數(shù)形結(jié)合的解題策略

李標

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！皵?shù)”和“形”作為數(shù)學兩大主要研究對象，它們的辯證統(tǒng)一貫穿數(shù)學發(fā)展的主線。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》突出體現(xiàn)了數(shù)感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀等十項核心概念，其中幾何直觀就是數(shù)形結(jié)合思維。“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合將數(shù)量關(guān)系和空間形式有機結(jié)合起來，成為小學數(shù)學解題的重要思維。

一、小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合的教學意義

（一）有利于培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合是中小學生必備的數(shù)學素養(yǎng)之一。數(shù)形結(jié)合內(nèi)化為學生的素養(yǎng)，能夠使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化。通過數(shù)形結(jié)合，學生可以多層次、多角度地思考問題，從而培養(yǎng)良好的數(shù)學思維。小學生抽象思維的培養(yǎng)基本依賴數(shù)學學習，通過數(shù)形結(jié)合，小學生從形象思維向抽象思維有機過渡，并為培養(yǎng)邏輯辯證思維奠定基礎(chǔ)。

（二）有利于提高數(shù)學課堂活力

利用數(shù)形結(jié)合能有效拓寬學生學習思路，促進課堂氛圍的活躍，提高學生學習數(shù)學的主動性和積極性。小學生的思維正由形象思維向抽象思維過渡，形象思維雖然直觀，但有時無法解釋數(shù)學規(guī)律的嚴謹和邏輯。抽象思維雖然更顯深度，但對學生的思維要求較高。在小學數(shù)學課上，過多利用形象思維會導致課堂缺少深度，過多利用抽象思維則讓課堂缺少熱度。因此，有效的數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學課堂的深度和熱度兼?zhèn)洹?/p>

（三）有利于培養(yǎng)學生解題能力

計算和解題貫穿小學數(shù)學的全過程，利用數(shù)形結(jié)合來描述問題和分析問題，把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索出解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。學生通過運用數(shù)形結(jié)合方法對題目進行解析，化抽象為直觀，簡化解題過程，快速找到解題方法，從而提升解題能力。

二、小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合的解題策略

（一）以圖解意：讓解題思路更直觀

以圖解意，利用幾何直觀將一些數(shù)學概念與數(shù)理關(guān)系由抽象變?yōu)榫唧w。數(shù)學概念的建立，以及數(shù)學解題的計算到處需要圖形轉(zhuǎn)換。小學低年級認識自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)及加減乘除的運算，蘇教版教材幾乎都有直觀圖形來進行展示，以幫助學生盡快地理解抽象概念。形象生動的“圖”能將枯燥的數(shù)學理論的“意”有趣、直觀地解釋出來，進而引導小學生對數(shù)學進行探索發(fā)現(xiàn)，從感到數(shù)學枯燥到對數(shù)學感興趣再到形成數(shù)學學習與解題的內(nèi)生動力。以圖解意降低了小學生解題的困難度，將抽象的要求變?yōu)橹庇^的圖形，使形象思維占主導的小學生能更好地理解題意，形成思路并準確解答。

例如，筆者曾在教學蘇教版小學六年級“分數(shù)的計算”時設(shè)計了一道這樣的數(shù)學題：

例1：小明從家騎自行車前往學校，當騎行到總路程的時，距離學校還有3千米。請問，小明家到學校的距離是多少千米？

這道題看似簡單，但在解答過程中卻出現(xiàn)了2個答案。其中一個答案為“x=3，x=12”，另一個為“（1-）x=3，x=4”。不難發(fā)現(xiàn)，由于部分學生未能把握其中的空間觀念和數(shù)量關(guān)系，因此很容易列錯方程式，得出總路程為12千米這一錯誤答案。如果學生能夠在解題過程中用線段圖示的形式將題意表達清楚，就能夠避免類似的錯誤。

（二）用數(shù)釋圖：讓解題思路更直接

用數(shù)釋圖是指利用數(shù)的準確性、邏輯性將復雜圖形數(shù)學化，從而使下一步的分析計算更簡明直接。小學生在解題時借助用數(shù)釋圖的方法，其基本過程首先是根據(jù)題干意思對復雜圖形進行分析，然后以已學數(shù)學公式及定理對圖形進行數(shù)學表達并解答問題。這種方法主要運用于小學數(shù)學中幾何圖形的周長、面積、體積的計算。

例如，在蘇教版小學三年級下冊“長方形和正方形的面積計算”內(nèi)容中，有這樣一道題：

例2：下圖中每個小方格代表1平方厘米。你能說出圖中陰影部分的面積嗎？

小學三年級的學生思維水平已經(jīng)有了很大的發(fā)展，但最初遇到這種不規(guī)則的圖形時，部分學生還是無從下手。如何讓學生的解題思路更直接呢？此時可以這樣點撥學生：這個看似不規(guī)則的圖形，如果將它分解成我們熟悉的正方形和三角形，是不是就容易多了呢？在這樣的點撥下，學生利用已學的計算面積公式，馬上得出以下結(jié)果：

方法①：1×8+（1×2）×2+（2×2）×2=14

方法②：1×10+（1×2）×2+（1×1）×4=14

…………

（三）數(shù)形結(jié)合：讓解題思維更突出

數(shù)形結(jié)合是綜合以圖解意和用數(shù)釋圖的雙重方法，綜合題目中的數(shù)量和圖形關(guān)系，使數(shù)形有機結(jié)合。該方法利用圖的簡明直觀和數(shù)的邏輯嚴謹，將復雜問題簡易化，從而大幅度提高了學生的解題效率。

例如，在教學蘇教版三年級上冊“分數(shù)的初步認識”這節(jié)課時，筆者設(shè)計了一道這樣的題：

例3：小明的爺爺今天過生日，爸爸買來一個蛋糕，平均切成了10塊，小明吃了其中4塊，問：①小明吃了蛋糕的幾分之幾？②把剩下的蛋糕平均分給爺爺、爸爸和媽媽，他們每人能吃幾塊？爺爺和小明誰分到的蛋糕多？

在這一道題中，學生剛開始接觸分數(shù)，第一問是基礎(chǔ)題，很好回答。但對于第二問，如果直接用分數(shù)除以整數(shù)再計算，學生基本解答不出來。如果點撥學生用數(shù)形結(jié)合的辦法將蛋糕畫出來并進行均分，第二問就能快速地解答出來了，而且學生的思維也能得到激活，很容易達到學習的“最近發(fā)展區(qū)”。

小學階段是解題思維塑造的關(guān)鍵時期，而數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)量關(guān)系圖形化，圖形的內(nèi)容數(shù)量化，從而讓解題思路更加清晰和直觀。這不僅有助于學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)，更有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的積淀。

（責編 馬孟賢）