與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換及其交換子的Lp緊性

丁姍姍

(中國(guó)人民解放軍陸軍特種作戰(zhàn)學(xué)院，510500，廣東省廣州市)

0 引 言

在泛函分析理論中，緊算子是一類重要的分支.令L是從巴拿赫空間X映射到另一個(gè)巴拿赫空間Y的線性算子，如果X中任意一個(gè)有界子集在L下的像都是Y中的相對(duì)緊子集，則L是緊算子.關(guān)于緊算子的一個(gè)經(jīng)典例子是索伯列夫嵌入定理.通過這樣的嵌入，可以將橢圓有界性問題轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程.關(guān)于緊算子的更多研究，可以參考文獻(xiàn)[1-3].

設(shè)T是一個(gè)卷積奇異積分算子.1978年，Uchiyama在文獻(xiàn)[4]中給出了交換子[b,T]的有界性和緊性，并證明了對(duì)于1

根據(jù)文獻(xiàn)[7]和[8]，在本文中，始終假設(shè)μ滿足以下條件：存在正常數(shù)C0、C1和δ使得對(duì)于0

(1)

μ(B(x,2r))≤C1{μ(B(x,r))+rn-2}，

(2)

其中B(x,r)表示以x為圓心，以r為半徑的開球.由文獻(xiàn)[8]知，(1)式等價(jià)于

實(shí)際上，(1)式可以認(rèn)為是尺度不變的Kato條件，(2)式意味著測(cè)度μ可以使球加倍，并滿足μ(B(x,r))≥Crn-2.申在文獻(xiàn)[7，8]中指出：如果dμ=V(x)dx，并且V(x)是非負(fù)位勢(shì)，滿足

即V(x)屬于逆赫爾德類，則測(cè)度μ滿足(1)，(2).

其中C1是(2)中的常數(shù).

其中γ：[0,1]→n是絕對(duì)連續(xù)的，并且滿足γ(0)=x，γ(1)=y.

1 相關(guān)性質(zhì)及引理

2n+1維的海森堡群n是一個(gè)具有基本流行2n×的冪零李群.群結(jié)構(gòu)為

所有非平凡交換關(guān)系形式[Xj,Xn+j]=-4X2n+1，j=1,2,…n.

次調(diào)和算子Δ和梯度?分別定義為

|g|=(|x|4+|t|2)1/4，g=(x,t)∈n.

令d(g,h)=|g-1h|，則以g為圓心，r為半徑的球定義為

B(g,r)={h∈n,|g-1h|

性質(zhì)1 假設(shè)μ滿足(1)和(2)，則

(a)對(duì)于任意x∈n，有0

(b)如果r=m(x,μ)-1，則rn-2≤μ(B(x,r))≤C1rn-2；

引理1 設(shè)μ滿足(1)和(2)，δ∈(0,1)，則當(dāng)s>2-δ，存在常數(shù)C，使得

引理2 (Frechet-Kolmogorov) 對(duì)于1≤p<∞，Lp(n)的子集G是強(qiáng)預(yù)緊的當(dāng)且僅當(dāng)：

引理3 設(shè)μ是n，n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1)，(2)，δ∈(0,1)，則

本文將在第2、3節(jié)中分別證明與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換及其對(duì)偶變換[b,T]在n和n上的緊性. 為了簡(jiǎn)化敘述，將利用ab表示a≤Cb.

定理1 設(shè)μ是n，n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1)和(2)，δ∈(0,1)，m>1，b∈VMO(n).

由引理2知，要證[b,T]的緊性，只需證明[b,T]滿足下述3個(gè)條件：

定理1的證明先證明第2個(gè)結(jié)論. 根據(jù)對(duì)偶性可以同樣證明出第1個(gè)結(jié)論.

Ⅰ. 由引理1知若f∈Lp(n)，p>2-δ，則n). 當(dāng)2-δ

對(duì)于上式的第一部分，如果令f=f1+f2，其中f1=fχ2B，則

Ⅲ. 對(duì)于任意x,z∈n，a>2k0，

對(duì)于任意整數(shù)k≥0，記bk=B(x,2ka|t|)，Ck=B(x+t,2k(a+1)|t|).

再估計(jì)I3(x).對(duì)于任意滿足|z-x|

根據(jù)引理3，由赫爾德不等式有

最后估計(jì)I4(x).因?yàn)閍|t|<(a+1)|t|

對(duì)Ii(x)，(i=1,2,3,4)的估計(jì)意味著對(duì)任意ε>0，存在正常數(shù)a0和C，使得若(a0+1)|t|

假設(shè)p≥1，R在Lp(n)上有界，K(g,h)為R的核函數(shù).令H(g,h)表示(n×n){g=h}上的非負(fù)局部可積函數(shù)，如果存在δ>0和整數(shù)k0>0，使得對(duì)于有

則稱H(g,h)是核函數(shù)K(g,h)的控制函數(shù).

1)H1(m)：存在K(g,h)的控制函數(shù)H(g,h)使得

2)H2(m)：存在N≥1使得對(duì)于任意v,R>N，g∈n且|g|>vR，有

3)H3(m)：存在r0>0使得對(duì)于任意0

實(shí)際上，H1(m)表示有界性條件，H2(m)表示局部Lp條件，H3(m)表示一致收斂條件.如果R的核函數(shù)滿足上述3個(gè)條件，則R是緊的.因此上述條件又稱為緊性條件.

引理4[6]定理3.8假設(shè)μ滿足(1)和(2)，δ∈(0,1)， 當(dāng)2-δ

定理2 設(shè)μ是n，n≥3上的非負(fù)拉東測(cè)度且滿足(1)和(2)，δ∈(0,1).如果K(g,h)滿足Hi(m)，i=1,2,3，則與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換R在Lp(n)上是緊的.

證明由與廣義薛定諤算子相關(guān)的利茲變換的有界性及引理4知，要證明R在Lp(n)上的緊性，只需證K(g,h)滿足定義2中的緊性條件.

首先，證明K(g,h)滿足H1(m).對(duì)于K(g,h)，存在控制函數(shù)

選擇N0>log2C1+1，固定N=N0，則對(duì)于任意r>0，任意整數(shù)k，當(dāng)|gh-1|<2k+1r，|uh-1|<|hg-1|時(shí)，有|gu-1|<2k+3r.根據(jù)Minkowski不等式和性質(zhì)2有

其次，證明K(g,h)滿足H2(m).對(duì)于任意v，R>2，g，h∈n，|g|>vR，|h|

根據(jù)Minkowski不等式和性質(zhì)2有

最后，相似地，對(duì)于任意r>0有

所以K(x,y)滿足H3(m).