平穩(wěn)的ARFIMA模型中參數(shù)的Whittle估計(jì)的糾偏

張秀珍，孟獻(xiàn)青

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

對(duì)時(shí)間序列而言，時(shí)域分析和頻域分析是常用的兩種分析方法。當(dāng)假設(shè)模型服從高斯分布時(shí)，運(yùn)用精確的時(shí)域極大似然方法可以得到的未知參數(shù)極大似然估計(jì)，這個(gè)估計(jì)具有非常好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，這是眾所周知的。然而在計(jì)算極大似然函數(shù)時(shí)，當(dāng)分布維數(shù)較高時(shí)計(jì)算分布的方差矩陣的逆要花費(fèi)很大精力。為了避免計(jì)算方差矩陣的逆，文獻(xiàn)[1]從頻域角度出發(fā)，通過(guò)傅里葉變換建立了Whittle 似然，該似然函數(shù)近似等價(jià)于精確的極大似然從而對(duì)未知參數(shù)做統(tǒng)計(jì)推斷更容易。自此，Whittle 似然在時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)推斷中得到廣泛應(yīng)用。然而，這種估計(jì)方法與最大似然估計(jì)相比較，其弊端在于它的估計(jì)偏差比較大，因而各種糾偏方法應(yīng)用而生。比如：文獻(xiàn)[2]通過(guò)用周期圖的期望替代Whittle 似然函數(shù)中譜密度函數(shù)構(gòu)造新的偽似然以減小Whittle 估計(jì)的偏差。另外常用的糾偏方法如刀切法，通過(guò)一種重抽樣方法來(lái)實(shí)現(xiàn)減小估計(jì)的偏差。也就是，在給定n個(gè)樣本的情形下，通過(guò)每次選擇m個(gè)子樣本去估計(jì)未知參數(shù)，文獻(xiàn)[3]通過(guò)刀切法減小二階平穩(wěn)模型中Whittle 估計(jì)的偏差。長(zhǎng)記憶模型是自從水文學(xué)家Hurst 第一次發(fā)現(xiàn)900 個(gè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)性表現(xiàn)出一種緩慢衰減的特性開(kāi)始得到廣泛關(guān)注的。越來(lái)越多的研究者注意到觀測(cè)到的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出這樣一種趨勢(shì)，那么識(shí)別在或空間上相距甚遠(yuǎn)的觀測(cè)之間的這種相關(guān)性在許多不同的領(lǐng)域和學(xué)科中越來(lái)越被廣泛關(guān)注。通過(guò)自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出的以雙曲速率衰減的特性表現(xiàn)其長(zhǎng)記憶性,關(guān)于長(zhǎng)記憶過(guò)程的特征可參考專著[4-5]。從Whittle 估計(jì)出發(fā)，分別運(yùn)用刀切法和文獻(xiàn)[2]所給出的方法以及把兩種方法結(jié)合起來(lái)，減小平穩(wěn)的ARFIMA 模型中的參數(shù)的估計(jì)的偏差，通過(guò)蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所給出的方法的有效性。

1 ARFIMA模型的參數(shù)估計(jì)方法

對(duì)于平穩(wěn)的ARFIMA 模型下的參數(shù)估計(jì)的糾偏方法，我們從Whittle估計(jì)出發(fā)引入主要方法。

1.1 ARFIMA模型的Whittle估計(jì)

隨機(jī)過(guò)程{Xt} 被稱為平穩(wěn)的ARFIMA(p,d,q)模型，若滿足

其中，{εt} 為均值為0 方差為σ2的白噪音，φ(B)=1+分別是后切算子B(BiXk=Xk-i)的p階和q階多項(xiàng)式并且滿足：其對(duì)應(yīng)的方程沒(méi)有公共根且所有根都落在單位圓外。其自協(xié)方差函數(shù)以多項(xiàng)式階衰減，這里d稱為記憶參數(shù)，d>0 保證過(guò)程的平穩(wěn)性，當(dāng)d<1/2 時(shí)，{Xt} 是長(zhǎng)記憶過(guò)程。

這個(gè)模型中的未知參數(shù)向量β=(φ1,…,φp,d,θ1,…,θq,σ2)∈Ξm，其中m=p+q+2 是未知參數(shù)的維數(shù)，Ξm是m維歐氏空間的一個(gè)緊子集。那么對(duì)β的離散對(duì)數(shù)Whittle似然定義為

其中，ωj=2jπ/T，j=1,…,N=[(T-1)/2]([·]定義取整函數(shù))，周期圖{I(ωj)}表達(dá)式如下：

f(ω;β)是ARFIMA模型的譜函數(shù)，其表達(dá)式為

最大化Whittle似然函數(shù)求得β的Whittle估計(jì)

而實(shí)際中σ2由于其不影響模型的主要特征，例如譜函數(shù)，所以通常視σ2為冗余參數(shù)，所以事實(shí)上的參數(shù)是

1.2 的糾偏方法

將導(dǎo)出幾種糾偏方法，首先從文獻(xiàn)[2]給出的糾偏方法出發(fā)，通過(guò)替換Whittle 似然中的譜函數(shù)為周期圖的期望，定義一種新的偽似然為

而β隱含在自協(xié)方差τk,k=0,1,…,N-1 中，i是虛單位，Re(·)表示實(shí)部函數(shù)。這就是Debiased Whittle 似然，簡(jiǎn)稱為DW似然。在DW似然下，β的估計(jì)為

且

那么刀切估計(jì)分別為

2 數(shù)值模擬

在ARFIM(0，d，0)模型下，運(yùn)用所給出的方法實(shí)現(xiàn)減小參數(shù)估計(jì)的偏差。設(shè)定時(shí)間序列的長(zhǎng)度T=200,500,1000，分別假設(shè)噪聲擾動(dòng)為N(0,1)、t(5)、χ2(5)、Exp(1)，每種情形重復(fù)10000 次模擬計(jì)算估計(jì)的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差、均方誤差以及R軟件的計(jì)算時(shí)間。表1列出了在各種情形下的四種估計(jì)的各指標(biāo)。

從表1 可見(jiàn)，對(duì)于ARFIMA 模型，刀切法在減小偏差的同時(shí)損失了計(jì)算效率，且在樣本量相對(duì)較小時(shí)，刀切估計(jì)不穩(wěn)健；在樣本量較大刀切法確實(shí)是減小了估計(jì)的偏差且與Whittle 估計(jì)相比較，均方誤差幾乎保持不變；DW 雖然保持了Whittle估計(jì)的計(jì)算效率，但估計(jì)的偏差減小不明顯。

表1 ARFIMA(0,d,0)取序列長(zhǎng)度d=0.1的估計(jì)

3 結(jié)語(yǔ)

考慮在ARFIM(p，d，q)模型下減小參數(shù)的Whittle估計(jì)的偏差，通過(guò)刀切法和Sykulski 等給出的方法，實(shí)現(xiàn)了減少參數(shù)估計(jì)偏差的目的。但我們發(fā)現(xiàn)刀切法在減小估計(jì)偏差的同時(shí)使得計(jì)算效率變差，而Sykulski等所給出的方法對(duì)減小ARFIMA模型的參數(shù)的Whittle 估計(jì)的偏差效果不明顯，因而尋找更優(yōu)質(zhì)的方法減小估計(jì)的方法仍是一項(xiàng)迫在眉睫的工作。Sykulski 等強(qiáng)調(diào)Whittle 估計(jì)的偏差是由周期圖是譜函數(shù)的有偏估計(jì)所致，所以這給出我們一種啟示，從Whittle 似然出發(fā)構(gòu)造新的偽似然，從而減小Whittle估計(jì)的偏差是最根本的、最有效的途徑。