基于正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的地下鏟運(yùn)機(jī)鏟斗斗刃運(yùn)動(dòng)軌跡分析

張?jiān)?戰(zhàn) 凱 郭 鑫 高澤宇 趙曉燕

(1.礦冶科技集團(tuán)有限公司，北京 100160；2.北礦機(jī)電科技有限責(zé)任公司，北京 100160)

地下鏟運(yùn)機(jī)是地下金屬礦山采礦中的重要運(yùn)輸設(shè)備，是地下金屬礦山的關(guān)鍵裝備。地下金屬礦山的智能化是當(dāng)今行業(yè)的必然趨勢(shì)，而地下鏟運(yùn)機(jī)的自動(dòng)鏟裝是智能化采礦的關(guān)鍵技術(shù)。地下鏟運(yùn)機(jī)在鏟裝工作中通過(guò)控制動(dòng)臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸的伸縮量來(lái)調(diào)整鏟斗位置，從而完成鏟裝作業(yè)，因此探究?jī)捎透缀顽P斗斗尖間的函數(shù)關(guān)系對(duì)鏟斗軌跡控制研究至關(guān)重要[1，2]。本文通過(guò)多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)建立鏟斗斗尖與兩油缸行程間的函數(shù)關(guān)系，為自動(dòng)鏟裝控制做理論分析[3]。

1 地下鏟運(yùn)機(jī)工作裝置運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立

地下鏟運(yùn)機(jī)工作裝置如圖1所示，主要由動(dòng)臂油缸、動(dòng)臂、鏟斗、轉(zhuǎn)斗油缸、搖臂、連桿以及前車架7個(gè)組件構(gòu)成。整個(gè)工作裝置連接在鏟運(yùn)機(jī)前車架上，鏟斗通過(guò)動(dòng)臂和前車架與動(dòng)臂油缸連接，實(shí)現(xiàn)鏟斗的舉升和回落，通過(guò)連桿和搖臂與轉(zhuǎn)斗油缸連接，實(shí)現(xiàn)鏟斗的翻轉(zhuǎn)和回收[4，5]。

圖1 KCY-2鏟運(yùn)機(jī)工作裝置三維簡(jiǎn)圖

首先對(duì)鏟運(yùn)機(jī)工作裝置進(jìn)行機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化，得到地下鏟運(yùn)機(jī)工作裝置運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，如圖2所示。

圖2 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

由于鏟運(yùn)機(jī)工作裝置構(gòu)件較復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。圖2中A～H為各剛體間的鉸接點(diǎn)，B1～B9為組成工作裝置的各剛體。

為了規(guī)范描述多剛體系統(tǒng)中各剛體的運(yùn)動(dòng)，在此特別定義兩種坐標(biāo)系：參考基坐標(biāo)系和連體基坐標(biāo)系，如圖3所示。參考基坐標(biāo)系R用OXYZ表示，原點(diǎn)O是前車架與動(dòng)臂的鉸點(diǎn)，X軸為鏟運(yùn)機(jī)的前進(jìn)方向，Y軸垂直水平面向上，用來(lái)描述鏟運(yùn)機(jī)的運(yùn)動(dòng)。第二種是連體基坐標(biāo)系，用來(lái)描述所有剛體的運(yùn)動(dòng)。

圖3 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置坐標(biāo)系

由鏟運(yùn)機(jī)正六桿工作裝置的機(jī)構(gòu)圖可以寫(xiě)出各剛體運(yùn)動(dòng)方程：

各剛體在參考基R中繞Z軸的角速度為：

(1)

式中，θi(i=2,3,4,9)為剛體Bi連體基X軸與剛體Bi-1連體基X軸所形成的的夾角，°；θi(i=6,8)為剛體Bi連體基X軸與參考基X軸所形成的夾角，°。

為了書(shū)寫(xiě)方便，做以下規(guī)定：

Si=sinθi；Ci=cosθi

i=2,3,4,6,8,9

Sij=sin(θi+θj)；Cij=cos(θi+θj)

i(j)=2,3,4,6,8,9；

L2=AB,L3=BC,L4=CD,L6=O5E,

Lj—?jiǎng)颖塾透捉Y(jié)構(gòu)尺寸，mm；

Lk—轉(zhuǎn)斗油缸結(jié)構(gòu)尺寸，mm；

S轉(zhuǎn)—轉(zhuǎn)斗油缸運(yùn)動(dòng)行程，mm；

S動(dòng)—?jiǎng)颖塾透走\(yùn)動(dòng)行程，mm。

各剛體連體基參考坐標(biāo)原點(diǎn)的速度為：

(2)

由于鏟運(yùn)機(jī)工作裝置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為鏟斗，為獲取準(zhǔn)確的鏟斗運(yùn)行軌跡對(duì)鏟斗斗刃進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡分析。節(jié)選工作裝置中的前車架、動(dòng)臂、鏟斗組成一個(gè)樹(shù)形分枝，其參考基和連體基坐標(biāo)見(jiàn)圖4。

圖4 從動(dòng)臂至鏟斗斗刃的樹(shù)形分枝

鏟斗斗刃P點(diǎn)在參考基坐標(biāo)系中的位置可用與其相鄰兩剛體的連體基坐標(biāo)系間的齊次坐標(biāo)變換矩陣來(lái)描述。在此設(shè)定A1表征動(dòng)臂之于前車架的位置，A2表征鏟斗之于動(dòng)臂的位置，AP表征點(diǎn)P之于鏟斗的位置。則地下鏟運(yùn)機(jī)鏟斗斗刃相對(duì)于參考基的位置可表示為：

(3)

利用多剛體運(yùn)動(dòng)變換矩陣結(jié)合各剛體間的位置關(guān)系進(jìn)行矩陣變換：

(4)

(5)

(6)

聯(lián)立公式3、4、5、6得鏟斗斗刃P點(diǎn)在參考基中位置變換公式：

RTP=A1A2AP=

(7)

其中，Lij為鉸接點(diǎn)i、j間的距離，mm；θi為Xi+1與Xi之間的扭角，°。如果Zi的方向滿足從Xi+1到Xi的右手螺旋方向，則取正角度，否則取負(fù)角度。

P1=RTP×P

(8)

聯(lián)立式7、式8可得鏟斗齒尖的位置坐標(biāo)：

(9)

1)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程正解是已知兩油缸的行程，求鏟斗斗刃的位置。求解過(guò)程為將工作油缸的行程代入運(yùn)動(dòng)約束方程中，計(jì)算出θ1、θ2、θ3。利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程即可完成求解。

2)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解是已知鏟斗斗刃P的位置，反求工作油缸的行程。設(shè)定鏟斗的位置已知，則有：

(10)

式中，n(nx,ny,nz)、o(ox,oy,oz)、a(ax,ay,az)為分別為點(diǎn)P連體基的3個(gè)坐標(biāo)軸X、Y、Z在R基中的坐標(biāo)表示；p(px,py,pz)為P連體基原點(diǎn)在參考基R中的坐標(biāo)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解

本文利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程正解，通過(guò)實(shí)際測(cè)量?jī)捎透椎男谐讨荡腌P斗斗刃的位置坐標(biāo)以求鏟斗斗刃位置。首先，對(duì)鏟斗斗尖位置方程進(jìn)行分解，建立工作油缸行程與θ1、θ2、θ3間的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行總方程的換算求解，建立如圖5所示的機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。

圖5 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1)θ1與工作油缸行程數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析可知，無(wú)論轉(zhuǎn)斗油缸行程如何改變，θ1角度的變化都維持不變，與其行程變化無(wú)關(guān)，為此，可得θ1角度的變化只與動(dòng)臂油缸行程的變化有關(guān)。

結(jié)合圖5工作裝置機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖及數(shù)學(xué)推導(dǎo)得：

(11)

2)θ2與工作油缸行程數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析可知，θ2角度的變化與動(dòng)臂油缸、轉(zhuǎn)斗油缸行程變化均有關(guān)系。

結(jié)合圖5工作裝置機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖及數(shù)學(xué)推導(dǎo)得：

θ2=π-∠CBA=π-(∠DBI+∠DBC-∠ABI)

(12)

3)θ3數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)θ3與地下鏟運(yùn)機(jī)工作裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)件的關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)，θ3角度與地下鏟運(yùn)機(jī)鏟斗結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與油缸行程變化無(wú)關(guān)。為此建立鏟斗結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖6所示。

圖6 地下鏟運(yùn)機(jī)鏟斗結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖6中，BP表示鏟斗鏟尖P到鏟斗與動(dòng)臂鉸接點(diǎn)B之間的長(zhǎng)度，PC表示鏟斗鏟尖P到連桿與鏟斗鉸接點(diǎn)C的長(zhǎng)度，BC表示連桿與鏟斗鉸接點(diǎn)C到動(dòng)臂與鏟斗鉸接點(diǎn)B間的長(zhǎng)度，則：

(13)

其中，已知PC=1 492 mm，BC=500 mm，BP=1 494 mm，計(jì)算得：

θ3=π-∠PCB=π-80.50=99.50

(14)

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由多剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到的鏟斗鏟尖位置坐標(biāo)：

(15)

在鏟運(yùn)機(jī)實(shí)車上，通過(guò)改變轉(zhuǎn)斗油缸和動(dòng)臂油缸的行程值得到實(shí)車鏟裝軌跡的隨機(jī)水平值和豎直位移值，與利用式15得到的理論水平值和豎直位移值進(jìn)行對(duì)比分析。其數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 實(shí)車鏟裝與理論方程測(cè)量數(shù)據(jù)分析

對(duì)理論方程和實(shí)車鏟裝測(cè)量數(shù)據(jù)做水平位移和豎直位移殘差值分析，如圖7所示。

圖7 水平位移差值分布

從圖7、圖8中可以看出，隨機(jī)數(shù)據(jù)測(cè)量其水平位移殘差值及豎直位移殘差值在某一范圍內(nèi)波動(dòng)，其水平位移殘差平均值為-3.30 mm，豎直位移殘差平均值為1.61 mm，表明在水平位移和豎直位移上存在著常量系統(tǒng)誤差。其水平位移和豎直位移變量的系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于兩方面：1)機(jī)械加工的精度，即鏟運(yùn)機(jī)工作裝置上各點(diǎn)間的實(shí)際距離與設(shè)計(jì)尺寸存在一定誤差；2)測(cè)量誤差，即在鏟運(yùn)機(jī)實(shí)車數(shù)據(jù)測(cè)量的過(guò)程中，由于環(huán)境因素的影響，采用了近似測(cè)量的方法，同時(shí)測(cè)量?jī)x器的精度較低，造成了實(shí)車數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差。針對(duì)水平和豎直方向上的系統(tǒng)誤差，除了改進(jìn)測(cè)量方法以及使用更高精度的測(cè)量?jī)x器，從而測(cè)得更加準(zhǔn)確的理論參數(shù)和實(shí)車數(shù)據(jù)外，還可采用修正法來(lái)進(jìn)行誤差消除。

圖8 豎直位移差值分布

采用誤差修正后的數(shù)學(xué)模型，對(duì)地下鏟運(yùn)機(jī)典型工況(正常鏟裝)及兩種極限工況(動(dòng)臂油缸鎖死，轉(zhuǎn)斗油缸正常使用；轉(zhuǎn)斗油缸鎖死，動(dòng)臂油缸正常使用)進(jìn)行軌跡對(duì)比分析，如圖9所示。

圖9 鏟裝軌跡對(duì)比分析

從圖9可以看出，理論運(yùn)動(dòng)方程曲線與實(shí)車鏟裝曲線大致相同。水平位移平均殘差分別為-1.54、-1.21、-2.23 mm；豎直位移平均殘差為-0.31、-0.24、1.06 mm，其誤差修正后相對(duì)平均殘差值更小。

4 結(jié)論

地下鏟運(yùn)機(jī)在鏟裝工作中通過(guò)控制動(dòng)臂油缸和轉(zhuǎn)斗油缸的伸縮量來(lái)調(diào)整鏟斗位置，從而完成鏟裝作業(yè)，因此探究?jī)捎透缀顽P斗斗尖的函數(shù)關(guān)系對(duì)鏟斗軌跡規(guī)劃研究至關(guān)重要。通過(guò)多剛體理論運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到鏟斗斗尖與兩油缸行程間的函數(shù)表達(dá)式，同時(shí)對(duì)此數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行分解換算，并與實(shí)車鏟裝數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該數(shù)學(xué)關(guān)系式的正確性，為鏟裝曲線的實(shí)現(xiàn)提供數(shù)學(xué)理論支撐，對(duì)鏟運(yùn)機(jī)自動(dòng)鏟裝軌跡規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)仿真以及鏟裝控制具有重要的指導(dǎo)意義。