎn)Si和Sj間的固定時(shí)延(且dij是對稱的[2,4]),D是量測節(jié)點(diǎn)Sj發(fā)送應(yīng)答信息的相應(yīng)時(shí)間;是在節(jié)點(diǎn)Si和節(jié)點(diǎn)Sj傳輸過程的隨機(jī)時(shí)延;是在節(jié)點(diǎn)Sj和節(jié)點(diǎn)Si傳輸過程的隨機(jī)時(shí)延.□

注意到,由統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的建模觀點(diǎn),由文獻(xiàn)[29] 中的6.6 節(jié),文獻(xiàn)[2] 的建模參數(shù)能夠通過技術(shù)方法獲得(例如,量測方程(文獻(xiàn)[2] 中的式(17)) 的噪聲量測的統(tǒng)計(jì)方差).而觀測方程(7) 和(8) 則無法直接獲得.因此,文獻(xiàn)[2] 中的式(17) 做為建模的假設(shè)前提是合理的.

1) 輔助參考絕對量測狀態(tài)是真實(shí)存在的,但不可直接獲得

如果每一個(gè)節(jié)點(diǎn)Sj從節(jié)點(diǎn)Si處接收到發(fā)送的信息,響應(yīng)立即給出,我們能夠使D=0.關(guān)于節(jié)點(diǎn)Si鄰居的所有的觀測方程(7) 組集在一起,能夠得到

針對節(jié)點(diǎn)Si的局部子系統(tǒng)的絕對時(shí)鐘狀態(tài)量測方程可表達(dá)為

式中,n ∈{1,2,···,2|N[i]|},且m ∈{1,2,···,2N}.

因?yàn)榇嬖跇?biāo)準(zhǔn)時(shí)間k?τ0和固定時(shí)延,不能直接獲得γi,k,因此,需要另一個(gè)量測模型.根據(jù)式(3)～(6),我們能夠得到節(jié)點(diǎn)Si的觀測模型(對稱量測信息可以通過另一組時(shí)間戳獲得,存在于輔助量測節(jié)點(diǎn)中)

2) 雙向信息交換、采集輔助相對狀態(tài)量測

以節(jié)點(diǎn)Si為中心的所有觀測方程(10) (即方程組(10)的第1 個(gè)方程) 進(jìn)行組集:

式中,z i(k)=是系統(tǒng)的狀態(tài)量測.在實(shí)際中,和對應(yīng)的對稱量測信息,用于更新絕對狀態(tài)輔助量測,并通過輔助量測的更新消息彼此互傳(參見附錄B).Hi∈是量測矩陣,滿足

υi(k)∈是量測噪聲,符合0均值和協(xié)方差矩陣為

注意到矩陣HHHi的特殊結(jié)構(gòu),能夠從觀測模型(11)中提取它自身節(jié)點(diǎn)和所有鄰居節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)

3) 組集參考絕對量和相對量的量測

對于所有Si,式(8) 和式(11)作為行交替地組集在一起,我們能夠得到全局量測模型

4)局部子系統(tǒng)量測的 M MSE 等價(jià)線性變換

式∑中,n ∈{1,2,···,2|Ni|},m ∈{1,2,···,.Nj(o)參見注1.Pi(n,m) 直觀的理解參見附錄D-2中的“物理變換矩陣”.

5) 能觀測性系統(tǒng)量測方程

在實(shí)際的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中,通過使用方程(13) 的信息交換,能夠?qū)崿F(xiàn)如方程(14) 所示的MMSE 等價(jià)變換(附錄B).為了證明量測方程(11) 在輔助量測方程(8) 的協(xié)助下存在MMSE 量測性能解耦,對應(yīng)于式(11),在式(14) 中抽取偶數(shù)行,我們得到一個(gè)解耦的量測方程,在MMSE 量測的等價(jià)變換上等價(jià)于能觀測性方程(13)～(15).

式中,y i,k=ViYYY i ∈是系統(tǒng)狀態(tài)量測;C i=V iΓi ∈是量測矩陣,滿足

νi(k)=Viψi ∈是量測噪聲,符合0 均值和協(xié)方差矩陣并且V i ∈是對應(yīng)于節(jié)點(diǎn)Si的提取矩陣,滿足

注意到矩陣Ci的特殊結(jié)構(gòu),Ci中對應(yīng)于其他節(jié)點(diǎn)的值(除了S i) 是0.因此,對于節(jié)點(diǎn)Si的解耦量測模型為

為了區(qū)分觀測方程(11) 和(15),我們稱觀測方程(11) 是耦合觀測方程,且觀測方程(15) 是解耦觀測方程.在下面的設(shè)計(jì)過程中,將解耦觀測方程視為理論分析工具.

定理2.在BMU 能觀測性量測模型的必要條件下,系統(tǒng)存在MMSE 性能等價(jià)變換.

證明.

1) 基于BMU 的MMSE 等價(jià)變換(拆分觀點(diǎn)).

證明參見附錄C.

2)多量測BMU 的MMSE 等價(jià)變換(含丟包矩陣的拆分觀點(diǎn)).

證明參見附錄D.□

2.2 含量測丟包的卡爾曼濾波

對于本文的多鏈路觀測模型,任一節(jié)點(diǎn)Si共有|Ni|個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn),則在對稱雙向信息交換時(shí)鐘同步機(jī)制下的一次時(shí)鐘同步信息交換中,Si共進(jìn)行了|Ni|次信息交換.其中每一次信息交換都有可能會(huì)發(fā)生丟包事件,χg表示第g種丟包情況(參見表1).

使用解耦觀測模型(15) 和耦合觀測模型(11),能夠建立解耦觀測器和耦合觀測器.并針對觀測器量測的MMSE 性能等價(jià)變換進(jìn)行了深入分析.不同于文獻(xiàn)[2],已嚴(yán)格證明存在卡爾曼濾波的MMSE等價(jià)變換(參見定理2).

考慮系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程(1) 和解耦觀測模型(16),沿著文獻(xiàn)[9,15] 中的分析,我們組合了所有的丟包情形,并創(chuàng)建了修正的卡爾曼濾波:

考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程和第3.1.2 節(jié)中耦合量測方程(12),以及輔助絕對量測方程(9),能夠建立修正的分布式卡爾曼濾波.耦合量測方程(12) 僅處理它自身節(jié)點(diǎn)和所有鄰居節(jié)點(diǎn)的狀態(tài).修正卡爾曼濾波的量測更新將寫為下面的分布式形式

3 時(shí)鐘同步長期運(yùn)行穩(wěn)定性統(tǒng)計(jì)邊界

在絕對時(shí)鐘建模(通過必要的基礎(chǔ)性噪聲建模,以量化時(shí)鐘同步精度,方便用于大數(shù)據(jù)分析) 的基礎(chǔ)上,能夠得到基本包丟失假設(shè)模型下的時(shí)鐘同步精度分析的保守邊界.更多引入Markov 等包丟失模型[21],將進(jìn)一步細(xì)化時(shí)鐘同步精度的邊界分析.

我們已經(jīng)提出與模型具有MMSE 量測性能等價(jià)的解耦模型(16).子系統(tǒng)中心節(jié)點(diǎn)的MMSE 優(yōu)化性能(通過鄰居輔助測量節(jié)點(diǎn)) 與系統(tǒng)中其他子系統(tǒng)中心節(jié)點(diǎn)的MMSE 優(yōu)化性能一致(相鄰子系統(tǒng)有重疊).因此,本節(jié)針對本地子系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的“可靠性邊界”分析能夠應(yīng)用于全局系統(tǒng)中的所有節(jié)點(diǎn).

卡爾曼濾波穩(wěn)定性依賴于誤差協(xié)方差矩陣Pi(k)=Pi(k|k?1) 收斂于某一有限矩陣.從前面的討論,我們知道量測更新式(27) 和式(28) 在量測丟失的情形下,理論上是MMSE 性能等價(jià)的,且將式(23) 和式(26) 代入式(21)

我們知道,對于沒有量測丟失的理想通信網(wǎng)絡(luò)(πi,k=I),偶對(A,Q i) 的穩(wěn)定性和偶對的可檢測性能夠確保Pi(k) 從任一初始條件收斂為唯一值[31].在量測丟失的情形,對于給定的初始條件P i(0),沿著時(shí)間傳播的誤差協(xié)方差矩陣(按時(shí)間排列的序列)是一個(gè)隨機(jī)過程.考慮平均意義上的收斂,也就是,當(dāng)k→∞時(shí),E[Pi(k+1)]=E[E[Pi(k+1)|Pi(k)]]≤∞,且如文獻(xiàn)[15] 中那樣,建立相應(yīng)的收斂條件和穩(wěn)定域邊界.如文獻(xiàn)[15] 那樣,我們以如下定理的形式給出收斂條件:

定理3 (時(shí)鐘同步的收斂條件).對于給定的穩(wěn)定系統(tǒng)(1)和(16),也就是矩陣偶對(A,Qi) 和(A,是可控和可觀測的,?0≤{φc,1,···,φc,|Ni|} ≤1,使得limk→∞E[Pi(k)]=∞,如果所有量測的接收率都在臨界值,除了鄰居節(jié)點(diǎn)j,即0≤φj≤φc,j.

根據(jù)定理3,狀態(tài)估計(jì)過程的穩(wěn)定性(時(shí)鐘同步過程)依賴于E[Pi(k)]的收斂性,依次依賴于相對獨(dú)立的鄰居節(jié)點(diǎn)的量測的接收率.由于在多通信鏈路中隨機(jī)的量測丟失,求解誤差協(xié)方差的穩(wěn)態(tài)邊界非常困難.文獻(xiàn)[15] 通過對比文獻(xiàn)[9] 中研究的聚集量測方案,計(jì)算出收斂解的上界和下界,和對應(yīng)的臨界接收率的上界和下界,并且得到一個(gè)連結(jié)的k維域,這里:1) 在內(nèi)域的內(nèi)部,系統(tǒng)被定義為不穩(wěn)定;2) 在外域的外部,系統(tǒng)被定義為穩(wěn)定;3) 當(dāng)處于兩者之間,系統(tǒng)是不確定的.考慮系統(tǒng)(1),矩陣A的最大特征值是1,過程噪聲Q i很小,產(chǎn)生量測的臨界接收率下界=0,并且在匯聚情景下收斂解相應(yīng)的下界接近于0.此外,對于時(shí)鐘同步系統(tǒng),應(yīng)該更加關(guān)注穩(wěn)定性,因此,我們焦點(diǎn)集中在外域的外部.

量測的臨界接收率的上界能夠通過以下的優(yōu)化問題進(jìn)行求解[15]:

4 系統(tǒng)狀態(tài)可靠性與性能評估

4.1 時(shí)鐘狀態(tài)估計(jì)精度性能對比

1) 事實(shí)上,考慮運(yùn)行在獨(dú)立子系統(tǒng)上的并行分布式濾波算法,從第4.1.1 節(jié)可知不完全能觀的量測模型將導(dǎo)致卡爾曼濾波不穩(wěn)定.

2) 由附錄B 的“BMU 能觀測性證明”、附錄C的“MMSE 等價(jià)變換證明”,能夠移除作用于文獻(xiàn)[2] 中的式(17) 不能觀量測模型下的強(qiáng)制“K 對角化”條件(試圖解決卡爾曼濾波不穩(wěn)定的狀態(tài)估計(jì)).

4.1.1 問題的進(jìn)一步闡釋

1) 本地狀態(tài)估計(jì)的必要條件

本文狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)目標(biāo)之一是使觀測誤差e(k) 的極限趨于有限值式(33),與之等價(jià)的命題是:

命題1.若為“時(shí)鐘狀態(tài)追蹤”(Clock state tracking) 系統(tǒng),即通過引入合適的輸出反饋,使“時(shí)鐘狀態(tài)追蹤”誤差系統(tǒng)(34) 漸近穩(wěn)定(即討論誤差系統(tǒng)(34) 的鎮(zhèn)定問題).

其中,e(k|k)=x(k)?對于卡爾曼濾波,使式(34) 漸近穩(wěn)定,即求解合適的卡爾曼增益K使特征值|λ(A ?K C)|<1.

在經(jīng)典控制理論中,即是輸出反饋系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.本文以式(38)為例,若給定一組期望的特征值{λ1(A?KC),···,λ4(A?K C)}(|λi(A?K C)|<1,則存在對應(yīng)的特征方程

其中,a0,···,a3是期望特征方程對應(yīng)的系數(shù).令=A ?KC,根據(jù)Cayley-Hamilton定理,有矩陣方程d()=0.

得到Ackermann 公式

d(A)是一個(gè)給定常數(shù),若想通過式(37) 求解得到K,需保證[CA3CA2CA C]T存在Moore-Penr os e 逆.因此,[CA3CA2CA C]T一定是列滿秩矩陣.對于系統(tǒng)(39),通過“觀測器狀態(tài)空間極點(diǎn)配置”的討論[32?33],仍然等價(jià)于須式(39)在BMU 下式(38)能觀.對于卡爾曼濾波在能觀性條件下的唯一穩(wěn)態(tài)解的討論,可參考文獻(xiàn)[34?35] (已超出本文的討論范圍.)

所以,時(shí)鐘參數(shù)確定性估計(jì)的必要條件是保證系統(tǒng)的能觀測性(參見附錄B).

4.1.2 性能評估模型

1) BMU 的能觀測性

a) 事實(shí)上,Si和Sj間的相對狀態(tài)能夠由(或測量(文獻(xiàn)[2]中的式(17)).但和Si的狀態(tài)不可觀(證明見附錄A),僅能確定xi(k) 和xj(k) 相對量測值.

b) 結(jié)合式(1) 與式(16),當(dāng)系統(tǒng)在完全量測下時(shí)(不發(fā)生丟包),能夠得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)Si的BMU 能觀測性量測模型(參見附錄B)為

BMU 的能觀測性證明詳見附錄B.

2) 子系統(tǒng)的能觀測性(BMU 的線性組合)

證明詳見附錄B.1.性能評估請參見第4.1.3 節(jié).

4.1.3 仿真與性能評估

定義根平方均方誤差(Root average mean square error,RAMSE) 為

其中,? ∈{β,?},N是節(jié)點(diǎn)數(shù)量,M為試驗(yàn)次數(shù).

定義根平方誤差(Root mean square error,RMSE) 為

其中,? ∈{β,?}.

1) 能觀測性對卡爾曼濾波的影響

參考方程(1) 與方程(12),系統(tǒng)的相對量測模型為

本實(shí)例BMU 的方程定義詳見附錄A 中式(A3).

根據(jù)附錄B,我們認(rèn)識(shí)到若想確定性估計(jì)可控的時(shí)鐘參數(shù),必須保證系統(tǒng)的能觀測性.式(39) 中,在BMU 下,能觀測性矩陣的秩是2,意味著式(39)是一個(gè)不完全能觀測的系統(tǒng)(附錄A).本實(shí)例比較基于式(39) 和基于式(38) 的RMSE 和RAMSE,以此評估系統(tǒng)的能觀測性對卡爾曼濾波穩(wěn)定性的影響.

由圖2 和圖3 可以看出,系統(tǒng)能觀測性的缺失造成了其對應(yīng)的卡爾曼濾波不穩(wěn)定,即β(k) 和之間的偏差,即RAM SE(β(k)),隨著步數(shù)的增加而增大.并且RM SE(β(k)) (或RM SE(?(k))) 具有同樣的變化趨勢.而圖中基于式(38) 的卡爾曼濾波則可以正常完成濾波.

圖2 可觀性對BMU RAMSE 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.2 Effect of observability for system stability of a BMU-RAMSE

圖3 可觀性對BMU-RMSE 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.3 Effect of observability for system stability of a BMU-RMSE

2) 解耦量測模型的可擴(kuò)展性

解耦量測模型具有MMSE 性能的可擴(kuò)展性.本實(shí)例將比較不同規(guī)模的子系統(tǒng)的濾波性能(本質(zhì)為以BMU 為單元的多量測鏈路子系統(tǒng)).根據(jù)式(38),以Si為中心,有Ni個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)的子系統(tǒng)作如下擴(kuò)展

通過觀察圖4 和圖5,我們能夠發(fā)現(xiàn),隨著鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增多,子系統(tǒng)在k時(shí)刻可以獲得更多的量測值.卡爾曼濾波的估計(jì)性能也會(huì)因此由子系統(tǒng)多鏈路量測“過采樣”而得到改善.從圖中可以看出,有10 個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)的子系統(tǒng)的RAMSE 下降最快并且也最先達(dá)到穩(wěn)態(tài).

圖4 BMU 系統(tǒng)RAMSE 估計(jì)性能Fig.4 Estimation performance with BMU systems-RAMSE

圖5 BMU 系統(tǒng)RMSE 估計(jì)性能Fig.5 Estimation performance with BMU systems-RMSE

4.2 不可靠工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)狀態(tài)追蹤性能評估

通過定理1、定理2 及MMSE 等價(jià)變換分析,子系統(tǒng)中心節(jié)點(diǎn)的MMSE 優(yōu)化性能與其他子系統(tǒng)中心節(jié)點(diǎn)的MMSE 性能一致.不失一般性,本節(jié)中本地子系統(tǒng)時(shí)鐘同步狀態(tài)的可靠性性能評估是規(guī)?？蓴U(kuò)展的.

在仿真中,選擇4 個(gè)節(jié)點(diǎn),如圖6 所示.采樣周期τ0=0.1s且?=1,且=2.7×10?10.以節(jié)點(diǎn)S1為例,鄰居節(jié)點(diǎn)是S2,S3和S4,相應(yīng)的量測方差為:Rζ1=Rυi=diag{0.25,0.125,0.5},Rν1=diag{0.5,0.25,1}.

圖6顯示從每一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)的量測臨界接收率與收斂的誤差協(xié)方差矩陣的跡對應(yīng)的上界.對于時(shí)鐘同步系統(tǒng)中,依賴于估計(jì)的狀態(tài)所需要的準(zhǔn)確度,容易通過圖6 推斷出相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)設(shè)施質(zhì)量的需求.

圖6 測量的臨界接受率— 上限Fig.6 Critical acceptance rate of measurement —upper bound

例如,要求tr(P1) 的穩(wěn)態(tài)值為0.001,則對于φ1,c,ub >0.0855,φ2,c,ub >0.041,φ3,c,ub >0.2155能夠定義為穩(wěn)定.我們做1000次Mon t e Carlo 實(shí)驗(yàn)(如圖7 所示).圖中顯示在丟包情形下(虛線) 和沒有丟包的情形下(實(shí)線),迭代次數(shù)與誤差協(xié)方差矩陣的跡的平均的關(guān)系,且經(jīng)過驗(yàn)證,經(jīng)過有限時(shí)間后,在統(tǒng)計(jì)意義下,誤差協(xié)方差矩陣的跡(如圖7 所示) 沒有超過相應(yīng)的上界.

圖7 Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)Fig.7 Monte Carlo experiment

針對本文的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與進(jìn)一步研究,相關(guān)的研究中(參見一致性算法[5,7?8]和文獻(xiàn)[36]) 已經(jīng)存在全面的闡述.對于復(fù)雜的大數(shù)據(jù)工程的適應(yīng)性驗(yàn)證非常重要,仍需結(jié)合具體的工程實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)進(jìn)行分析.

5 結(jié)論

時(shí)鐘同步系統(tǒng)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)中,重要的方面是同步性能的權(quán)衡.我們已經(jīng)提出能觀測性MMSE等價(jià)變換的狀態(tài)解耦量測方程及全分布式修改卡爾曼濾波(適用于網(wǎng)絡(luò)規(guī)?；瘮U(kuò)展).通過理論分析時(shí)鐘同步的條件和計(jì)算統(tǒng)計(jì)同步誤差相應(yīng)的上界,當(dāng)前論文在時(shí)鐘同步準(zhǔn)確性與潛在的通信鏈路質(zhì)量間已經(jīng)作了量化均衡.針對規(guī)?；I(yè)物聯(lián)網(wǎng)的硬實(shí)時(shí)調(diào)度任務(wù)的“緊時(shí)隙”,如“工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)確定性調(diào)度中TDMA 緊時(shí)隙時(shí)間精度邊界可靠性分析”具有重要的研究意義.

本文已經(jīng)提供了包丟失假設(shè)下的可擴(kuò)展研究的基本框架與線索.進(jìn)一步,我們能夠追蹤工業(yè)無線網(wǎng)絡(luò)Cyber-Physical 條件下狀態(tài)估計(jì)的前沿研究,以全面考察規(guī)?；_時(shí)鐘同步的狀態(tài)估計(jì)精度.針對時(shí)鐘同步具體應(yīng)用領(lǐng)域,本文已經(jīng)提供了必需的(理論分析的)研究參考價(jià)值;進(jìn)一步擴(kuò)展研究的框架線索(如Markov模型[21]等);基于綜合優(yōu)化角度,在更全面完整包丟失信道模型假設(shè)下(如文獻(xiàn)[28]等),則能在本文卡爾曼濾波建?；A(chǔ)上擴(kuò)展時(shí)鐘同步無線頻譜感知的狀態(tài)估計(jì)策略.

附錄A 問題的提出

文獻(xiàn)[2] 從一對節(jié)點(diǎn)出發(fā),利用雙向信息交換機(jī)制建立系統(tǒng)量測模型,結(jié)合完全解耦的節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(1),得到一個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)鐘狀態(tài)空間模型(文獻(xiàn)[2] 中的式(17).我們以一對節(jié)點(diǎn)Si和Sj(BMU) 為例,分析基本量測單元的能觀測性.對于Si和Sj節(jié)點(diǎn)分別有下面的系統(tǒng)

從系統(tǒng)(A3) 的觀測方程可以看出,第k步的觀測矩陣的秩為1(x(k) 的維數(shù)為4),那么由Z(k)不能把x(k) 唯一地確定出來.考慮再加3 步觀測Z(k+1),Z(k+2),Z(k+3),根據(jù)系統(tǒng)的觀測方程和狀態(tài)方程不難得出

可以很容易知道,矩陣Wo(4)秩為2,由方程(A4)知,通過Z(k),Z(k+1),Z(k+2),Z(k+3)不能把x(k) 唯一地確定出來(不存在最小二乘解),即使再增加更多的觀測值,矩陣Wo(N)(N>4)的秩仍然為2,即還是不能把x(k) 唯一地確定出來(只能唯一確定偏斜和偏移的相對量(最小二乘解)).因此基本量測單元是不可觀的.

對于由多組基本量測單元構(gòu)成的子系統(tǒng),由于基本量測單元之間的相互獨(dú)立,類似一組BMU的情況,得子系統(tǒng)的能觀測性矩陣Wo(N)(N >2|N[i]|)的秩為2|N[i]|?2((x(k) 的維數(shù)為2|N[i]|),能夠唯一確定所有鄰居節(jié)點(diǎn)Sj(j ∈Ni)與中心節(jié)點(diǎn)Si的相對偏移量?j(k)??i(k) 和相對偏斜量βj(k)?βi(k).不能把x(k)唯一地確定出來(不存在最小二乘解),所以子系統(tǒng)是不可觀的.

附錄B BM U 能觀測性證明

通過上述研究得知系統(tǒng)(A1)是不可觀的,使用多組量測值僅能確定中心節(jié)點(diǎn)Si與鄰居節(jié)點(diǎn)Sj之間的時(shí)鐘狀態(tài)相對量,為能確定Si的狀態(tài),通過分析雙向信息交換機(jī)制,對每一個(gè)節(jié)點(diǎn)建立一個(gè)自身狀態(tài)量測模型

從系統(tǒng)(B4) 的觀測方程可以看出,第k步的觀測矩陣的秩為1(x i(k) 中包含βi(k) 和?i(k)),那么由不能把xi(k)唯一地確定出來.考慮再加1 步的觀測,根據(jù)系統(tǒng)(B4) 的觀測方程和狀態(tài)方程不難得出

B.1 由BM U 組合擴(kuò)展的系統(tǒng)層面的能觀測性證明

對于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSN)G(V,E),可以分成|E|組獨(dú)立的BMU,其中|E|代表無向圖G中所有邊數(shù).Si(i={1,2,···,N})為中心及其所有周圍鄰居節(jié)點(diǎn)組成的子系統(tǒng),分成|Ni|組BMU,|Ni|為Si的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù).BMU(Si)={BMU(Si,Sj)|(Si,Sj)∈E,且Si,Sj∈V},其中,BMU(Si,Sj)表示由Si和Sj構(gòu)成的BMU,借助輔助量測γi,k=Mixxx(k)+ζi(k),進(jìn)行 MMSE 等價(jià)變換(如式(13)～(15)所示),可以得到解耦的量測方程yi,k=+νi(k) (如式(16),不含丟包時(shí)),類似BMU的能觀測證明過程,可以得到能觀測性矩陣

B.2 詳細(xì)的算法過程(量測消息傳輸、量測更新)

正是因?yàn)樵趯?shí)際中時(shí)鐘狀態(tài)的直接量測難以獲得,所以有必要通過一個(gè)可用量測模型和一個(gè)時(shí)鐘狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型確定時(shí)鐘的狀態(tài).

針對BMU,通過式(B3),我們構(gòu)造出一個(gè)具有能觀測性的量測方程,并利用作為時(shí)鐘狀態(tài)的直接量測客觀存在的事實(shí),從理論上說明(證明)MMSE 等價(jià)變換的可行性.

附錄C 可靠量測下M M SE 等價(jià)變換

整個(gè)網(wǎng)絡(luò)由多個(gè)相互獨(dú)立的BMU 組成,我們以一個(gè)BMU來闡述這一過程.以BMU(Si ?Sj)為例,通過雙向信息交換機(jī)制,可以得到下面的量測模型

通過能觀測性分析,知道在量測模型(C1) 和(C2) 下的BMU 系統(tǒng)是不可觀的.為解決BMU 系統(tǒng)的不可觀問題,以達(dá)到通過觀測值確定系統(tǒng)狀態(tài),引入下面的輔助量測模型(絕對量測模型)

其中,Mi=[0 2 0 0] 和Mj=[0 0 0 2];量測噪聲ζi(k)和ζj(k) 為相互獨(dú)立的高斯噪聲.

借助輔助量測(C3) 和(C4),對量測模型(C1)和(C2) 進(jìn)行的MMSE 等價(jià)變換可以描述為

其中,令yi,k=γj,k ?zi,k和Ci=M j? Hi=[0 2 00];yj,k=γi,k?zj,k和Cj=Mi?Hj=[0 0 0 2];νi(k)=ζj(k)?υi(k) 和νj(k)=ζi(k)?υj(k).方程(C5) (方程(C6))可以描述成Si(Sj) 依靠量測節(jié)點(diǎn)Sj(Si)達(dá)到觀測自身狀態(tài).

C.1 證明過程(拆分的觀點(diǎn))

因?yàn)樽儞Q(C5) 和(C6) 具有對稱性,只需證明其中一個(gè)即可.以Si為例,為證明式(C5)的變換過程是MMSE等價(jià)變換,我們以具有MMSE量測性能的卡爾曼濾波為觀測器,證明時(shí)鐘狀態(tài)x i(k)在變換之前的量測模型(C1)和(C4)下的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣與在變換之后的量測模型(C5) 下的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣趨向一致(具有相同的收斂值).

BMU 的時(shí)鐘狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

由方程(C7) 和(C8) 組成的變換前BMU 系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波下的驗(yàn)前估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣(State error covariance prediction)滿足

因?yàn)樽儞Q之后的量測模型(C5) 是狀態(tài)解耦的,對于Sj的狀態(tài)是不可觀的,而為了確保BMU系統(tǒng)的能觀測性以及不影響Si節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的估計(jì)誤差協(xié)方差,需要(再次) 借助輔助量測(C4)(算法過程解釋為需要由輔助量測輸出(C4),見附錄B.2),通過消息傳遞參與Si節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)估計(jì).組合量測方程(C4)和(C5)得變換之后的量測模型為

由方程(C7)和(C1 0) 組成的變換前BMU系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波下的驗(yàn)前估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣(State error covariance prediction) 滿足

對比迭代式(C9) 和(C12),知(C9) 和(C12)有相同的收斂解(卡爾曼濾波的協(xié)方差矩陣收斂值與初始值無關(guān),它是唯一的),甚至,當(dāng)設(shè)置相同的初始值時(shí),即,可以得到,對于?k ∈N.所以量測方程(C10)和(C8)在 M MSE量測性能上是等價(jià)的,也顯示了量測方程(C1) 在輔助量測方程(C4) 的幫助下存在MMSE 量測性能解耦.由此容易得到時(shí)鐘狀態(tài)xi(k)在變換之前的量測模型(C1) 和(C4)下的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣與在變換之后的量測模型(C5) 下的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣趨向一致(具有相同的收斂值).

附錄D 多鏈路量測的M M SE 等價(jià)變換證明(拆分)

D.1 絕對量測與相對量測中丟包系數(shù)矩陣定義

將不可靠網(wǎng)絡(luò)下的絕對量測方程(9) 和相對量測方程(12) 展開可表示為