一種滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)設計方法

王剛 杜亞雯 董全林

摘 要： 為解決滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)設計參數(shù)難以選取的問題，提出一種新的設計方法。在動力學建模與誤差分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)滾轉(zhuǎn)通道的特點對閉環(huán)特征方程進行了簡化。利用傳遞函數(shù)標準型將控制系統(tǒng)設計問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題， 給出了利用遺傳算法綜合設計指標、優(yōu)化計算參數(shù)的方法。算例表明，利用遺傳算法設計的滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)具有良好的性能。

關(guān)鍵詞：滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng);控制器設計;參數(shù)優(yōu)化;傳遞函數(shù)標準型;遺傳算法

中圖分類號：TJ765.2?? 文獻標識碼： A? 文章編號：1673-5048（2021）03-0109-06

0 引? 言

一般來說，軸對稱導彈的橫向靜穩(wěn)定度很小，產(chǎn)生的恢復力矩也很小。彈體外形的不對稱會產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩，在飛行的初始階段，滾轉(zhuǎn)角速度有增大的趨勢，阻尼力矩也隨之增大，直到與滾轉(zhuǎn)力矩平衡為止，導彈保持一定的滾轉(zhuǎn)角速度，滾轉(zhuǎn)角的趨勢是發(fā)散的[1]。

對于采用側(cè)滑轉(zhuǎn)彎（STT）三通道控制的導彈來說，保持飛行過程中滾轉(zhuǎn)角在0°附近能夠減少俯仰、偏航通道的交叉耦合，實現(xiàn)三通道分離設計[2]。

舵機的指標也與滾轉(zhuǎn)通道密切相關(guān)。為使三通道控制正常工作，滾轉(zhuǎn)駕駛儀應設計得比側(cè)向駕駛儀快，舵機的帶寬、最大角速度等指標主要取決于滾轉(zhuǎn)通道。

對于垂直發(fā)射的導彈，為了實現(xiàn)全向快速轉(zhuǎn)彎，通?？刂葡到y(tǒng)首先需要進行滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制，使彈體縱對稱面與發(fā)射平面重合[3]。

在進行滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)設計時，難點是確定設計參數(shù)的取值。通常在設計時將內(nèi)外回路分離[4]，利用根軌跡法分別設計阻尼回路與位置回路的參數(shù)。這一過程較復雜，且難以獲得最優(yōu)設計參數(shù)。傳統(tǒng)的參數(shù)設計方法通常不考慮舵機動力學或?qū)⒍鏅C視為簡單的1階環(huán)節(jié)[5]，這樣得到的設計參數(shù)受舵機性能的影響較大。當舵機延遲較大時，控制回路可能會產(chǎn)生大幅振蕩甚至失穩(wěn)。本文在設計時將舵機視為二階系統(tǒng)，這更接近于舵機的動力學模型情況。針對設計參數(shù)難以選取的問題，本文利用傳遞函數(shù)標準型引入計算參數(shù)，將控制器設計問題轉(zhuǎn)化為計算參數(shù)優(yōu)化問題。計算參數(shù)有清晰的物理意義及確定的取值范圍，與系統(tǒng)閉環(huán)特征根位置及動態(tài)性能密切相關(guān)，更加便于進行控制器的設計。本文詳細介紹了利用遺傳算法對計算參數(shù)進行全局尋優(yōu)的方法，包括參數(shù)編碼方式、適應度函數(shù)、約束函數(shù)的選取以及遺傳操作過程等，這是在工程上非常實用的方法。

1 滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)模型

1.1 滾轉(zhuǎn)通道動力學模型

不考慮干擾力矩時，滾轉(zhuǎn)通道動力學方程表示為[6]

γ¨=-cωγ·-cδδx（1）

式中：γ·為滾轉(zhuǎn)角速度; γ¨為滾轉(zhuǎn)角加速度;cω 為由滾轉(zhuǎn)角速度產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)阻尼力矩，其表達式為cω=-MωxxJx， Mωxx<0，cω>0;cδ 為由副翼舵偏角產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)操縱力矩，cδ=MδxxJx，若規(guī)定正的副翼舵偏角產(chǎn)生負的滾轉(zhuǎn)控制力矩，則，Mδxx<0， cδ>0;δx為副翼舵偏角。

根據(jù)式（1）得到由副翼舵偏角到滾轉(zhuǎn)角速度的傳遞函數(shù)為

γ·（s）δx（s）=krTrs+1（2）

式中：kr是傳遞函數(shù)的穩(wěn)態(tài)增益，kr=-cδcω，kr<0;Tr是

動力學時間常數(shù)，Tr=1cω。

根據(jù)舵機模型及其動力學模型可得到被控對象傳遞函數(shù)框圖如圖1所示。

其中：δxc為副翼舵指令;ks為舵機增益，根據(jù)前文的規(guī)定，ks=-1;ωs為舵機頻率;ξs為舵機阻尼比;δxa為舵機輸出的副翼舵偏角;δB為干擾力矩等效的舵偏角，δB=LMδxx，L為干擾力矩，Mδxx為舵機效率。

根據(jù)圖1，可得滾轉(zhuǎn)角輸出和副翼舵指令之間的傳遞函數(shù)為

γδxc=kss2ω2s+2ξsωss+1 krTrs+1 1s（3）

該傳遞函數(shù)是控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的一部分。由式（3）可知，控制系統(tǒng)固有環(huán)節(jié)的相角滯后已接近180°，系統(tǒng)的相角裕度不大，設計穩(wěn)定控制系統(tǒng)需要設法增加相角超前環(huán)節(jié)[7]。

1.2 控制系統(tǒng)框圖

常見的三通道控制導彈上均裝有三軸速率陀螺，可以通過速率陀螺測量的滾轉(zhuǎn)角速度作為反饋信號，構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng)來提高系統(tǒng)的相角裕度。根據(jù)被控對象傳遞函數(shù)可以得出轉(zhuǎn)速反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖2所示[8]。

圖中：Kγ·為阻尼回路增益;Gk（s）為位置環(huán)控制器。

盡管目前智能控制算法已經(jīng)得到廣泛的應用，但是

在導彈的工程實踐中，還是以經(jīng)典控制為主。本文以工程實踐為背景，選擇PID控制。常用的位置環(huán)控制器有P控制器與PI控制器兩種。

P控制器：Gk（s）=Kγ，Kγ為比例環(huán)節(jié)增益。

PI控制器：Gk（s）=Kγ1+KIs，KI為積分環(huán)節(jié)增益。

要設計的參數(shù)就是Kγ，Kγ·，KI。

2 設計指標及誤差分析

2.1 控制器設計指標

滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的任務主要是消除因干擾產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角誤差，保持執(zhí)行坐標系與測量坐標系間的相位關(guān)系。

滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的主要設計指標包括：

（1）允許的最大滾轉(zhuǎn)角偏差為1°，

指在各種干擾作用下，系統(tǒng)允許的最大滾轉(zhuǎn)角誤差;

（2）誤差角消除時間為te≤0.4 s，

指消除70%的最大滾轉(zhuǎn)角誤差所需的時間;

（3）穩(wěn)定性：相位裕度不小于45°，幅值裕度不小于6 dB。

2.2 誤差分析

滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)指令跟蹤性能一般不是考慮的重點，設計時應著重考慮干擾力矩對滾轉(zhuǎn)角誤差的影響[9]，因此，控制系統(tǒng)輸入選取干擾舵偏角δB，輸出選取Δγ或γ。實際上，由于指令為0，Δγ與γ是反向的，無論選哪個變量做輸出，不影響分析結(jié)論。為更具一般性，采用PI控制器進行分析。由圖2可得，從干擾到誤差的傳遞函數(shù)：

en=Δγ（s）δB（s）=

-krs（Trs+1）

1+kss2ω2s+2ξsωss+1krTrs+1

Kγ·+Kγ1+KIs1s

（4）

根據(jù)終值定理，干擾為單位階躍時的穩(wěn)態(tài)誤差為

essn=lims0sen1s=lims01ksKγ+ksKγKIs

（5）

采用PI控制器時，由于控制器積分項的存在，essn=0，系統(tǒng)沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差，最終的穩(wěn)態(tài)誤差為0。但是，這并不意味著系統(tǒng)最大滾轉(zhuǎn)角誤差滿足指標要求。當干擾舵偏角加入系統(tǒng)后，系統(tǒng)會產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角誤差，最大誤差近似為

essn=-1ksKγ=1Kγ（6）

隨著積分環(huán)節(jié)開始作用，誤差逐步消除，最終為0。

如果采用P控制器，穩(wěn)態(tài)誤差表達式與式（6）相同。然而采用P控制器，控制系統(tǒng)是一個有差系統(tǒng)。

假設導彈飛行過程中，可能出現(xiàn)的最大干擾力矩為L，等效的干擾舵偏角輸入為δB=LMδxx，對應的穩(wěn)態(tài)誤差應滿足指標要求，LMδxx1Kγ≤157.3， 則有

Kγ≥57.3LMδxx（7）

可見，只要選擇足夠大的位置環(huán)增益，采用比例控制能夠滿足穩(wěn)態(tài)誤差要求。實際設計過程中，可根據(jù)式（7），確定設計參數(shù)Kγ的取值下限。

2.3 設計參數(shù)與性能指標的關(guān)系

控制系統(tǒng)的設計參數(shù)包括：KI、Kγ與Kγ·，設計參數(shù)與系統(tǒng)指標的關(guān)系如下：

（1） 由式（6）可知，Kγ決定了系統(tǒng)在干擾輸入情況下可能出現(xiàn)的最大滾轉(zhuǎn)角誤差和誤差角消除時間;

（2）? 由式（5）可知，KIKγ之積決定了控制器積分項消除滾轉(zhuǎn)角偏差的速度，與誤差角消除時間指標密切相關(guān);

（3） 由圖2可知，Kγ·為系統(tǒng)帶來了超前反饋，決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與穩(wěn)定性指標密切相關(guān)。

3 控制器設計及參數(shù)優(yōu)化

3.1 控制器設計問題的轉(zhuǎn)化

實際操作過程中，由于設計參數(shù)與性能指標之間沒有定量對應關(guān)系，直接利用設計參數(shù)進行調(diào)試難度較大，給控制器的設計帶來了困難。為了解決這一問題，本文將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化為標準型[10]，通過標準型定義一組計算參數(shù)，利用待定系數(shù)法求得設計參數(shù)與計算參數(shù)之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為尋找滿足系統(tǒng)指標的計算參數(shù)。計算參數(shù)有清晰的物理意義及確定的取值范圍，與系統(tǒng)閉環(huán)特征根位置及動態(tài)性能密切相關(guān)，更加便于進行參數(shù)調(diào)試。

以PI控制器為例，根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)框圖，可得從系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（10）

式中：τ為一階根時間常數(shù);ξH，ωH為高頻二階根阻尼比及固有頻率;ξL，ωL為低頻二階根阻尼比及固有頻率。稱τ，ξH，ωH，ξL，ωL為計算參數(shù)?？梢酝ㄟ^給定計算參數(shù)的值來獲得設計參數(shù)，輔助進行設計。

由于舵機頻率ωs一般數(shù)值較大，滾轉(zhuǎn)通道時間常數(shù)Tr一般較小，故Trω2skskrKγKI的值一般也很小，也就是一階根的時間常數(shù)τ很小。由于一階根距離虛軸很遠，不是系統(tǒng)的主導極點，只影響系統(tǒng)高頻性能，對系統(tǒng)設計頻段的動態(tài)性能影響不大。因此在分析時可以忽略分母的5次項，從而系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為

可見：

（1） 計算參數(shù)ξH，ωH，ξL，ωL不是獨立變量，給定其中任意3個值，可由式（12）得到另外1個計算參數(shù)的值，從而得到全部設計參數(shù)的值;

（2） 計算參數(shù)中有兩個阻尼項ξH和ξL，取值范圍一般在0到1之間，低頻根的自然頻率ωL一般不會超過舵機頻率的1/3，均具有明確的物理意義和取值范圍，因此可以選擇ξH，ξL和ωL作為計算參數(shù);

（3） 由于在計算過程中，只忽略了小時間常數(shù)的1階環(huán)節(jié)，所以由設計參數(shù)得到的特征根與原始系統(tǒng)的根非常接近，能夠較真實地反映系統(tǒng)根的分布情況。

通過以上過程，將選取設計參數(shù)KI，Kγ與Kγ·的問題轉(zhuǎn)化為選取合適的計算參數(shù)ξH，ξL，ωL的問題。

3.2 基于遺傳算法的計算參數(shù)優(yōu)化

在選擇計算參數(shù)時，需要綜合考慮最大滾轉(zhuǎn)角誤差、誤差角消除時間和相位裕度、幅值裕度、開環(huán)截止頻率等設計指標，本質(zhì)上是一個復雜的非線性、多約束、多目標參數(shù)優(yōu)化問題[11]。通過傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難得到全局最優(yōu)解，遺傳算法是解決這類問題的有力工具[12]。

遺傳算法在求解時按照特定的編碼方式，在滿足約束函數(shù)的前提下，以適應度函數(shù)為目標，采用概率的變遷規(guī)則來自動調(diào)整參數(shù)搜索的方向，從而進行全局參數(shù)尋優(yōu)。其優(yōu)點是搜索過程不易陷入局部最優(yōu)，能夠快速可靠地解決復雜參數(shù)優(yōu)化問題。遺傳算法優(yōu)化的重點在于參數(shù)編碼方式、適應度函數(shù)、約束函數(shù)的選取以及遺傳操作過程[13]。

（1） 參數(shù)編碼方式

遺傳算法處理的是參數(shù)的編碼，而非參數(shù)本身，算法并不理解參數(shù)的含義。常見的參數(shù)編碼方式有兩種：二進制編碼與浮點編碼。二進制編碼是遺傳算法中最主要的編碼方式，具有編解碼、交叉、變異等操作簡單等優(yōu)點。浮點數(shù)編碼則使用決策變量的真值，便于較大空間的遺傳搜索，運算效率高，可處理復雜的決策變量約束條件。由于滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)優(yōu)化時需要處理復雜的非線性約束條件，因此采用浮點數(shù)編碼更為合適。

滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)是ξH，ξL，ωL，均有確定的取值范圍，一般來說，ξL>0， ξH<1，0<ωL<ωs/3。進行參數(shù)優(yōu)化時，為提高搜索效率，需要對參數(shù)進行歸一化處理，由于ξH，ξL取值范圍已在（0，1）區(qū)間，因此，只需對ωL進行歸一化處理即可，將3ωL/ωs作為優(yōu)化參數(shù)計算。

（2） 適應度函數(shù)選取

適應度函數(shù)是遺傳算法優(yōu)化的目標函數(shù)，遺傳算法按照使適應度函數(shù)最小的方向進行參數(shù)尋優(yōu)，因此，適應度函數(shù)在選擇時需要綜合考慮多個設計指標，本質(zhì)上是一個多目標優(yōu)化問題[14]。

最大滾轉(zhuǎn)角偏差指標與設計參數(shù)Kγ密切相關(guān)，近似呈反比;誤差角消除時間指標與設計參數(shù)KγKI乘積密切相關(guān)，KγKI越大，積分環(huán)節(jié)的增益越大，會產(chǎn)生更大的控制信號，更快地消除誤差。

適應度函數(shù)在選取時可綜合考慮這兩個指標，在滿足穩(wěn)定裕度與截止頻率的前提下，選取盡量大的Kγ和KI值，通過構(gòu)造合適的權(quán)重系數(shù)，可將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題[15]。適應度函數(shù)可以選擇為

u=k1Kγ+k2KγKI

k1<0

k2<0? （13）

（3） 約束函數(shù)選取

約束函數(shù)是遺傳算法參數(shù)尋優(yōu)過程中必須滿足的等式或不等式關(guān)系，在本例中，可將幅值裕度、相角裕度和截止頻率等要求用約束函數(shù)來處理，滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的非線性約束條件可以表示為

6-Gm≤0

45-Pm≤0

ωCR-ωs/3≤0

1-ωCR≤0? （14）

式中：Gm為幅值裕度;Pm為相角裕度;ωCR為截止頻率;ωs為舵機頻率。

（4）? 遺傳操作

a. 創(chuàng)建初始種群。

創(chuàng)建由50個成員組成的初始種群，生成初始種群時，設置合適的范圍可提高遺傳算法的搜索效率。根據(jù)滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的特點，將初始種群ξH， ξL參數(shù)限制在0.5附近，3ωL/ωs限制在0.3附近。

b. 計算種群個體的適應度值，根據(jù)適應度值為每個成員打分。

為避免初始種群界限的影響，保持種群的多樣性，為成員打分時依據(jù)適應度值排序，取排序后成員在隊列中的序號作為其得分，種群中最適應的個體得分為1，第2名得分為2，以此類推。

c. 選擇父輩進行遺傳操作產(chǎn)生子輩。

根據(jù)每個成員的得分值，采用隨機均勻函數(shù)法選擇父輩，進行遺傳操作產(chǎn)生子輩，遺傳操作包括：

復制：將父輩的基因直接遺傳到子輩，這些成員稱為精英子輩。為防止算法早衰，進行優(yōu)化時，僅將排名前3的父輩基因直接遺傳給精英子輩。

交叉：將兩個父輩的某些基因進行交換形成子輩，使得子輩從不同的父輩中遺傳優(yōu)良基因，這是遺傳算法的主要操作。進行優(yōu)化時，約80%的子輩由交叉生成，交叉的方法采用兩點法。

變異：由一個父輩在某些基因位隨機變異產(chǎn)生子輩，變異可以使遺傳算法具備一定的隨機性，能夠保持種群的多樣性，在更大的搜索空間尋優(yōu)。優(yōu)化時采用的方法是將一個高斯分布的隨機數(shù)加到父輩向量的每一項上，為使算法收斂，每一代的變異子輩的數(shù)量將逐漸減少。

d. 用子輩形成新種群，繼續(xù)進行遺傳操作。

e. 算法收斂后退出操作，得到最優(yōu)解。

4 仿真驗證

某正常式布局導彈動力學系數(shù)為：cω=226.48 s-1，cd=4 496.62 s-2;舵機動力學參數(shù)為：ωs=62.8 rad/s，ks=-1，ξs=0.7。

采用遺傳算法進行參數(shù)優(yōu)化，為提高搜索效率，根據(jù)滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制回路特點對初始參數(shù)取值范圍進行限制，令ξL>0.49， ξH<0.51，? 0.29<3ωL/ωs<0.31。優(yōu)化時，參數(shù)的取值范圍設為：ξL>0， ξH<1，0<3ωL/ωs<1;

適應度函數(shù)選為：u=-170Kγ-KγKI; 約束函數(shù)選為

6-Gm≤0

45-Pm≤0

ωCR-20≤0

1-ωCR≤0

（15）

計算參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果：ξH=0.542，ξL=0. 603，ωL=12.57。適應度函數(shù)與計算參數(shù)的變化如圖3～6所示。

與計算參數(shù)對應的設計參數(shù)值為：KI=8.674 1，Kγ·=0.024 4，Kγ=1.013。利用Simulink建立系統(tǒng)模型并完成仿真，可得系統(tǒng)單位階躍響應如圖7所示，舵信號如圖8所示，開環(huán)波特圖如圖9所示，系統(tǒng)閉環(huán)零、極點如圖10所示。

仿真結(jié)果表明：滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的設計的最大誤差角不超過0.8°，誤差角消除時間約0.25 s，相角裕度61.4°，幅值裕度17.9 dB，具有良好的性能。

5 結(jié)? 論

對于采用STT控制、三通道分離設計的導彈來說，滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)的作用主要是消除干擾力矩引起的誤差角，控制系統(tǒng)設計的難點在于確定設計參數(shù)取值。利用傳遞函數(shù)標準型引入計算參數(shù)，可以將控制系統(tǒng)設計問題轉(zhuǎn)化為計算參數(shù)優(yōu)化問題。計算參數(shù)物理概念清晰，有確定的取值范圍，利用遺傳算法可快速獲得近似最優(yōu)解。算例表明，利用這種方法設計的滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制系統(tǒng)具有良好的性能。

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A Design Method of Roll Angle Stability Control System

Wang Gang1， Du Yawen2， Dong Quanlin2*

（1. Jiangnan Industries Group Co. Ltd.， Changsha 410205， China;

2. School of Instrumentation Science and Opto-Electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191， China）

Abstract： To solve the problem of difficult selection of design parameters for roll angle stability control system， a new design method is proposed. On the basis of dynamic modeling and error analysis， the closed-loop characteristic equation is simplified according to the characteristics of roll channel. The standard form of transfer function is used to convert the control system design problem to parameter optimization problem. The method of synthesizing design indexes and optimizing design parameters by using genetic algorithm is given. Example shows that the roll angle stability control system designed by genetic algorithm has good performance.

Key words：? roll angle stability control system;controller design;parameter optimization;standard form of transfer function;genetic algorithm

收稿日期：2019-06-01

作者簡介：王剛（1981-），男，河北高陽人，高級工程師，研究方向為導彈制導控制系統(tǒng)設計。

通訊作者：董全林（1964-），男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士生導師，研究方向為超顯微儀器技術(shù)、慣性導航與制導。