函數(shù)最值問(wèn)題在生活中的應(yīng)用

姜葉

【摘要】函數(shù)最值問(wèn)題是一種特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其求法就是函數(shù)性質(zhì)和其特點(diǎn)結(jié)合應(yīng)用的關(guān)鍵所在.目前，函數(shù)最值問(wèn)題在日常生活、科學(xué)研究等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，比如利潤(rùn)最大化問(wèn)題、資源利用最大化問(wèn)題等.為更好地解決最值應(yīng)用問(wèn)題，教師需要重點(diǎn)對(duì)相關(guān)求法進(jìn)行總結(jié)歸納，通過(guò)對(duì)其中的聯(lián)系進(jìn)行充分挖掘和理解，以此順利解決實(shí)際問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)最值;應(yīng)用;實(shí)際生活

在經(jīng)濟(jì)管理、經(jīng)濟(jì)核算、農(nóng)業(yè)發(fā)展、工業(yè)生產(chǎn)等方面，經(jīng)常需要解決在一定條件下如何投入最小成本獲得最大產(chǎn)出和最高效益的問(wèn)題，對(duì)此，我們可以將其歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)在某個(gè)范圍之內(nèi)的最小值和最大值問(wèn)題.如果能夠有效解決這一問(wèn)題，則能夠?qū)崿F(xiàn)資源的最大化利用，優(yōu)化投入產(chǎn)出比.另外，最值問(wèn)題在物理和幾何等方面的研究中也都有一定應(yīng)用.所以，對(duì)其應(yīng)用情況進(jìn)行探究具有極大現(xiàn)實(shí)意義.

一、生活中常見(jiàn)的函數(shù)問(wèn)題

在數(shù)學(xué)概念中，函數(shù)是非常重要的一個(gè)內(nèi)容，它包含了變量和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.在實(shí)際生活中隨處都能夠找到變量，所以函數(shù)問(wèn)題也是實(shí)際生活中的核心問(wèn)題.

例如，常見(jiàn)的一次函數(shù)，包含了購(gòu)物時(shí)總價(jià)和數(shù)量之間所呈現(xiàn)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，工作薪酬和工時(shí)之間所呈現(xiàn)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型等.函數(shù)解析式可以幫助人們找到總價(jià)和數(shù)量、總工作薪酬和工時(shí)等方面存在的關(guān)系，即當(dāng)其單價(jià)一定，數(shù)量越多、工時(shí)越多，最終的總價(jià)格或總薪酬就會(huì)越高.

二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用也比較廣泛，其原理主要在于某個(gè)變量在因變量均勻變化的過(guò)程中所對(duì)應(yīng)的變化也會(huì)越來(lái)越快.比如，實(shí)際生活中銷(xiāo)售利潤(rùn)和銷(xiāo)售時(shí)間之間的關(guān)系，物理當(dāng)中自由落體的物體速度和時(shí)間之間的關(guān)系等，都可以直接通過(guò)該函數(shù)進(jìn)行模擬.

另外，三角函數(shù)、反比例函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)等都在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.比如，為了探究木材的應(yīng)用需要使長(zhǎng)寬滿(mǎn)足哪種關(guān)系，就可以使用反比例函數(shù);在工程作業(yè)中，相關(guān)高度的測(cè)量以及航海過(guò)程中行程的測(cè)定就可以使用三角函數(shù);生物細(xì)胞分裂數(shù)量和次數(shù)之間的關(guān)系就可以使用指數(shù)函數(shù).從這些問(wèn)題中能夠看出，數(shù)學(xué)函數(shù)和生活間存在著非常緊密的關(guān)系，換句話(huà)說(shuō)，生活中的大多數(shù)變量就是數(shù)學(xué)模型的具象化存在.

二、函數(shù)最值的基本概念

對(duì)于函數(shù)中的兩個(gè)變量，如果每給x一個(gè)值，y都會(huì)有唯一一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的值，這時(shí)候就可以說(shuō)y是x的函數(shù).在這之中，x是自變量，y是因變量.在確定其函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)確保這兩個(gè)變量定位的精準(zhǔn)性.通常函數(shù)最值主要分為最大值和最小值，涉及函數(shù)類(lèi)型包含了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，雖然其最值具體的求解方式存在一定差異，但在確定方法上卻是統(tǒng)一的.

（一）最大值

從整體上來(lái)說(shuō)，最大值就是定義域當(dāng)中函數(shù)值的最大數(shù)值，即設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，倘若存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈I，都存在f（x）≤M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時(shí)候就可以說(shuō)M是函數(shù)y=f（x）的最大值.

（二）最小值

簡(jiǎn)單來(lái)講，最小值就是定義域當(dāng)中函數(shù)值的最小數(shù)值，即設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，倘若存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈I，都存在f（x）≥M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時(shí)候就可以說(shuō)實(shí)數(shù)M是函數(shù)y=f（x）的最小值.

對(duì)這兩者的幾何意義來(lái)說(shuō)，即是函數(shù)圖像最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

三、函數(shù)最值在生活中的應(yīng)用

在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到一些關(guān)于最值的問(wèn)題，例如，怎樣安排工作實(shí)現(xiàn)效率最大化，怎樣利用資源才能夠?qū)崿F(xiàn)資源利用率最優(yōu)化，怎樣安排行程保證時(shí)間最短和效率最高，等等，這些都是人們?cè)谏钪薪?jīng)常面對(duì)和要解決的問(wèn)題.這時(shí)，如果能夠引入函數(shù)最值問(wèn)題，便能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，解決思維也能夠更加明晰.

（一）空間利用最大化

在實(shí)際生活中，人們常常為了提升生活品質(zhì)，優(yōu)化生活空間，考慮如何使有限的空間資源達(dá)到合理利用.以園林綠化為例，為使空間資源利用率實(shí)現(xiàn)最大化，人們不僅要對(duì)綠化面積進(jìn)行考慮，還要對(duì)園林后續(xù)養(yǎng)護(hù)、觀(guān)賞和路面硬化等因素進(jìn)行考量，為了同時(shí)滿(mǎn)足這幾項(xiàng)要求，保證綠化地帶設(shè)計(jì)方案的最優(yōu)化，就可以引入函數(shù)最值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)空間與資源的最大程度應(yīng)用.以此為核心思路還能夠解決生活中的一些其他空間利用問(wèn)題.

此外，在求面積最大化時(shí)也可以應(yīng)用函數(shù)最值問(wèn)題.比如，某個(gè)小區(qū)要在圍墻邊設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的自行車(chē)棚，一邊運(yùn)用圍墻，同時(shí)有總長(zhǎng)是32米的圍欄，還要在和墻平行的一邊留出一個(gè)寬2米的門(mén)，如果要使車(chē)棚面積實(shí)現(xiàn)最大化，長(zhǎng)和寬應(yīng)該如何取值？實(shí)際解決時(shí)可以設(shè)車(chē)棚面積為y平方米，再根據(jù)題目得到y(tǒng)=（34-2x）x=-2（x-8.5）2+144.5，要使最終車(chē)棚的面積實(shí)現(xiàn)最大化，其長(zhǎng)應(yīng)是17米，寬應(yīng)是8.5米.在解決這類(lèi)面積問(wèn)題時(shí)，要先將其表示成一個(gè)變量的二次函數(shù)，再依照二次函數(shù)最值問(wèn)題得到最終答案.

（二）利潤(rùn)最大化

函數(shù)最值問(wèn)題在商家經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大化解析中的應(yīng)用也非常廣泛.例如，某一商場(chǎng)在經(jīng)營(yíng)球鞋時(shí)，某一類(lèi)鞋款購(gòu)進(jìn)時(shí)的價(jià)錢(qián)是每雙180元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查顯示，當(dāng)該款球鞋銷(xiāo)售單價(jià)為260元時(shí)，銷(xiāo)售量在當(dāng)季能達(dá)到500雙，如果每雙球鞋的銷(xiāo)售單價(jià)每上調(diào)20元，其銷(xiāo)售量就會(huì)減少50雙.那么在銷(xiāo)售過(guò)程中，要想知道怎樣合理定價(jià)才能夠?qū)崿F(xiàn)利潤(rùn)最大化，就必須將函數(shù)的最值問(wèn)題考慮進(jìn)去.如設(shè)定價(jià)是x元，最大利潤(rùn)為y元，每雙球鞋的利潤(rùn)就可以表示為（x-180）元，當(dāng)季的銷(xiāo)量就可以表示為{500-50[（x-260）÷20]}雙，當(dāng)季最大利潤(rùn)則可以表示為y=（x-180）[500-50（x-260）÷20].從這之中能夠看出來(lái)，利潤(rùn)的增長(zhǎng)并非隨著售價(jià)的上漲而增加，但售價(jià)的上漲必然會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量的下降.所以，當(dāng)實(shí)際生活中遇到類(lèi)似的問(wèn)題，在確定商品價(jià)格的時(shí)候就可以依照商品進(jìn)價(jià)、銷(xiāo)售量和價(jià)格上漲的額度，對(duì)會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量下降的因素進(jìn)行分析，最終計(jì)算出最合理的定價(jià)，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化.倘若應(yīng)用不同的銷(xiāo)售方案都能夠達(dá)到利潤(rùn)最大化，還應(yīng)選擇單價(jià)比較低的方案，使消費(fèi)者可以獲得相應(yīng)的優(yōu)惠，給自身品牌的樹(shù)立等方面夯實(shí)基礎(chǔ)，以便鞏固客源.