依托教材模型，利用等積變形巧解綜合題

摘 要：解決反比例函數(shù)與面積問題時(shí)，一般可以結(jié)合k值與面積的基本模型解題，但是在反比例函數(shù)幾何綜合題中往往需要進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化，而等積變形法則是圖形面積轉(zhuǎn)化的重要工具之一。文章將舉例介紹依托面積模型，利用等積變形巧解反比例函數(shù)幾何綜合題。

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù);面積模型;等積變形

中圖分類號(hào)：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2021）21-0087-02

一、基本模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

模型：北師大版教材九上第155頁“想一想”中蘊(yùn)含著反比例函數(shù)的矩形面積模型。由數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)可知，學(xué)生要理解函數(shù)，并且掌握函數(shù)相應(yīng)表述的方法。

二、基本方法

等積變形是指一個(gè)三邊長(zhǎng)度固定的三角形，三角形的形狀在變，面積不變。它在初中階段是一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中要突破這一難點(diǎn)，教師就要借助各種相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)三角形的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生能更便捷地分析解決此類問題。在解決此類問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)類型題，有助于他們快速形成相應(yīng)的解題思路，形成系統(tǒng)性的解題思路。

等積變形法：用平行線間的距離相等，可以轉(zhuǎn)移等積的三角形。等積變形法是解決反比例函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵，教師要幫助學(xué)生形成相應(yīng)的解題思路。在反比例函數(shù)中，無論圖形如何變化，但最基本的要點(diǎn)是不變的。只要學(xué)生形成這一概念，就能形成良好的數(shù)學(xué)思維。

如圖3，AB∥CD，則S?ABC=S?DBC。

三、等積變形在反比例函數(shù)面積中的應(yīng)用

（一）已知平行線直接進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化

教學(xué)建議：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線及平行四邊形的相關(guān)知識(shí)。學(xué)生在掌握原有平行線及平行四邊形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用等積變形法，形成解題思路。教師可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得成就感，促使學(xué)生提高學(xué)習(xí)積極性，有利于學(xué)生去探索數(shù)學(xué)王國(guó)中的奧秘，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

（二）構(gòu)造平行線進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化

教學(xué)建議：在反比例函數(shù)教學(xué)過程中，有一部分圖形并不會(huì)直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，這就需要學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，并且根據(jù)圖形的特征有效添加輔助線，而添加輔助線，則是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，突破這一難點(diǎn)，對(duì)提升學(xué)生的綜合認(rèn)知能力有極大的促進(jìn)作用。運(yùn)用逆向思維添加輔助線是有效解決反比例函數(shù)中系列問題的又一大數(shù)學(xué)方法，活用這一方法，可以讓學(xué)生思維更具發(fā)散性。

四、教學(xué)建議

（一）立足文本，開拓思維

子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也?！笨鬃訌?qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生的啟發(fā)教育，由此及彼，由表及里。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要重視學(xué)生憤悱狀態(tài)，只有當(dāng)學(xué)生處于這樣的情形時(shí)，教師的點(diǎn)撥啟發(fā)才能起到撥云見日之效。學(xué)生思維的發(fā)散性，正是從教師舉一而學(xué)生能反三的過程中體現(xiàn)出來的。教學(xué)固然以教材為綱，但不應(yīng)局限于題目或書本。教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生把書本中的題的本質(zhì)抽象出來的能力，為學(xué)生設(shè)一個(gè)臺(tái)階，讓學(xué)生“跳起來摘到桃子”。

數(shù)學(xué)教學(xué)不單是得出結(jié)果，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生分析解題的思維。學(xué)生通過獨(dú)立思考，或者思考之后與同學(xué)互相探討，從而獲得數(shù)學(xué)思維上的啟發(fā)。抑或是學(xué)生即使思考之后也誤入了思維的死胡同，這時(shí)，教師適時(shí)的啟發(fā)能讓學(xué)生有一種豁然開朗的感覺，這會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，學(xué)生的思維也必然在此過程中得以拓展。

（二）提升數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)能力除了可以在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)，還可以在生活中培養(yǎng)。每個(gè)人都離不開數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科。只有當(dāng)數(shù)學(xué)成為生活中的一部分，學(xué)生才能形成數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)能力才能得到提升。數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，學(xué)生應(yīng)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。

初中數(shù)學(xué)教師要立足學(xué)生已有的知識(shí)水平讓學(xué)生根據(jù)圖形進(jìn)行想象，并且在做數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行基本的數(shù)學(xué)建模，這為即將進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

結(jié)語

數(shù)學(xué)教材中的模型是我們深入探究數(shù)學(xué)理論的一扇窗戶，也是我們帶領(lǐng)學(xué)生打開數(shù)學(xué)思維的大門。教材中的模型因囿于書本，不可能面面俱到，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就要開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生領(lǐng)略到模型的萬千變化。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹和推斷，最終是要回歸現(xiàn)實(shí)生活的。而模型是一個(gè)閉環(huán)的過程，它從實(shí)踐中來，當(dāng)其形成系統(tǒng)的理論，必然會(huì)通過實(shí)踐的檢驗(yàn)。當(dāng)檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的或者基本正確的話，就可以用來指導(dǎo)實(shí)際;反之，則需要重新構(gòu)建。

在反比例函數(shù)幾何綜合題中靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等構(gòu)造平行線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)合圖性質(zhì)，再運(yùn)用反比例函數(shù)中與 k 有關(guān)的面積模型，就可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，解決綜合題就有章可循了。這就要求教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生多多總結(jié)一些常見的模型和常用思想方法，這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)得到大大的提升。

[參考文獻(xiàn)]

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[2]羅 峻，段利芳.一組平行線架在雙曲線上的中考題剖析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2018（8）：31-34.

作者簡(jiǎn)介：吳小珍（1983— ），女，中學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)。