關(guān)于4×4分塊矩陣的逆矩陣*

王靜民，王利廣

(①上海大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,200444,上海市；②曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

在求較高階數(shù)的矩陣的逆矩陣時，常常對其按照某種規(guī)則進行分塊，化為一定階數(shù)的分塊矩陣[1-9].對矩陣分塊是一種非常有效的技巧，使用分塊矩陣不僅使表達簡潔，而且常常通過把高階矩陣的運算化為低階矩陣的運算，可以將一些復(fù)雜而量大的計算轉(zhuǎn)化為一系列簡單而量小的計算來完成，從而大大簡化計算量.同時，若分塊恰當(dāng)，使之出現(xiàn)較多的零矩陣或是單位矩陣等，會使計算得到大大的簡化.因此如何求分塊矩陣的逆矩陣，就變得非常重要.

文獻[3-7]對一些特殊的2×2、3×3和4×4分塊矩陣的逆的存在性進行了研究，文獻[8]對2×2分塊矩陣以及下三角分塊矩陣的逆矩陣進行了研究，得到了一系列有意義的結(jié)果，但都是針對比較單一的情形.而事實上，當(dāng)分塊矩陣的其他子塊可逆且滿足一定關(guān)系時，矩陣仍有可能是可逆的且有具體的表達形式.在本文中，我們從其他子塊來討論了幾類4×4階分塊矩陣的可逆性條件，并在可逆時給出了逆矩陣的表達式.

1 幾類4×4分塊矩陣的逆矩陣

在本節(jié)中，我們考慮幾類4×4分塊矩陣的可逆性條件，并在可逆時給出了逆矩陣的表達式.

2 主要結(jié)果

證明因為

S可逆?R-KP-1M-(L-KP-1Q)(D-CP-1Q)-1(A-CP-1M)-[J-KP-1N-(L-KP-1Q)(D-CP-1Q)-1(B-CP-1N)][F-GP-1N-(H-GP-1Q)(D-CP-1Q)-1×(B-CP-1N)]-1[E-GP-1M-(H-GP-1Q)(D-CP-1Q)-1(A-CP-1M)],此時

S可逆?Q-NF-1H-(M-NF-1E)(A-BF-1E)-1(D-BF-1H)-[(P-NF-1G)-(M-NF-1E)(A-BF-1E)-1(C-BF-1G)][K-JF-1G-(R-JF-1E)(A-BF-1E)-1×(C-BF-1G)]-1[(L-JF-1H)-(R-JF-1E)(A-BF-1E)-1(D-BF-1H)]可逆，且

本節(jié)中只給出3個定理和3個推論，A、B、C、D、G、H、R、K、L、N可逆的情形可以通過矩陣變換轉(zhuǎn)化成上述的定理和推理，從而求出矩陣的逆.