“三教”改革背景下矩陣乘法的教學(xué)設(shè)計(jì)

王曉平 阮杰昌 任建英

[摘? ? ? ? ? ?要]? “三教”改革背景下對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提出了更高要求。在矩陣乘法的教學(xué)設(shè)計(jì)中推陳出新，采用了先通過(guò)實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境引出本次課重點(diǎn)內(nèi)容，并通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)法逐步引導(dǎo)學(xué)生探索矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則，再通過(guò)例題計(jì)算讓學(xué)生自己總結(jié)歸納其運(yùn)算規(guī)律，利用特殊矩陣乘法進(jìn)行拓展，利用矩陣乘法解決實(shí)際問(wèn)題。這種教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在動(dòng)手解題過(guò)程中逐漸建構(gòu)起矩陣乘法運(yùn)算方法。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? “三教”改革;矩陣乘法;建構(gòu)主義

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）23-0048-02

矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中最基本的概念，也是研究實(shí)際問(wèn)題的重要工具。矩陣本身就是一個(gè)數(shù)表，有類(lèi)似數(shù)的“加減乘法”運(yùn)算規(guī)則，其中矩陣乘法運(yùn)算用得頗多，不僅可以解決后續(xù)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容，諸如用矩陣表示線(xiàn)性方程組、解矩陣方程、向量組的線(xiàn)性表示、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、線(xiàn)性變換等;還可以解決很多實(shí)際問(wèn)題，比如信息的加密和解密等。這決定了矩陣乘法在矩陣運(yùn)算中的重要地位，因此教師教學(xué)務(wù)必要講解透徹。筆者通過(guò)多年教學(xué)積累了一定的矩陣教學(xué)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，并將這種設(shè)計(jì)應(yīng)用于多屆學(xué)生，教學(xué)效果都非常好?，F(xiàn)將矩陣乘法的教學(xué)設(shè)計(jì)分享如下。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

矩陣的乘法運(yùn)算與矩陣的加法、減法、數(shù)乘及以往數(shù)的乘法運(yùn)算區(qū)別很大，相對(duì)以往的運(yùn)算更加抽象，學(xué)生不容易理解和掌握。因此教師需要借助生活中簡(jiǎn)單的實(shí)例計(jì)算，讓學(xué)生自己總結(jié)歸納乘法的計(jì)算規(guī)則，這樣既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，也能提高學(xué)生的分析和歸納能力，還能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，一舉多得。

例1：甲、乙兩超市銷(xiāo)售三種水的日銷(xiāo)售量見(jiàn)下表：?jiǎn)挝唬ㄆ浚?/p>

單價(jià)與飲料見(jiàn)下表：?jiǎn)挝唬ㄔ?/p>

求甲、乙兩超市日銷(xiāo)售水的總收入和總利潤(rùn)。

二、問(wèn)題啟迪，建構(gòu)新知

在“三教”改革教育理念的視閾下，教師是教育改革實(shí)施者，在教學(xué)中處于主導(dǎo)地位，不能一味用以往的講授法傳授知識(shí)，而是應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，幫助學(xué)生建構(gòu)新知識(shí)。在矩陣乘法的教學(xué)中，教師可以針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)設(shè)置適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，通過(guò)提問(wèn)的引導(dǎo)方式引發(fā)學(xué)生思考，自我總結(jié)歸納知識(shí)，最終建構(gòu)新知。

問(wèn)題一：如何列式求甲超市的總收入和總利潤(rùn)？如何列式求乙超市的總收入和總利潤(rùn)？

甲超市的總收入=甲超市礦泉水收入+甲超市可樂(lè)收入+甲超市雪碧收入

=25×2+30×4+15×3

=215（元）

甲超市的總利潤(rùn)=甲超市礦泉水利潤(rùn)+甲超市可樂(lè)利潤(rùn)+甲超市雪碧利潤(rùn)

=25×1+30×2+15×1

=100（元）

與甲超市的計(jì)算相似，學(xué)生能快速計(jì)算出乙超市的總收入和總利潤(rùn)：

乙超市的總收入=乙超市礦泉水收入+乙超市可樂(lè)收入+乙超市雪碧收入

=40×2+20×4+30×3

=250（元）

乙超市的總利潤(rùn)=乙超市礦泉水利潤(rùn)+乙超市可樂(lè)利潤(rùn)+乙超市雪碧利潤(rùn)

=40×1+20×2+30×1

=110（元）

問(wèn)題二：如何把所算的數(shù)據(jù)用表格直觀表示出來(lái)？

引導(dǎo)學(xué)生回顧矩陣的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)表，那么對(duì)于以上三個(gè)數(shù)表都可以將其用對(duì)應(yīng)矩陣表示并進(jìn)行研究。

問(wèn)題三：如何將以上三個(gè)數(shù)表轉(zhuǎn)化為矩陣呢？

引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)表轉(zhuǎn)化為矩陣的方法：去掉橫向、縱向表頭以及表格線(xiàn)，把數(shù)據(jù)按原有順序?qū)懴聛?lái)，外面加上圓（方）括號(hào)。學(xué)生能夠準(zhǔn)確寫(xiě)出下面三個(gè)矩陣。

接下來(lái)教師介紹由A、B矩陣得到C矩陣的過(guò)程，蘊(yùn)含了矩陣的一種計(jì)算規(guī)則，這種計(jì)算在實(shí)際當(dāng)中應(yīng)用廣泛，數(shù)學(xué)研究中把這種運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行概括抽象，命名為矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)則。教師可以將具體的算式板書(shū)在黑板上，這樣有助于學(xué)生觀察，分小組討論總結(jié)。如：

問(wèn)題四：A乘B矩陣是如何得到C矩陣的？

這樣展示后，學(xué)生很容易總結(jié)出矩陣乘法計(jì)算規(guī)則：

①前面矩陣的1行與后面矩陣的1列對(duì)應(yīng)相乘的和為所得矩陣的1行1列的元素。

②前面矩陣的1行與后面矩陣的2列對(duì)應(yīng)相乘的和為所得矩陣的1行2列的元素。

③前面矩陣的2行與后面矩陣的1列對(duì)應(yīng)相乘的和為所得矩陣的2行1列的元素。

④前面矩陣的2行與后面矩陣的2列對(duì)應(yīng)相乘的和為所得矩陣的2行2列的元素。

此處“對(duì)應(yīng)相乘”是計(jì)算的關(guān)鍵，學(xué)生需要深入理解。講解時(shí)教師可以先借助連線(xiàn)的方法展示對(duì)應(yīng)相乘的計(jì)算。再將A矩陣增加1列或者B矩陣增加1行，讓學(xué)生再進(jìn)行對(duì)應(yīng)相乘運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)應(yīng)相乘的深刻含義。這樣既能幫助學(xué)生深入理解，同時(shí)也給基礎(chǔ)差的學(xué)生知識(shí)內(nèi)化的緩沖時(shí)間。

接下來(lái)教師需要趁熱打鐵，幫助學(xué)生鞏固剛剛總結(jié)的計(jì)算規(guī)則。選取元素分別為數(shù)字和字母的矩陣乘法計(jì)算例子，通過(guò)這種形象的對(duì)比，可以讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很弱、抽象思維能力弱的學(xué)生也能夠順利掌握矩陣乘法的計(jì)算方法。