解密轉(zhuǎn)盤游戲中的數(shù)學(xué)原理

謝雅蘭 定涵

一天上午，我們在路邊看到這樣一個(gè)游戲：攤販前面放一張畫有轉(zhuǎn)盤的白紙，獎(jiǎng)品擺在轉(zhuǎn)盤的周圍，有氣球、鉛筆、橡皮擦、鐘表、溜冰鞋等，然后，攤販拿出一副撲克牌讓玩客任意抽出兩張，并事先說好向哪個(gè)方向轉(zhuǎn)，將抽出的兩張撲克的數(shù)字相加（J、Q、K分別為11、12、13，A為1），得到數(shù)字n，就從n開始按照事先說好的方向轉(zhuǎn)n-1步，轉(zhuǎn)到哪個(gè)數(shù)字，那個(gè)數(shù)字前的獎(jiǎng)品就歸玩客。但唯有轉(zhuǎn)到數(shù)字“1”的位置時(shí)，如圖1，就必須付2元錢，轉(zhuǎn)到其他位置都不必付錢。

通過一段時(shí)間的觀察我們發(fā)現(xiàn)，所有參與游戲的玩客不是轉(zhuǎn)到要付2元錢的位置即數(shù)字“1”，就是轉(zhuǎn)到一些價(jià)值較小的獎(jiǎng)品位置，而擺放鐘表、溜冰鞋等貴重獎(jiǎng)品的位置沒有一個(gè)玩客轉(zhuǎn)到過。

轉(zhuǎn)盤上有26個(gè)位置，獲獎(jiǎng)的可能性有25/26，需要付2元錢的可能性只有1/26，怎會(huì)沒有人中大獎(jiǎng)呢？其中是不是有“機(jī)關(guān)”？我們對此展開了探究。

一、用觀察法解密

1.過程

從轉(zhuǎn)盤上的任何一個(gè)數(shù)字開始向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，按照小攤販設(shè)定的轉(zhuǎn)法，轉(zhuǎn)到付2元錢的位置所轉(zhuǎn)過的最少步數(shù)恰好比這個(gè)數(shù)字少1（比如數(shù)字6，逆時(shí)針轉(zhuǎn)5步到付2元錢的位置“1”，順時(shí)針轉(zhuǎn)5步到數(shù)字17）。因此，抽到的撲克數(shù)字之和無論是多少，或者左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，按照游戲規(guī)定的轉(zhuǎn)法，只有兩種結(jié)果，一個(gè)方向是轉(zhuǎn)到付2元錢的位置;另一個(gè)方向是轉(zhuǎn)到奇數(shù)的位置，絕對不會(huì)轉(zhuǎn)到偶數(shù)的位置。

因?yàn)槿绻槌龅膬蓮垞淇伺频臄?shù)字相加是奇數(shù)n，從這個(gè)數(shù)字開始轉(zhuǎn)n-1（為偶數(shù)）步，相當(dāng)于增加了“偶數(shù)”，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù);如果抽出的兩張撲克牌的數(shù)字相加是偶數(shù)n，從這個(gè)數(shù)字開始轉(zhuǎn)n-1（為奇數(shù)）步，相當(dāng)于增加了“奇數(shù)”，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。

我們觀察轉(zhuǎn)盤上獎(jiǎng)品的分布發(fā)現(xiàn)，鐘表、溜冰鞋這類價(jià)格高的獎(jiǎng)品都放在偶數(shù)字前，而奇數(shù)字前只有氣球、鉛筆等價(jià)值較小的獎(jiǎng)品。因?yàn)榘凑諗傌溡?guī)定的游戲玩法，無論怎么轉(zhuǎn)也轉(zhuǎn)不到偶數(shù)字的位置，所以玩客就得不到價(jià)格高的獎(jiǎng)品了。

2.結(jié)論

通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)了游戲的騙人“機(jī)關(guān)”：每轉(zhuǎn)一次只有兩種可能，要么轉(zhuǎn)到付2元錢的位置，要么轉(zhuǎn)到奇數(shù)字位置，玩客付2元錢與得到小獎(jiǎng)品的概率都是1/2，相當(dāng)于將每件價(jià)值幾角錢的小物品用2元錢的價(jià)格賣出去。因此，玩客玩的次數(shù)越多，輸?shù)目赡苄跃驮酱蟆?/p>

二、用歸納法解密

1.過程

因?yàn)閚是兩張撲克牌的數(shù)字之和，所以1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，從n開始轉(zhuǎn)n-1步得到的數(shù)要么是1，要么是其他奇數(shù)。其他的奇數(shù)有如下兩種情形：當(dāng)1

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，從n開始轉(zhuǎn)n-1步得到的數(shù)要么是1，要么是其他奇數(shù)。其他的奇數(shù)也有如下兩種情形：當(dāng)2≤n≤14時(shí)，最終轉(zhuǎn)到的奇數(shù)為29-2n ;當(dāng)16≤n≤26時(shí)，最終轉(zhuǎn)到的奇數(shù)為55-2n。

觀察轉(zhuǎn)盤可知，若事先規(guī)定朝逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，偶數(shù)n轉(zhuǎn)n-1步后得到的數(shù)都是要付2元錢的位置“1”，不可能轉(zhuǎn)到其他位置;若事先規(guī)定朝順時(shí)針方向轉(zhuǎn)，偶數(shù)n轉(zhuǎn)n-1步后得到的數(shù)是奇數(shù)29-2n（2≤n≤14）或奇數(shù)55-2n（16≤n≤26 ），永遠(yuǎn)不可能轉(zhuǎn)到位置“1”處。

注意：29-2n=55-2n-26，可見，兩種情形的數(shù)學(xué)關(guān)系式有深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

2.結(jié)論

綜合以上兩種情況，對游戲轉(zhuǎn)盤而言，若事先規(guī)定朝逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，奇數(shù)n轉(zhuǎn)n-1步后到達(dá)的數(shù)都是奇數(shù)2n-1（1

（13

三、用代數(shù)法解密

1.過程

能否從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性要求出發(fā)，給出一般性的邏輯論證來得到結(jié)論？答案是肯定的。因?yàn)檗D(zhuǎn)盤可朝順時(shí)針與逆時(shí)針兩個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，所以將轉(zhuǎn)盤上的數(shù)進(jìn)行排列時(shí)，也應(yīng)分順時(shí)針方向排列與逆時(shí)針方向排列兩種情況。

這里我們研究了逆時(shí)針方向排列的情況，順時(shí)針方向排列的情況可采用相同的方法研究。

轉(zhuǎn)盤的旋轉(zhuǎn)過程中不變形，有些數(shù)在轉(zhuǎn)動(dòng)后會(huì)循環(huán)出現(xiàn)前面的數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列是以1、26、3、24、5、22……25、2為基礎(chǔ)循環(huán)排列的，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)n超過26時(shí)，就有an=an-26。

根據(jù)數(shù)列的排列規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)n與對應(yīng)項(xiàng)an之間有如下關(guān)系：

按照轉(zhuǎn)盤規(guī)定的轉(zhuǎn)法，當(dāng)抽出兩張撲克牌的和為an時(shí)，如果事先約定沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)an-1步后，到達(dá)以上數(shù)列的第（n+an-1）項(xiàng)位置。

（1）當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，由上面通項(xiàng)公式知an=n，從而n+an-1=n+n-1=2n-1（奇數(shù)）。再由上面通項(xiàng)公式得：

，

亦即奇數(shù)an（實(shí)際上就是奇數(shù)n），沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)an-1步后（即轉(zhuǎn)n-1步后），到達(dá)以上數(shù)列的第（n+an-1）項(xiàng)位置，此位置對應(yīng)的數(shù)是2n-1。

注意，以上結(jié)果是1

（2）當(dāng)an是偶數(shù)時(shí)，則

偶數(shù)an沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)an-1步后，到達(dá)以上數(shù)列的第（n+an-1）項(xiàng)位置，此位置對應(yīng)的數(shù)是：

亦即偶數(shù)an沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)an-1步后，到達(dá)要付2元錢的位置“1”處。

綜合以上兩種情況即得，若事先規(guī)定朝逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，奇數(shù)n轉(zhuǎn)n-1步后到達(dá)的數(shù)是奇數(shù)2n-1（1

如果沿順時(shí)針方向排列轉(zhuǎn)盤上的數(shù)，按照上述研究方法，很容易得出相應(yīng)的結(jié)論。

四、新玩法定輸贏的奧秘

我們研究了一種新玩法，玩客只贏不輸：兩張牌的點(diǎn)數(shù)之和是n，就從n開始按照事先說好的方向轉(zhuǎn)n步（不是n-1步）。這種新玩法的結(jié)果是，無論如何都轉(zhuǎn)不到要付2元錢的位置，即數(shù)字“1”處，但能轉(zhuǎn)到偶數(shù)位置。玩客只要有耐心，就能分文不出地將小攤販的獎(jiǎng)品一掃而光。

然而，當(dāng)我們向小攤販說出改變游戲規(guī)則，按我們所說的玩法去玩時(shí)，小攤販一口拒絕了。

發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)盤贏錢的“機(jī)關(guān)”后，我們又思考，能否設(shè)計(jì)一種玩法，讓小攤販每次都能賺2元錢，連小獎(jiǎng)品都不給出一次？經(jīng)過分析思考，我們發(fā)現(xiàn)這樣的游戲玩法也是有的。但再貪的小攤販也不會(huì)采用這種游戲玩法，因?yàn)槿绻婵兔看味驾?元錢，一無所獲，就會(huì)無人“上鉤”。

通過對轉(zhuǎn)盤“機(jī)關(guān)”的分析，我們更加意識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性，只有認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，有一顆善用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題的大腦，才能讓我們立于不敗之地。賭博的花樣層出不窮，如果我們對每一種賭博方式都能從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行揭秘，相信社會(huì)將變得風(fēng)清氣正，人人都會(huì)在和諧的社會(huì)氛圍中，憑自己勤勞的雙手和智慧的大腦開創(chuàng)美好幸福的人生。 一句話，知識(shí)就是力量?。ㄖ笇?dǎo)老師：吳幼林? 祝菊清? 李道生）