導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及教學(xué)方法探討

李志青 曾鵬 藍(lán)光進(jìn)

【摘要】《微積分》是大學(xué)本科中一門重要的學(xué)科基礎(chǔ)課程，其中的微分學(xué)與積分學(xué)內(nèi)容是微積分的兩個(gè)重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)和微分.導(dǎo)數(shù)知識(shí)在許多實(shí)際問題中都有非常廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)模型均可以借助導(dǎo)數(shù)的方法來解決.導(dǎo)數(shù)概念比較抽象，使得學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)存在不少問題.這類問題需要教師在教學(xué)時(shí)深入探究.本文首先舉例說明導(dǎo)數(shù)的概念以及相關(guān)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用，分析學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)遇到的問題，并對(duì)導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容的改革進(jìn)行進(jìn)一步的探討與研究，以便學(xué)生理解、掌握導(dǎo)數(shù)內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】微積分;導(dǎo)數(shù);教學(xué)方法

【基金項(xiàng)目】廣州華商學(xué)院校內(nèi)導(dǎo)師制項(xiàng)目：No.2019HSDS23

一、引 言

在現(xiàn)實(shí)生活和自然科學(xué)中，許多問題模型都與導(dǎo)數(shù)有關(guān).本文首先給出導(dǎo)數(shù)概念，并通過幾個(gè)常見的數(shù)學(xué)模型舉例說明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，再針對(duì)微積分課程中遇到的教學(xué)問題，探討高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的教學(xué)方法.如何使抽象的導(dǎo)數(shù)理論知識(shí)變得直觀易懂，從而讓學(xué)生學(xué)好導(dǎo)數(shù)，是我們要重點(diǎn)考慮的問題.

導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b），若函數(shù)y=f（x）在x0處的差商ΔyΔx的極限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx存在，則稱函數(shù)y=f（x）在x0 處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y=f（x）在x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為f′（x0），y′x=x0，dydxx=x0或df（x）dxx=x0.

二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及常見模型舉例

導(dǎo)數(shù)與物理、幾何、代數(shù)的關(guān)系密切.一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率.函數(shù)變化率反映了函數(shù)隨著自變量變化而變化的快慢程度，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是通過所學(xué)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近.下面我們列舉一些函數(shù)變化率的例子，以便于讀者理解函數(shù)變化率，同時(shí)使讀者了解它在科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用.

1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

問題：已知物體移動(dòng)的距離隨時(shí)間t的變化規(guī)律為s（t），如何由s（t）求出物體任意時(shí)刻的速度？

模型假設(shè)：變速直線運(yùn)動(dòng)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v（t0）反映了路程對(duì)于時(shí)間變化的快慢程度，是質(zhì)點(diǎn)M在這段時(shí)間的平均速度.當(dāng)Δt很小時(shí)，上式可近似地表示質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的速度，Δt越小，近似程度越高，當(dāng)Δt→0時(shí)，如果極限limΔt→0ΔsΔt存在，則這個(gè)極限值就表示了質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

2.切線方程

問題：由解析幾何知識(shí)知道，求過曲線y=f（x）上一點(diǎn)（x0，f（x0））的切線方程，難點(diǎn)是求過此點(diǎn)切線的斜率.

模型假設(shè)：設(shè)曲線的方程為y=f（x），求曲線上一點(diǎn)P0（x0，y0）處切線的斜率k.

模型的建立及求解：由切線的定義知，曲線的切線斜率與割線的斜率是密切相關(guān)的，k=limΔx→0k割=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx，點(diǎn)P0處的斜率k可看作曲線y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù).

3.邊際成本問題

問題：設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)：C=C（q）（q>0），求當(dāng)產(chǎn)量為q0時(shí)，總成本C隨產(chǎn)量q變化的快慢程度.

模型求解：若limΔq→0ΔCΔq=limΔq→0C（q0+Δq）-C（q0）Δq存在，則此極限值就表示產(chǎn)量為q0時(shí)，總成本C隨產(chǎn)量q變化的快慢程度（也稱為邊際成本）.

4.電流強(qiáng)度的問題

問題：設(shè)在[0，t]這段時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量為Q=Q（t），求t0時(shí)刻通過導(dǎo)線橫截面的電流強(qiáng)度.

模型的建立及求解：如果是非恒定電流，從時(shí)刻t1 到時(shí)刻t2 這段時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量為Q，那么它在t0時(shí)刻的電流強(qiáng)度為I（t0）=limΔt→0ΔQΔt=limΔt→0Q（t0+Δt）-Q（t0）Δt.

三、導(dǎo)數(shù)教學(xué)問題分析

針對(duì)前面提到的導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型應(yīng)用實(shí)例，分析教學(xué)中遇到的問題，我們能更好地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而得到更好的教學(xué)效果.

1.學(xué)習(xí)動(dòng)力不足

目前，學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的狀況不容樂觀.大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)往往是沒有目標(biāo)的，缺乏學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力.專業(yè)發(fā)展的需要決定了課程設(shè)置，在還沒有學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的情況下，學(xué)生自然不知為何學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，如何學(xué)好導(dǎo)數(shù).學(xué)生沒有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程就會(huì)出現(xiàn)事倍功半的情況.

2.因知識(shí)點(diǎn)抽象而無法理解記憶

導(dǎo)數(shù)的概念具有很強(qiáng)的抽象性，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解存在一定難度.學(xué)生無法清晰地理解導(dǎo)數(shù)概念，也不理解瞬時(shí)變化率與平均變化率的極限之間的關(guān)系，不能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不清楚導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)，不能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的四則混合運(yùn)算公式，不能將一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)互相轉(zhuǎn)換.因此，導(dǎo)數(shù)的教學(xué)會(huì)出現(xiàn)很多問題，比如學(xué)生課外付出了很多時(shí)間學(xué)習(xí)與練習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，但始終聽不懂、不理解，從而厭煩學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí).如何改變這個(gè)現(xiàn)象呢？了解知識(shí)的發(fā)展?fàn)顩r可以幫助學(xué)生體會(huì)抽象知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用，從而加深理解.

3.教學(xué)方式單一

學(xué)生一般都是學(xué)習(xí)概念后套用公式進(jìn)行計(jì)算，沒有了解知識(shí)內(nèi)容的連貫性以及應(yīng)用性，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳.

4.學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的低效盲目性

導(dǎo)數(shù)的定義與它的概念的描述相對(duì)冗長(zhǎng)，并且高度抽象，具有較強(qiáng)的計(jì)算技巧，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)低效，因此，在熟練掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)之后，學(xué)生需要體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)多種技巧，將知識(shí)應(yīng)用于解決問題.

5.對(duì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用無法理解