函數(shù)最值問題在生活中的應(yīng)用

姜葉

【摘要】函數(shù)最值問題是一種特殊的數(shù)學(xué)問題，其求法就是函數(shù)性質(zhì)和其特點結(jié)合應(yīng)用的關(guān)鍵所在.目前，函數(shù)最值問題在日常生活、科學(xué)研究等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，比如利潤最大化問題、資源利用最大化問題等.為更好地解決最值應(yīng)用問題，教師需要重點對相關(guān)求法進行總結(jié)歸納，通過對其中的聯(lián)系進行充分挖掘和理解，以此順利解決實際問題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)最值;應(yīng)用;實際生活

在經(jīng)濟管理、經(jīng)濟核算、農(nóng)業(yè)發(fā)展、工業(yè)生產(chǎn)等方面，經(jīng)常需要解決在一定條件下如何投入最小成本獲得最大產(chǎn)出和最高效益的問題，對此，我們可以將其歸結(jié)為一個函數(shù)在某個范圍之內(nèi)的最小值和最大值問題.如果能夠有效解決這一問題，則能夠?qū)崿F(xiàn)資源的最大化利用，優(yōu)化投入產(chǎn)出比.另外，最值問題在物理和幾何等方面的研究中也都有一定應(yīng)用.所以，對其應(yīng)用情況進行探究具有極大現(xiàn)實意義.

一、生活中常見的函數(shù)問題

在數(shù)學(xué)概念中，函數(shù)是非常重要的一個內(nèi)容，它包含了變量和其對應(yīng)的函數(shù)值.在實際生活中隨處都能夠找到變量，所以函數(shù)問題也是實際生活中的核心問題.

例如，常見的一次函數(shù)，包含了購物時總價和數(shù)量之間所呈現(xiàn)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，工作薪酬和工時之間所呈現(xiàn)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型等.函數(shù)解析式可以幫助人們找到總價和數(shù)量、總工作薪酬和工時等方面存在的關(guān)系，即當(dāng)其單價一定，數(shù)量越多、工時越多，最終的總價格或總薪酬就會越高.

二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用也比較廣泛，其原理主要在于某個變量在因變量均勻變化的過程中所對應(yīng)的變化也會越來越快.比如，實際生活中銷售利潤和銷售時間之間的關(guān)系，物理當(dāng)中自由落體的物體速度和時間之間的關(guān)系等，都可以直接通過該函數(shù)進行模擬.

另外，三角函數(shù)、反比例函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)等都在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.比如，為了探究木材的應(yīng)用需要使長寬滿足哪種關(guān)系，就可以使用反比例函數(shù);在工程作業(yè)中，相關(guān)高度的測量以及航海過程中行程的測定就可以使用三角函數(shù);生物細(xì)胞分裂數(shù)量和次數(shù)之間的關(guān)系就可以使用指數(shù)函數(shù).從這些問題中能夠看出，數(shù)學(xué)函數(shù)和生活間存在著非常緊密的關(guān)系，換句話說，生活中的大多數(shù)變量就是數(shù)學(xué)模型的具象化存在.

二、函數(shù)最值的基本概念

對于函數(shù)中的兩個變量，如果每給x一個值，y都會有唯一一個與其對應(yīng)的值，這時候就可以說y是x的函數(shù).在這之中，x是自變量，y是因變量.在確定其函數(shù)最值時，應(yīng)確保這兩個變量定位的精準(zhǔn)性.通常函數(shù)最值主要分為最大值和最小值，涉及函數(shù)類型包含了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，雖然其最值具體的求解方式存在一定差異，但在確定方法上卻是統(tǒng)一的.

（一）最大值

從整體上來說，最大值就是定義域當(dāng)中函數(shù)值的最大數(shù)值，即設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為I，倘若存在實數(shù)M滿足：（1）對任意實數(shù)x∈I，都存在f（x）≤M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時候就可以說M是函數(shù)y=f（x）的最大值.

（二）最小值

簡單來講，最小值就是定義域當(dāng)中函數(shù)值的最小數(shù)值，即設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為I，倘若存在實數(shù)M滿足：（1）對任意實數(shù)x∈I，都存在f（x）≥M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時候就可以說實數(shù)M是函數(shù)y=f（x）的最小值.

對這兩者的幾何意義來說，即是函數(shù)圖像最高點或最低點的縱坐標(biāo).

三、函數(shù)最值在生活中的應(yīng)用

在日常生活中經(jīng)常會遇到一些關(guān)于最值的問題，例如，怎樣安排工作實現(xiàn)效率最大化，怎樣利用資源才能夠?qū)崿F(xiàn)資源利用率最優(yōu)化，怎樣安排行程保證時間最短和效率最高，等等，這些都是人們在生活中經(jīng)常面對和要解決的問題.這時，如果能夠引入函數(shù)最值問題，便能夠使問題簡單化，解決思維也能夠更加明晰.

（一）空間利用最大化

在實際生活中，人們常常為了提升生活品質(zhì)，優(yōu)化生活空間，考慮如何使有限的空間資源達(dá)到合理利用.以園林綠化為例，為使空間資源利用率實現(xiàn)最大化，人們不僅要對綠化面積進行考慮，還要對園林后續(xù)養(yǎng)護、觀賞和路面硬化等因素進行考量，為了同時滿足這幾項要求，保證綠化地帶設(shè)計方案的最優(yōu)化，就可以引入函數(shù)最值問題，實現(xiàn)空間與資源的最大程度應(yīng)用.以此為核心思路還能夠解決生活中的一些其他空間利用問題.

此外，在求面積最大化時也可以應(yīng)用函數(shù)最值問題.比如，某個小區(qū)要在圍墻邊設(shè)計一個長方形的自行車棚，一邊運用圍墻，同時有總長是32米的圍欄，還要在和墻平行的一邊留出一個寬2米的門，如果要使車棚面積實現(xiàn)最大化，長和寬應(yīng)該如何取值？實際解決時可以設(shè)車棚面積為y平方米，再根據(jù)題目得到y(tǒng)=（34-2x）x=-2（x-8.5）2+144.5，要使最終車棚的面積實現(xiàn)最大化，其長應(yīng)是17米，寬應(yīng)是8.5米.在解決這類面積問題時，要先將其表示成一個變量的二次函數(shù)，再依照二次函數(shù)最值問題得到最終答案.

（二）利潤最大化

函數(shù)最值問題在商家經(jīng)營利潤最大化解析中的應(yīng)用也非常廣泛.例如，某一商場在經(jīng)營球鞋時，某一類鞋款購進時的價錢是每雙180元，據(jù)市場調(diào)查顯示，當(dāng)該款球鞋銷售單價為260元時，銷售量在當(dāng)季能達(dá)到500雙，如果每雙球鞋的銷售單價每上調(diào)20元，其銷售量就會減少50雙.那么在銷售過程中，要想知道怎樣合理定價才能夠?qū)崿F(xiàn)利潤最大化，就必須將函數(shù)的最值問題考慮進去.如設(shè)定價是x元，最大利潤為y元，每雙球鞋的利潤就可以表示為（x-180）元，當(dāng)季的銷量就可以表示為{500-50[（x-260）÷20]}雙，當(dāng)季最大利潤則可以表示為y=（x-180）[500-50（x-260）÷20].從這之中能夠看出來，利潤的增長并非隨著售價的上漲而增加，但售價的上漲必然會導(dǎo)致銷售量的下降.所以，當(dāng)實際生活中遇到類似的問題，在確定商品價格的時候就可以依照商品進價、銷售量和價格上漲的額度，對會導(dǎo)致銷售量下降的因素進行分析，最終計算出最合理的定價，實現(xiàn)利潤最大化.倘若應(yīng)用不同的銷售方案都能夠達(dá)到利潤最大化，還應(yīng)選擇單價比較低的方案，使消費者可以獲得相應(yīng)的優(yōu)惠，給自身品牌的樹立等方面夯實基礎(chǔ)，以便鞏固客源.