一類具有時滯和不育控制的單種群模型

李秋英

(黃淮學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 駐馬店 463000)

農(nóng)業(yè)、林業(yè)、牧業(yè)等一直以來遭受鼠害帶來的巨大損失,許多流行病的病原體也以害鼠為主要宿主,這對人類健康構(gòu)成了極大的威脅.在害鼠類控制方面,傳統(tǒng)的藥物毒殺方法存在滅效短、易反彈、誤傷非靶向生物甚至還會破壞生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而不育技術(shù)作為其補充和替代,具有顯著的優(yōu)勢[1-2].不育防控可以通過結(jié)扎輸卵管和輸精管實現(xiàn)[3],也可以通過投放含有不育劑的餌料,使靶向動物通過取食而不育,還可以使靶向動物感染特殊的病毒,而導致不育[4-5].室內(nèi)和田間的試驗研究表明,對害鼠實施不育處理后,害鼠種群中能參與有效生育的個體會受到不育個體競爭性干擾的影響,且不育個體還會繼續(xù)占有生存空間,使用生存資源,這就會影響害鼠種群的出生率,并且有效延緩種群數(shù)量的恢復.基于此,本文分析不育控制下出生具有密度制約的單種群動力學行為.

數(shù)學模型常被用來研究種群規(guī)模的發(fā)展變化規(guī)律[6-11],如Zhang[10]根據(jù)生態(tài)學原理,給出了關(guān)于害鼠種群穩(wěn)態(tài)的差分模型,結(jié)論表明在不考慮競爭性繁殖干擾情況下,不育控制可達到單純殺滅的控制效果,若考慮不育個體對正常生育個體的競爭性繁殖干擾,則不育控制的實際效果將明顯優(yōu)于單純滅殺.劉漢武等[11]建立了一類不育控制下的單種群模型(1),分析了平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,討論了滅殺和不育劑的作用效果.

(1)

由于藥物不育劑并不能使害鼠達到終生不育,如,炔雌醚對長爪沙鼠的不育效果大約維持90天[12].因此結(jié)合模型(1),建立了一類不育劑具有有效期的單種群模型(2).本模型假設(shè)t=0開始實施不育控制措施,且此時不育者數(shù)量為0.希望根據(jù)此模型,分析不育控制及藥物的有效期對種群動態(tài)的影響,進一步認識不育劑對害鼠繁殖行為的影響,從而為利用不育劑防控害鼠提供理論指導.

(2)

式中:x(t),y(t)分別表示在時刻t可育、不育的個體數(shù)量;b為種群的出生率;d1為可育個體的自然死亡率;d2為不育個體的死亡率;k為種群出生的密度制約系數(shù);μ為可育個體到不育個體的轉(zhuǎn)化率;τ為不育劑的有效期.所有參數(shù)都是正的.考慮到藥物的適口性和系數(shù)的實際含義可得,d2≥d1；且1>d2≥d1,μ<1.

本文假設(shè)系統(tǒng)(2)的初始條件滿足：x(0)>0,y(0)=0.

1 解的有界性

當0≤t<τ時,根據(jù)系統(tǒng)(2)的第二個方程可得

因此當0≤t<τ時,y(t)>0.當t≥τ時,由系統(tǒng)(2)的第四個方程可得

進而有

定理2系統(tǒng)(2)的解是最終有界的.

證明令函數(shù)ρ(t)=x(t)+y(t),則函數(shù)ρ(t)沿著系統(tǒng)(2)的解的導數(shù)為

故

2 平衡點的穩(wěn)定性

下面考慮t≥τ時,系統(tǒng)(2)平衡點的存在性和穩(wěn)定性.即考慮下面系統(tǒng)平衡點的存在性和穩(wěn)定性.

(3)

定理3若μ>R0,則系統(tǒng)(3)的平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明易得系統(tǒng)(3)在平衡點E0處的特征方程為

即(λ+(d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b)(λ+d2)=0.

顯然λ1=-d2是其負特征根.對于方程

λ+d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b=0

(4)

設(shè)其根為λ(τ).當τ=0時,根據(jù)條件可得其特征根λ(0)=b-d1≤0.當τ>0時,假設(shè)方程(4)存在純虛根λ(τ)=iw,將其代入方程(4),并分離其實部和虛部有

(5)

分別對式(5)的兩邊求平方,進而求和可得

由條件可得w2<0,這導致矛盾,故方程(4)不具有非負實部的根.從而特征方程(4)的根的實部都是負的,所以零平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的.

下證平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

(6)

根據(jù)不等式(6),作輔助方程

(7)

式中:x(θ),θ∈[0,τ)為系統(tǒng)(2)的第一個方程的解.顯然系統(tǒng)(7)的非負平衡點只有零平衡點.易得系統(tǒng)(7)的零平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.構(gòu)造函數(shù)

顯然V(z(t))為正定函數(shù),且沿著系統(tǒng)(7)的導數(shù)為

定理4若μ

證明易得系統(tǒng)(3)在平衡點E+處的特征方程為

即

引進記號

f(λ,τ)=(λ+μe-d2τ(1-e-λτ)+kx*)(λ+d2)+kx*μ(1-e-d2τe-λτ)

當τ=0時,有f(λ,0)=(λ+kx*)(λ+d2),顯然方程f(λ,0)=0的根都是負的.

當τ>0時,假設(shè)方程f(λ,τ)=0存在純虛根λ(τ)=iw,將其代入f(λ,τ)=0,并分離其實部和虛部得

(8)

令z=w2,分別對方程組(8)的兩等式兩邊先求平方再求和得

z2+pz+q=0

(9)

式中

若p≥0,結(jié)合q>0,則一元二次方程(9)顯然沒有正根,從而假設(shè)不成立.故超越方程f(λ,τ)=0的根都具有負實部.

若p<0,顯然有|p|<2kx*μ(1-e-d2τ),而q>k2x*2μ2(1-e-d2τ)(1+e-d2τ).從而有

因此方程(9)不存在正根,假設(shè)不成立.從而有p<0時,超越方程f(λ,τ)=0根都具有負實部.綜合以上可得正平衡點E+是局部漸近穩(wěn)定的.

證明由系統(tǒng)(3)的第一個方程可得

(10)

由不等式(10),作輔助方程

(11)

顯然V(z(t)-z*)為正定函數(shù),且沿著系統(tǒng)(11)的導數(shù)為

因此系統(tǒng)(11)的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.從而由不等式(10)和比較定理可得

(12)

類似于解的非負性質(zhì)的證明過程,可得系統(tǒng)(3)的第二個方程的解為

(13)

由不等式(12)和等式(13)可得

(14)

結(jié)合式(14)和系統(tǒng)(3)的第一個方程可得

從而有

(15)

重復式(10～15)過程n次可得

和

無限的重復下去可得

進而可得

綜合以上可得正平衡點E+是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文通過建立模型,在理論上分析了藥物不育劑的可能控制作用,希望所得到的結(jié)論能對評價不育控制和實施不育控制有一定的指導作用．