廣東3+1+2新高考模式與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)課堂的“同課異構(gòu)”

朱伯舉

【摘要】廣東試行的“3+1+2”新高考模式后，選考物理與選考歷史的學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中要面臨相同的內(nèi)容.從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角來看，兩類學(xué)生的培養(yǎng)目標也是基本一致的.本文主要通過課堂教學(xué)片段，探討廣東“3+1+2”新高考模式下物理類與歷史類學(xué)生數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的異同.

【關(guān)鍵詞】新高考;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);同課異構(gòu)

本文討論的“同課異構(gòu)”與傳統(tǒng)意義上的“同課異構(gòu)”不太一樣，本文的“同課異構(gòu)”是指在廣東“3+1+2”新高考模式下，在面對相同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的情況下，在相同的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標下，教師針對選考物理與選考歷史的兩類學(xué)生的特點對課堂教學(xué)進行“同課異構(gòu)”，使教學(xué)達到殊途同歸的效果.筆者認為，在當(dāng)前新高考模式下，這是值得我們思考的一個問題.下面筆者以高中數(shù)學(xué)必修5第二章第3.3節(jié)“等比數(shù)列的前n項和”中的兩個教學(xué)片段為例，淺談一些想法.

【片段一】

根據(jù)課本中“國際象棋”問題進行情境創(chuàng)設(shè)，我們得到：

1+2+22+…+263.（1）

師：這是一個等比數(shù)列求和問題，解決等比數(shù)列求和問題時能不能利用公式來解決呢？公式如何推導(dǎo)？

師：推導(dǎo)公式前，我們先看如下問題.棋盤的64個方格上，第1格放2粒小麥，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麥的數(shù)量都是前一格的2倍，直到第64格，現(xiàn)在要多少粒小麥？

很多同學(xué)不約而同地寫出：2+22+23+…+264.（2）

師：現(xiàn)在請同學(xué)一起觀察式子（1）與（2），它們有什么特點與聯(lián)系？

師：這兩個式子都是項數(shù)為64項而且公比為2的等比數(shù)列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我們

記：S=1+2+22+…+263，（3）

則2S=2+22+23+…+264.（4）

現(xiàn)在相當(dāng)于利用上面兩個方程求S，你有什么好的辦法嗎？

不難想到，（4）-（3），得S=264-1.

師：（4）式中的第1項到第63項分別是（3）式中的第2項到第64項，兩式相減，這些項都抵消了，這里體現(xiàn)了方程思想.

師：再看如下問題，棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麥的數(shù)量都是前一格的q倍，直至第64格，這回需要多少粒小麥？

有了前面的鋪墊，不少學(xué)生都會得到下面的過程和結(jié)果：

S=1+q+q2+…+q63，（5）

qS=q+q2+…+q63+q64，（6）

由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.

類比前面的方法，我們很容易求出了（5）式的值，其思想也是構(gòu)造出一個（6）式，然后錯位相減.但是要注意一點：q=1這一特殊情況對于S=1-q641-q是否也適用？該如何解決該問題？

學(xué)生通過討論得出：當(dāng)q≠1時，S=1-q641-q;當(dāng)q=1時，該數(shù)列為常數(shù)列，S=64.

上面求等比數(shù)列的和的方法其實就是“錯位相減法”.筆者在滲透類比思想時提出以下問題：

設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，那么Sn的公式怎么推導(dǎo)？上面所用的“錯位相減法”對你是否有所啟發(fā)？

在上面的引導(dǎo)下，不少學(xué)生完成了以下推導(dǎo)：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（7）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（8）

（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再討論q是否等于1：當(dāng)q≠1時，Sn=a1-a1qn1-q;當(dāng)q=1時，該數(shù)列為常數(shù)列，S=na1.至此基本完成了等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).

片段一通過問題的改編，給了學(xué)生一個解決問題的階梯，或者說向?qū)W生滲透了一種解決問題的方法——類比法.

【片段二】

采用與片段一相同的情境創(chuàng)設(shè)，得到

1+2+22+…+263.（9）

師：這是一個等比數(shù)列求和問題.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，請?zhí)骄縎n怎么求.

該片段直接從解決問題的本質(zhì)出發(fā)：如何解決一般的等比數(shù)列求和問題？為了引導(dǎo)學(xué)生思考，筆者設(shè)置了如下思考問題.

（1）回顧等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法（倒序相加求和），它能用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式嗎？

（2）已知Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1），求Sn.

這是“等差數(shù)列求和”一課的課后練習(xí)題目，采用的方法是“裂項相消法”.

通過上面兩個問題，可以看出，求和的本質(zhì)就是利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征或者利用數(shù)列的性質(zhì)減少項數(shù)，從而達到化簡的目的，這是思考等比數(shù)列求和公式的一個方向.故教師可以引領(lǐng)學(xué)生從解決數(shù)列求和問題的本質(zhì)出發(fā)：消除差異，減少項數(shù)，而要做到這一點，就要充分利用數(shù)列項的結(jié)構(gòu)特征或者數(shù)列本身的性質(zhì).學(xué)生領(lǐng)悟到這一點后，教師從旁給予適當(dāng)引導(dǎo)，可能出現(xiàn)以下的解法.

解法一：“錯位相減法”

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1，得

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（10）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（11）

（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再引導(dǎo)學(xué)生，討論q是否等于1，可得：當(dāng)q≠1時，Sn=a1-a1qn1-q;當(dāng)q=1時，該數(shù)列為常數(shù)列，S=na1.